基于MGF研究二项分布、泊松分布与正态分布之间的联系

如 果 ｎ ｐ ： Ａ ， 即 ｐ ＝ 鲁 ， 当 ｎ 一 ∞ 时 ， ｐ － － ￣ Ｏ ・
根据 Ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ 展 开式 ， 当
ｅ ＝ １＋
性质 １ ． ２ 如 果随 机变 量 ， ｙ的 动 差生 成 函 数都存 在 ， Ｚ ：Ｘ ＋ｙ ， 则有 ：
（ ｔ ）＝Ｍｘ （ ｔ ） ｙ （ ｔ ） （ ４ ）
①
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６— ０ ９—０ ７ 基金项目： 安徽新华学院教改课程项 目（ ２ ０ １ ５ ｊ ｇ ｋ ｃ ｘ ｌ １ ） ； 安徽新华学院大 学生素质教育研究 中心项 目（ Ｉ Ｆ Ｑ Ｅ ２ ０ １ ４ ０ ９ ） ； 安徽新 华学
院校级质量工程项 目（ ２ ０ １ ５ ｊ ｙ ｏ ３ ８ ） ； 安徽新华学院校级科研项 目（ ２ ０ １ ４ ｚ ￣ ０ １ ５ ）。
作者简介 ： 朱芳 （ １ ９ ８ ７ 一） ， 女， 安徽 六安人 ， 讲师 。
第 ６期
朱 芳 ， 等： 基于Ｍ Ｇ Ｆ研究二项分布、 泊松分布与正态分布之间的联 系
１ ０ ０ １
Ｍｙ （ ｔ ） （ ｎ ∞） ．
Ｎ（ ｘ， Ｉ ） ， ｙ ， ｚ 的 ＭＧ Ｆ分 别记 为 ｙ （ ｔ ） ， （ ｔ ）则 ０时二项 分 布逼 有： ｙ （ ｆ ） ＝ｅ ‘ ’
文献标 识码 ： Ａ
０ 引 言
动差生成函数是概率论与数理统计…研究中
非 常重要 的一 种 工 具 ， 近 代 很 多 国 内外 学 者 基 于
生 衣 ｌ
二项分布 自 Ｉ 潲
正ｉ 嗣！ ｆ ｉ 白 撞 差和 Ｍ Ｇ Ｆ
Ｍ Ｇ Ｆ 深入研究统计学、 代数学以及其他学科 ， 都取 得很 多重要 的成果 ］ 。本文主要借助 Ｍ Ｇ Ｆ进
任 意 的常数 ） ， 则有 ：
（ ）＝ｅ ａ ｔ Ｍｘ （ ６ ｆ ） （ ３ ）
Ｍ ｘ （ ｔ ）＝∑ｅ ｔ ｘ ｃ … ｑ ＝ ∑ ｅ ‘ Ｊ ｐ ） … ｑ
＝
（ ｐ ｅ ＋口 ） ＝（ Ｐ （ ｅ ‘ 一１ ）＋１ ） Biblioteka Baidu （ ｇ＝ １一Ｐ ）
（ ５ ）
摘
要： 主要基 于动差生成 函数进一步研究概率论 中三大重要分布之间的内在联 系， 通过证明
体现二 项 分布 、 泊松 分 布与 正 态分 布在 一定条 件 下的近似 关 系。
关键词 ： 动差 生成 函数 ； 二 项分 布 ； 泊松 分布 ； 正 态分布
中 图分 类号 ： ０ ２ １ — ４
第３ ４卷 第 ６ 期
２ ０ １ ６ 年 １ １月
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍ ｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
一
步研 究概 率论 中三大 重要分 布之 间 内在 的关 联 ，
让学生在学习概率中重要分布时能进一步了解其 中的内涵。首先简要给出 Ｍ Ｇ Ｆ的定义以及相应 的 些 性质 。
一
１ 二项分布、 泊 松 分 布 与 正态 分 布 之 间 的关 系
１ ． １ 二项分布 与泊 松分布 设 随 机 变 量 ～ Ｂ（ ｎ ， Ｐ ） ，随 机 变 量 ｙ —
∞
Ｐ ｏ ｉ ｓ ｓ ｏ ｎ （ ｎ ， Ｐ ） ， Ｘ， Ｙ的 Ｍ Ｇ Ｆ分 别 记 为 Ｍ Ｘ （ ｔ ） ，
ＭＹ （ ｔ ）则有 ：
（ ２ ）
其中 （ ） 为离散型随机变量 的概率函数 ； （ ） 为连续型随机变量 的概率密度函数。 性质 １ ． １ 如果 随机变 量 Ｙ ＝ａ＋ｂ Ｘ（ 口 ， ｂ为
定义 １ ． １ 设随机变量的数学期望存在 ， 则称
为 随机变 量 的动差生 成 函数 （ ＭＧ Ｆ ） ， 即有 ：
Ｍ ｘ （ ｔ ）＝∑ｅ ｔ Ｘ ｐ （ ） （ 为离 散型 随 机变 量）（ １ ）
一
＋∞
峨（ ｔ ）＝ｆ
一
ｅ ‘ （ ） （ 为连续型随 机变量）
＝ ｅ 一 ｙ （ ÷） √ Ａ
‘ －＿ ｔ”
：ｅ ＾ （ 岳一 去 一 １
（ １ ２ ）
结合 （ ９ ）式 和 （ ６ ）式 ， 当 一 ０时 ， 令 Ｚ ＝
有：
结合（ ５ ） 式得 ：
（ ｔ ）：ｅ ＾ （ １ ＋ 去 ＋ ｔ ２ ＋ ｏ （ ｃ ３ ） 一 ｔ ＿ １ ）：ｅ （ ｔ ２ ＋ ｏ （ ） ）
定理 １ ． １当 ｎ 一 ∞， Ｐ 近泊 松分 布．
由Ｍ Ｇ Ｆ的性质得 ：
ｙ
（ ￡ ） ＝ ｅ
： ｅ一 ｅ
１ ． ２ 二项 分布 与正 态 分布 设 随机 变量 ～Ｂ（ ｎ ， Ｐ ） ， 随机 变量 ｚ —Ｎ（ Ｘ， Ｉ ） ， Ｘ， Ｚ 的 ＭＧ Ｆ分别 记 为 Ｍｘ （ ｔ ） ， Ｍｚ （ ｔ ） 则有 ： Ｍｘ （ ｔ ）＝ （ Ｐ （ ｅ ‘ 一１ ）＋１ ） （ ｑ＝ １一Ｐ ）
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎ ｏ ． ６
ＮＯ Ｖ ． ２ ０１ ６
文章编号 ： １ ０ ０ ８—１ ４ ０ ２ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６—１ ０ ０ ０— ０ ２
基于 Ｍ Ｇ Ｆ研究二项分布、 泊松分布与正态分布之间的联系
朱 芳 ， 李 啸芳
（ 安徽新华学院公共课程教学部 ， 安徽 合 肥 ２ ３ ０ ０ ８ ８ ）
０时有
（ ６ ）
由Ｍ Ｇ Ｆ的定义和性质总结二项分 布、 泊松分
布 和正态 分布 的 ＭＧ Ｆ ：
由（ ６ ）式得 ： Ｍｘ （ ｔ ）＝ （ ｅ 一１ ）＋１ ） ＝
’ ＝ｅ
＝ｅ ‘
（ ７ ）
结合表 １ 知： （ ｔ ）＝ｅ （ ｅ ‘ 一１ ） ， 则 Ｍ （ ｔ ）＝