物理自测题答案
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0I 0 V B 。 2 r 2 r
三、计算题
1. 解: 设沿 x 轴电流在 P 点产生 B P1 :
B P1
y
I I 0 cos 0 cos 0 4 a 4 4 a
2 1 2
z 轴正方向。 设沿 y 轴电流在 P 点产生 B P2 :
静电场自测题
二、计算题
1. 设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律： =ocosx分布在整个空间, o为幅值，求电场分布。 解 空间是由许多垂直于x轴的无限大均匀带电平 面组成。由此判断:电场方向沿x轴,且对yoz平面对称。 选如图所示的柱形高斯面,由高斯定理：
2.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半 部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有 电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度．
2
I j 8R
0
一、选择题 1．Ｃ ２．D 二、填空题 １．积分回路 回路所包围的面积的电流 度 回路内包围的 回路外 回路内
2. 0,
磁场（四 ）安培环路定理
回路上的磁感应强
0I0 ,
0
R2 R1
三、计算题： １．解：因为Ｂ具有 对称性
L1
B d l 2 rB 0 I
I2
I1
0
B
r R1 R1 r R 2 r R2
0 I1
2 r
2 r
0 ( I 2 I1 )
B
B
y
0 r ２．解： 可看成无限多个大的载流平板叠放在一 起，每个无限大载流平板周围磁场都是和板面平行，
所以总的磁场内外都和板面平行，方向可用右手关 系判断。利用安培环路定律求Ｂ的分布。 x 0 B 的方向沿Ｙ轴负向 分析得知： x 0 B 的方向沿Ｙ轴正向 h
行
f 0
磁场（二）安培力
磁力的功
一、选择题 1. A 3 2. B 提示 : ( M Pm B sin 60 4 .3 10 牛米 ) 二、填空题
1. IBR
2. 3.0 103 7.5 104 (W )
整圆受力为0，半圆受力如图F=IB2R T=IBR F- 2T=0
2SE
q
0
2nqSx
0
E
nqx
0
由于导体板接地，电势为零，所以x处的电势为
U
d
x
nq d xdx nq d 2 x2 Edx2分 0 x 2 0
1. 证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电 场强度的大小必定处处相等；或者换句话说，凡是电场强度的方 向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。（提示：利 用高斯定理和作功与路径无关的性质，分别证明沿同一电力线和 沿同一等位面上两点的场强相等。） y 解：(1)依题意做如图所示，由高斯定理： E 所以：EAE B BS 0 E A S =E . C
O’
分析：本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不 是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但 可用补偿法求解。 挖去球形空腔带电球体在电学上等效于一个 完整的、电荷体密度为 ρ 的均匀带电球体和一个电荷体密度为 – ρ 、球心在O’ 的带电小球体（半径等于空腔球体的半径）。 大小球体在空腔内 P 点产生的电场强度分别为E1 、E2 ，则 P 点的电场强度为 E = E1 + E2 。
P1 O x
P
P2 x
b
解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小 处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强 大小为E． 作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为 S，如图(a)所示,按高斯定理
S
E d S q /
E
0
E
S dx b E S
S
(a)
S x P
E
(b)
2SE
B P2
方向垂直纸面向外，沿
P a , a
I I
I I 0 cos cos 0 4 a 4 4 a
2 1 2
O
x
方向垂直纸面向里，沿 B P B P1 B P2
BP
z 轴负方向。
0I 4 a
T B T I
I
F b
补ca,整个线圈受力为0，而ca受力为IBL ca 方向i，故Fabch
F IL ca B IB ab bc
2 2
P F V FV cos
a
B
I
c
3.
2 S g tg I
O
) a IB cos
2
B
o
I
重力钜和磁力钜平衡
B
0 I1
2 x
dl
dx cos 30
dx
0 I1
cos 30 2x
F3
F2
b
3 2
b
b
I2
dx cos 30
0 I1
2 x
I
1
F2
F合 F 2 cos 60 F 3 cos 60 F1
F合 [ 3 0 I1 I 2 3 b ln 3 2 b a
14
２．
n
2 .86 10
U AA ' 6 .55 mV 0
U AA ' 1 IB ne a
霍尔电场方向A 所以为N型。
14 3
A‘， A极带正电，
n 2 . 86 10 个 / cm
３． 1 : 1 : 2
R mv qB
qV E K 0
1: 2 : 2
v 2 qV m
3 . 2 10
16
N
方向：垂直导线轴线，沿矢径方向向外（背离导线向外）
（２） V 平行于导线电流，则该处仍有 B V
f e v B 3 .2 10 16 N 方向：于行于导线中电流方向
（３） 垂直于导线与电子构成的平面，此时 V 与该处B 平行或反平 V
证：带电球体内部一点的场强为: E r 3 0
所以，
O 根据矢量关系 O’
得
一、选择题 1．Ｂ
磁场 (一)洛仑兹力
电子速度垂直进入均匀电磁场，电子作匀速圆周运动，作电 子射出磁场时速度方向的垂线，与进入磁场边界的焦点O， 及为圆心。
R mv eB p eB sin D R eBD P
1
0
b
0
S d x
E kb
kS
0
2
b
xd x
kSb
2
0
2 0
得：
4 0
(2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该 处场强为E/ ，如图(b)所示．按高斯定理有
E E S
得到
kS
0
x
xdx
kSx
2
0
2 0
2 k 2 b x E 2 0 2
M 磁力矩 Pm B sin(
2
mg
a mg
M 磁力矩 M 三边重力矩 2 mg
a 2
sin mga sin
三、1 解
0 I1 F1 ( ) I2 a i 2 b
取电流元I2dl，该处
dF2 I 2dl B sin 90 I 2
二、填空题
1.
2.
2 0 I 2R
解题思路： 园电流圆心处： B 0
0I
2R
2 2 0 I
a
解题思路： 各边在O点产生的磁 感应强度相同，大小为：
B 4 B1 2 2 0I
0I 3 B1 cos cos 4 a 2 4 4
(0≤x≤b)
(3) E 0 必须是 x 2 可得 x b /
b
2
2
0
2
4.在电荷体密度为 ρ 均匀带电球体中，存在 一个球形空腔，若将带电体球心 O 指向球 形空腔球心O’ 的矢量用 a 表示（如下图）。 试证明球形空腔中任一点的电场强度为
O
E a 3 0
a
2 0I 1 2 4 a
1
2 2
2 0 I 4 a
方向垂直纸面向里，沿
z 轴负方向。
2. 解: 设直载流导线与圆电流 迭合
相交点到 P 点距离为 r 。 P 点产生 B P 可以看作圆电流 在 P 点的磁场 B 1 和无限长直 电流在 P 点的磁场 B 2的矢量和 :
I2
F1
b
I2dl
0 I1 I 2a ]i 2b
F3
dx
o
x
x
2.解 1
M pm B
M pm B sin 90
R2
2
M
IB
7.85 10
(2)
2
N .m
R
I
B
图示位置线圈内磁通量：
m1 BS cos 2 0
转过60度后线圈内磁通量：
E Kp : E KD : E K q p : q D : q 1 : 1 : 2
R mv qB 2V B m q
R p : R D : R 1 : 2 : 2
三、计算题
解：（１）V 平行于导线电流，则该处
f ev B ev
0I 2 a
B V
sin
1 eBD
α α
P
D
２．Ｂ 电子在磁场中作匀速圆周运动
R mv eB
mv eB ) B
2
BS (
m 2 v 2
e B
2
二、填空题 １．vBd 上极板 等离子气体受洛伦兹力，正离子向上运动，负离子向下运动， 形成正负霍尔电场，当电场力和洛伦兹力平衡时，
eE H evB E H vB U 12 E H d vBd
m2 BS cos(
2
3
) BS cos
6
在转动过程中磁力矩作功：
A I ( m2 m1 ) IBS cos
6
6.8 10 J
2
磁场（三）毕萨定理
一、选择题
1. A
2. B（磁感应线为闭合曲线，不能中断，螺线管内部 磁感应线集中，较密集，而边缘处稀疏）
解：由对称性可知，合场强沿着y 轴负方向
y
+Q
R
O x
－Q
y轴负方向
3.图中所示为一沿x轴放置的带电细棒，长为l， 电荷线密度为= 0x ，取无限远电势为零，求x 轴上x=2l处p点的电势
解： l P l
x
4.两根相同的均匀带电细棒，长为l，电荷线密度 为，沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也 为l/2，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移 动的，试求两棒间的静电相互作用力．
x dx
y dy
l l/2 l
解：左棒在dy处的磁场强度为
l
对dy的作用力为dF=Eλdy，所以相互作用力为
6.两块“无限大”平行导体板，相距为2d，都与 地连接，在板间均匀充满着等离子气体（与导体 板绝缘）离子数密度为n,每个 离子带电量为q。如 果忽略气体中的极化现象，可以认为电场分布相 对中心平面OO`是对称的，试求两板间的场强分 布和电 势分布 解：选X轴垂直导体板，原点在中心平面上，作一 底面为S，长为2x的柱形高斯面，其轴线与X轴平 行，上下底面与导体板平行且与中心平面对称，由 电荷分布知电场分布与中面对称。设底面处场强大 小为E。应用高斯定理：
B1
B2
y
B1
P
B
B2
2R
z
0 IR 2
2r
3
2 0 I 8R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
0
沿 y 轴正方向。
x
0I
2 r
4 R 0I 0I 矢量表达式： B 2 i j 4 R 4 R
I
在 xoy 平面内，与 x 轴成 45 夹角。
0I 0I B i 4 R 4 R
a
3.
0I B , 方向是：垂直纸面向里 。 4R 2 R
0I
解题思路： 在O点产生的磁感应强度可以看作是两条半 无限长直电流与一个半圆形弧电流产生的磁感应强度的 叠加，大小为：
B
0I
4R
0I
2 R
4.
0 V B 2 r
解题思路： 运动的带电直导线，相当于在直导线方向上通 有电流I=V产生的磁感应强度大小为：
S
(2) 与电力线重合方向上为等位面： UB=UC
EB U B x ; EC U C x
x A B
所以：EB=EC.
3。如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其 电荷体密度分布为ρ＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的 常量．求： (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？
三、计算题
1. 解: 设沿 x 轴电流在 P 点产生 B P1 :
B P1
y
I I 0 cos 0 cos 0 4 a 4 4 a
2 1 2
z 轴正方向。 设沿 y 轴电流在 P 点产生 B P2 :
静电场自测题
二、计算题
1. 设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律： =ocosx分布在整个空间, o为幅值，求电场分布。 解 空间是由许多垂直于x轴的无限大均匀带电平 面组成。由此判断:电场方向沿x轴,且对yoz平面对称。 选如图所示的柱形高斯面,由高斯定理：
2.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半 部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有 电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度．
2
I j 8R
0
一、选择题 1．Ｃ ２．D 二、填空题 １．积分回路 回路所包围的面积的电流 度 回路内包围的 回路外 回路内
2. 0,
磁场（四 ）安培环路定理
回路上的磁感应强
0I0 ,
0
R2 R1
三、计算题： １．解：因为Ｂ具有 对称性
L1
B d l 2 rB 0 I
I2
I1
0
B
r R1 R1 r R 2 r R2
0 I1
2 r
2 r
0 ( I 2 I1 )
B
B
y
0 r ２．解： 可看成无限多个大的载流平板叠放在一 起，每个无限大载流平板周围磁场都是和板面平行，
所以总的磁场内外都和板面平行，方向可用右手关 系判断。利用安培环路定律求Ｂ的分布。 x 0 B 的方向沿Ｙ轴负向 分析得知： x 0 B 的方向沿Ｙ轴正向 h
行
f 0
磁场（二）安培力
磁力的功
一、选择题 1. A 3 2. B 提示 : ( M Pm B sin 60 4 .3 10 牛米 ) 二、填空题
1. IBR
2. 3.0 103 7.5 104 (W )
整圆受力为0，半圆受力如图F=IB2R T=IBR F- 2T=0
2SE
q
0
2nqSx
0
E
nqx
0
由于导体板接地，电势为零，所以x处的电势为
U
d
x
nq d xdx nq d 2 x2 Edx2分 0 x 2 0
1. 证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电 场强度的大小必定处处相等；或者换句话说，凡是电场强度的方 向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。（提示：利 用高斯定理和作功与路径无关的性质，分别证明沿同一电力线和 沿同一等位面上两点的场强相等。） y 解：(1)依题意做如图所示，由高斯定理： E 所以：EAE B BS 0 E A S =E . C
O’
分析：本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不 是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但 可用补偿法求解。 挖去球形空腔带电球体在电学上等效于一个 完整的、电荷体密度为 ρ 的均匀带电球体和一个电荷体密度为 – ρ 、球心在O’ 的带电小球体（半径等于空腔球体的半径）。 大小球体在空腔内 P 点产生的电场强度分别为E1 、E2 ，则 P 点的电场强度为 E = E1 + E2 。
P1 O x
P
P2 x
b
解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小 处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强 大小为E． 作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为 S，如图(a)所示,按高斯定理
S
E d S q /
E
0
E
S dx b E S
S
(a)
S x P
E
(b)
2SE
B P2
方向垂直纸面向外，沿
P a , a
I I
I I 0 cos cos 0 4 a 4 4 a
2 1 2
O
x
方向垂直纸面向里，沿 B P B P1 B P2
BP
z 轴负方向。
0I 4 a
T B T I
I
F b
补ca,整个线圈受力为0，而ca受力为IBL ca 方向i，故Fabch
F IL ca B IB ab bc
2 2
P F V FV cos
a
B
I
c
3.
2 S g tg I
O
) a IB cos
2
B
o
I
重力钜和磁力钜平衡
B
0 I1
2 x
dl
dx cos 30
dx
0 I1
cos 30 2x
F3
F2
b
3 2
b
b
I2
dx cos 30
0 I1
2 x
I
1
F2
F合 F 2 cos 60 F 3 cos 60 F1
F合 [ 3 0 I1 I 2 3 b ln 3 2 b a
14
２．
n
2 .86 10
U AA ' 6 .55 mV 0
U AA ' 1 IB ne a
霍尔电场方向A 所以为N型。
14 3
A‘， A极带正电，
n 2 . 86 10 个 / cm
３． 1 : 1 : 2
R mv qB
qV E K 0
1: 2 : 2
v 2 qV m
3 . 2 10
16
N
方向：垂直导线轴线，沿矢径方向向外（背离导线向外）
（２） V 平行于导线电流，则该处仍有 B V
f e v B 3 .2 10 16 N 方向：于行于导线中电流方向
（３） 垂直于导线与电子构成的平面，此时 V 与该处B 平行或反平 V
证：带电球体内部一点的场强为: E r 3 0
所以，
O 根据矢量关系 O’
得
一、选择题 1．Ｂ
磁场 (一)洛仑兹力
电子速度垂直进入均匀电磁场，电子作匀速圆周运动，作电 子射出磁场时速度方向的垂线，与进入磁场边界的焦点O， 及为圆心。
R mv eB p eB sin D R eBD P
1
0
b
0
S d x
E kb
kS
0
2
b
xd x
kSb
2
0
2 0
得：
4 0
(2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该 处场强为E/ ，如图(b)所示．按高斯定理有
E E S
得到
kS
0
x
xdx
kSx
2
0
2 0
2 k 2 b x E 2 0 2
M 磁力矩 Pm B sin(
2
mg
a mg
M 磁力矩 M 三边重力矩 2 mg
a 2
sin mga sin
三、1 解
0 I1 F1 ( ) I2 a i 2 b
取电流元I2dl，该处
dF2 I 2dl B sin 90 I 2
二、填空题
1.
2.
2 0 I 2R
解题思路： 园电流圆心处： B 0
0I
2R
2 2 0 I
a
解题思路： 各边在O点产生的磁 感应强度相同，大小为：
B 4 B1 2 2 0I
0I 3 B1 cos cos 4 a 2 4 4
(0≤x≤b)
(3) E 0 必须是 x 2 可得 x b /
b
2
2
0
2
4.在电荷体密度为 ρ 均匀带电球体中，存在 一个球形空腔，若将带电体球心 O 指向球 形空腔球心O’ 的矢量用 a 表示（如下图）。 试证明球形空腔中任一点的电场强度为
O
E a 3 0
a
2 0I 1 2 4 a
1
2 2
2 0 I 4 a
方向垂直纸面向里，沿
z 轴负方向。
2. 解: 设直载流导线与圆电流 迭合
相交点到 P 点距离为 r 。 P 点产生 B P 可以看作圆电流 在 P 点的磁场 B 1 和无限长直 电流在 P 点的磁场 B 2的矢量和 :
I2
F1
b
I2dl
0 I1 I 2a ]i 2b
F3
dx
o
x
x
2.解 1
M pm B
M pm B sin 90
R2
2
M
IB
7.85 10
(2)
2
N .m
R
I
B
图示位置线圈内磁通量：
m1 BS cos 2 0
转过60度后线圈内磁通量：
E Kp : E KD : E K q p : q D : q 1 : 1 : 2
R mv qB 2V B m q
R p : R D : R 1 : 2 : 2
三、计算题
解：（１）V 平行于导线电流，则该处
f ev B ev
0I 2 a
B V
sin
1 eBD
α α
P
D
２．Ｂ 电子在磁场中作匀速圆周运动
R mv eB
mv eB ) B
2
BS (
m 2 v 2
e B
2
二、填空题 １．vBd 上极板 等离子气体受洛伦兹力，正离子向上运动，负离子向下运动， 形成正负霍尔电场，当电场力和洛伦兹力平衡时，
eE H evB E H vB U 12 E H d vBd
m2 BS cos(
2
3
) BS cos
6
在转动过程中磁力矩作功：
A I ( m2 m1 ) IBS cos
6
6.8 10 J
2
磁场（三）毕萨定理
一、选择题
1. A
2. B（磁感应线为闭合曲线，不能中断，螺线管内部 磁感应线集中，较密集，而边缘处稀疏）
解：由对称性可知，合场强沿着y 轴负方向
y
+Q
R
O x
－Q
y轴负方向
3.图中所示为一沿x轴放置的带电细棒，长为l， 电荷线密度为= 0x ，取无限远电势为零，求x 轴上x=2l处p点的电势
解： l P l
x
4.两根相同的均匀带电细棒，长为l，电荷线密度 为，沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也 为l/2，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移 动的，试求两棒间的静电相互作用力．
x dx
y dy
l l/2 l
解：左棒在dy处的磁场强度为
l
对dy的作用力为dF=Eλdy，所以相互作用力为
6.两块“无限大”平行导体板，相距为2d，都与 地连接，在板间均匀充满着等离子气体（与导体 板绝缘）离子数密度为n,每个 离子带电量为q。如 果忽略气体中的极化现象，可以认为电场分布相 对中心平面OO`是对称的，试求两板间的场强分 布和电 势分布 解：选X轴垂直导体板，原点在中心平面上，作一 底面为S，长为2x的柱形高斯面，其轴线与X轴平 行，上下底面与导体板平行且与中心平面对称，由 电荷分布知电场分布与中面对称。设底面处场强大 小为E。应用高斯定理：
B1
B2
y
B1
P
B
B2
2R
z
0 IR 2
2r
3
2 0 I 8R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
0
沿 y 轴正方向。
x
0I
2 r
4 R 0I 0I 矢量表达式： B 2 i j 4 R 4 R
I
在 xoy 平面内，与 x 轴成 45 夹角。
0I 0I B i 4 R 4 R
a
3.
0I B , 方向是：垂直纸面向里 。 4R 2 R
0I
解题思路： 在O点产生的磁感应强度可以看作是两条半 无限长直电流与一个半圆形弧电流产生的磁感应强度的 叠加，大小为：
B
0I
4R
0I
2 R
4.
0 V B 2 r
解题思路： 运动的带电直导线，相当于在直导线方向上通 有电流I=V产生的磁感应强度大小为：
S
(2) 与电力线重合方向上为等位面： UB=UC
EB U B x ; EC U C x
x A B
所以：EB=EC.
3。如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其 电荷体密度分布为ρ＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的 常量．求： (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？