函数奇偶性和单调性的判断方法和应用

讲解新课： 函数的奇偶性 （一） 主要知识：
1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；
2.奇偶函数的性质：
()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；
()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； ()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性.
3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．
4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
（二）主要方法：
1.判断函数的奇偶性的方法：
()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，
则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；
()2图象法；
()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇
±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，
()
1()
f x f x =±-． （三）典例分析：
1、下列函数是否具有奇偶性.
(1) ; (2) ;
(3)
; (4)
(5)
2、函数 在 上是减函数,求 的取值集合 。

3、若函数f(x)=ax 73
++bx ,有f(5)=3则f (－5)= 。

4、设f(x)是R 上的偶函数，且在[ 0, + ∞ )上递增，则f(--2) 、f(--π) 、f(3)的大小顺序是 。

5、f(x)是[－2，2]上的奇函数，若在[0，2]上f(x)有最大值5，则f(x)在[－2，0]上有最 值 。

6、已知函数f(x)=ax 2
+bx+3a+b 为偶函数，其定义域为 [ a —1, 2a ],则函数的值域为 。

7、若二次函数f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数，则g(x)=ax 3+bx 2
+cx 是 函数。

8、已知定义在（-∞，∞）上的奇函数f(x)，当x > 0 时f(x)=3 x – 1,求f(x)的解析式。

9、若函数 在
上是奇函数,试确定
的解析式
问题1．判断下列各函数的奇偶性：
()1 ()(f x x =- ()2 2lg(1)
()|2|2
x f x x -=--；
()3 ())f x x =；
则()f x 的解析式为
()2(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-
()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <
6.（05北京西城模拟）已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，
()1求证：()f x 为奇函数；()2若(3)f a -=，用a 表示(12)f .
()2已知函数21
()ax f x bx c
+=
+（a 、b 、c Z ∈）为奇函数，又(1)2f =，(2)3f <， 求a 、b 、c 的值 .
问题4．()1已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，
若120,0x x <>，且12||||x x <，则
A .12()()f x f x ->-
B .12()()f x f x -<-
C .12()()f x f x ->-
D . 12()()f x f x -<-
（四）巩固练习：
1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=
2.已知1
()21
x
f x m =
++为奇函数，则(1)f -的值为 3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______
4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于 .A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对
5.函数)0)(()1
22
1()(≠-+
=x x f x F x
是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f .A 是奇函数 .B 是偶函数
.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数
（五）课后作业：
1.判断下列函数的奇偶性：
1.11()212x
f x =+-； 2.()
3()log 132
x x
f x -=++；
2（06上海春）已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，
4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =
3.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，那么1()2f 的值为
.A
.B
.C
.D 9
4.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1
()()1
f x
g x x +=-，则()f x = ，
()g x =
5.定义在)1,1(-上的函数1
)(2+++=nx x m
x x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____
单调性
（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；
注意：
○
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

（3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集：
①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数；
②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；
○2作差f(x1)－f(x2)；
○3变形（通常是因式分解和配方）；
○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

（5）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数+
g是增函数；
(x
(x
)
f增函数)
减函数+
(x
g是减函数；
f减函数)
)
(x
增函数-
(x
g是增函数；
(x
)
f减函数)
减函数-
(x
g是减函数。

f增函数)
)
(x
2．最值
（1）定义：
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。

那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。

那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

注意：
○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
○2利用图象求函数的最大（小）值；
○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；
★典例讲解：
题型一：判断证明函数的单调性 常见函数单调性
例1、讨论函数f(x)=1
1
2++x x 的单调性。

例2．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；
例4. （广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试） 已知函数()f x 的定义域为
{}
,0x x R x ∈≠且对定义域内的任意1x 、2x ，都有
1212()()(),
1()
0,(2)1.
f x x f x f x x f x f ⋅=+>>=且当时 （1）求证：()f x 是偶函数；
（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21) 2.f x -<
题型二：单调性的应用：
1．利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。

这类问题能够加深对概念、性质的理解。

例 1.函数f(x)是定义在（-1，1）上的增函数，且f(a-2)-f(4-a 2)<0, 那么a 的取值范围为____________;
例2.函数f(x)=ax 2-(5a-2)x-4在[)+∞,2上是增函数, 则a 的取值范围是______________.
总结：1.函数y=-f(x)与函数y=f(-x)的单调性相反。

2.函数y=f(x)+c 与函数y=f(x)的单调性相同。

3.当c ＞0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相同，当c ＜0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相反。

4.若f(x)≠0,则函数f(x)与)
(1
x f 具有相反的单调性。

5.若f(x)≥0，则函数f(x)与
)(x f 具有相同的单调性。

6.对于函数f(x)与g(x)可以总结为：
增+增＝增，增—减＝增，减+减＝减，减—增＝减
7.当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y=f ［g(x)］是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相反时，复合函数y=f ［g(x)］是减函数。

简称为口诀“同增异减”。

练习： 1．已知y=f(x)与y=g(x)均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的单调性。

（1） y=-2f(x) （2） y=f(x)+2g(x)
2. 求函数y=x +1-x 的最小值。

题型四、抽象函数的单调性
没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究抽象函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常用定义法；还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参
数范围。

例1、定义域在（0,+∞）上的函数f(x)满足:（1）f(2)=1; (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) 当x＞y 时，有f(x)＞ f(y),若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围。

例2. 函数f (x )对任意的m、n∈R, 都有f (m＋n )＝f (m)＋f (n)－1, 并且x＞0时, 恒有f (x )＞1.
(1) 求证: f (x )在R上是增函数; (2 ) 若f (3 )＝4, 解不等式f (5
+)＜2.
a
a2-。