离散数学(第33讲)

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例15-4.2
求群<Z4，>的子群<{[0]，[2]}，>的一切左、 右陪集。 解 所有的右陪集有： H0＝{[0]，[2]}0＝{[0]，[2]}， H1＝{[0]，[2]}1＝{[1]，[3]}， H2＝{[0]，[2]}2＝{[2]，[0]}， H3＝{[0]，[2]}3＝{[3]，[1]}， 即有：H0＝H2，H1＝H3，H0∪H1＝Z4； 同理，所有的左陪集有： 0H＝2H，1H＝3H，0H∪1H＝Z4。
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定理15.14 群 <G ， *> 的子群 <H ， *> 是不变子群 对 aG，有： aHa-1H
即： 对hH 有 a*h*a-1H。
证明 “”若aG，Ha＝aH，
则对h1*aHa (h1H)，a*h2aH(h2H)，
使得：h1*a＝a*h2，
即有：h1＝a*h2*a-1H。
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“”对aG， aHa-1H 先证 对 aHHa ah1aH，由 aHa-1H
必h2H，使得：a*h1*a-1＝h2 ，
所以有：a*h1＝h2*aHa，
同理可证
HaaH
即有：aH＝Ha；
所以H为G的不变子群。
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正规子群
由前可知，对于群 G 的子群 H 来说， H 的一 个左陪集 aH 未必等于右陪集 Ha ，但对 G 的某些 子群而言，却可能有aH＝Ha（对任意的a∈G）， 这是一种十分重要的子群。 定义15.7 设<H,*>是群<G，*>的一个子群，如 果对 aG ，都有 aH ＝ Ha ，则称 H 是 G 的不变子 群 ( 或正规子群 ) ，此时 H 的一个左、右陪集叫 做H的陪集。
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定理15.11 设 H 是群 G 的子群， a ， bG ，在 G 中建立二元 关系： aRbbaH ，则 R 是 G 上的一个等价关系。 （这里的R是以同属一个左陪集为判断标准） 因为等价关系R可以确定群G的一个等价划分， 每个左陪集就是分划中的一块（等价类），所以 G可以表示为 G=H∪a1H∪a2H∪‥‥ 同理，也可以得到右陪集的分解式 G=H∪Ha1∪Ha2∪‥‥
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商群
定义15.8 设<H,*>是<G,*>的一个正规子群，G/H表示 G的所有陪集的集合，则<G/H, ·>是一个群， 称为商群。其中“·”定义为： aH,bH∈G/H，aH·bH=(a*b)H。
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习题十五
18、19、21、22、23、 24(1)(3)(5)、25(1)(2)
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定理15.12 设<H，*>是群<G，*>的子群，则 H的所有左（右）陪集都是等势的。 证明： 只需证明对aG，都有aH～H就行了。 由于 aH ＝ {a*h|hH} ，对 h1,h2H ，且 h1h2 ，有： a*h1a*h2 ( 若 a*h1 ＝ a*h2 ，因 G 是 群，所以满足消去律，两边消去元素 a ，有 h1 ＝ h2 ， 矛盾 ) ， 所以 ， 可 定 义 H 上的 双 射 f ： H→aH如下：对hH， f(h)=ah； 因此 aH～H。
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H（1）=H（1 2）=H， H（1 3）=H（1 3 2）={(1 3),(1 3 2)}， H（2 3）=H（1 2 3）={(2 3),(1 2 3)}。 从此例我们可以发现以下事实：
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1 2 3 2 3 1 1 2 3
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事实
① H关于同一元素的左（右）陪集可能不相同， 如 （1 3）H≠H（1 3）； ② 凡是同属某个左（右）陪集的元素，它们对 应的左（右）陪集相同； ③ 任何两个左（右）陪集要么相同，要么无公 共元素； ④ 所有左（右）陪集的元素数目相同。 根据这些事实，我们可以建立下述关于 群中元素间的等价二元关系。
冯伟森
Email：fws365@scu.edu.cn 2014年1月20日星期一
主要内容
1、群中元素的周期和性质。
2、左（右）陪集
3、Lagrange 定理
4、正规子群与商群
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元素的周期
设 a 是群 G 的生成元，对（ a ） ={an|nZ} ， 有以下两种不同的情况： 1) 存在整数i和j(i≠j)，有 a i＝a j 2) 对任意的整数i和j(i≠j) ，有 ai≠aj 第一种情况表明有无限多个整数n，使得
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例15-5.1
1. 任意群 <G ， *> 的平凡子群（仅由幺元构成 的群和群本身）都是G的不变子群。 2. 交换群<G ，*>的任意一个子群<H，*> 都是G 的不变子群； 3. 一个循环群 <G ， *> 的任意一个子群 <H ， *> 都是G的不变子群。 4. 整数加群、实数加群、有理数加群、复数 加群的任意一个子群都是不变子群； 5. 素数阶群<G，*>没有非平凡不变子群。
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拉格朗日定理
定理15.13 一个 n 阶有限群 <G ， *> 的任一个子群 <H ， *> 的 阶必是n的因子。 证明： ∵G是n阶有限群，且 G=H∪a1H∪a2H∪‥‥ ∪akH ∴ |G|=|H|+|a1H|+|a2H|+‥‥+|akH| 即|H|是|G|的因子。 拉格朗日定理是从元素的数目角度给出了群 的子集成为子群的必要条件,但它不是充分条件。 即当m是n的因子时,n阶群不一定有m阶子群。
an=e 。
由此引出元素周期的概念。
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定义15.5 设<G ， *>是一个群，对aG ，若有 an=e ， (其中：nZ+ ， 且n是使得an=e成立的最 小的正整数)，则称n为元素a的周期或为元素a 的阶数；若对aG ，这样的n不存在，则称元素 a的周期为。
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陪集
群的子群反映了群的结构和性质，因此需 要研究群与子群的关系和子群的性质。
定义15.6 设<G，*>是一个群，<H，*>是<G，*> 的任一个子群， aG，集合 Ha＝{h*a|(一切hH)} 称为H在<G，*>中关于a的一个右陪集； aH＝{a*h|(一切hH)} 称为H在<G，*>中关于a的一个左陪集； 由左（右）陪集构成的集合的基数称为 子群的指数。
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例15-3.1
设<G ， *>是一个群，对a ， bG ，若a的周期为2，b的周 期为3，且有：a*b=b*a，证明a*b的周期为6。 解：设a*b的周期为n，则有 (a*b)n=e，由于a*b=b*a，且 运算“*”满足结合律，所以有： (a*b)6=a6*b6=e*e=e， 由定理15.10 知： n|6，即n=1，2，3，6， 若n=1，2，3，则有： (a*b)¹ =a*be (因若a*b=e，则由a² =e， 有a*a=a*b，由消去律知：a=b，矛盾) (a*b)² =a² *b² =e*b² =b² e (因b的周期为3)， (a*b)³ =a³ *b³ =a³ *e=ae (因a的周期为2)， 所以，只有当n=6时，才有 (a*b)n=e。
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例如：在剩余类加群<Z6 ，>中， 元素[1]、[5]的周期是6； 元素[2]、[4]的周期是3； 元素[3]的周期是2；元素[0]的周期是1。
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定理15.10 设<G ， * >是一个群，对aG ， 若a的
周期为n，则
① am =e当且仅当 n|m；
② ai＝aj 当且仅当 n|(i-j)
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例15-4.1
三 次 对 称 群 <S3 ， > 的 一 个 子 群 为 H={（1），（1 2）}，其左、右陪集分别为： （1）H=（1 2）H=H， (1 3)H=(1 2 3)H={(1 3),(1 2 3)} 2 3 1 2 3 1， 1 3 1 2 (2 3)H=(1 3 2)H={(2 3),(1 3 2)} 。 3 2 1 2 1 3
(如8是24的因子，但<S4，>却无8阶子群）
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推论15.13.1 有限群<G，*>中任意元素a的周期 都能整除群的阶。 证明 设群 G 的阶为 n ， a 的周期为 m ，则集合 H ＝ {e ， a ， a2 ， … ， am-1} 是 G 的子群，而且 H 还是 G 的以a为生成元的循环子群，则由拉格朗日定理 有k＝|G|／|H|是整数，即m|n。 推 论 15.13.2 阶 数 为 n 的 有 限 群 <G ， * > 中 ， 对 a∈G，有 an＝e。 推论 15.13.3 阶数为 n 的有限群 <G ， *> 都有循环 子群存在，该子群的生成元的周期均能整除n。
③ 由a生成的子群恰有n个元素，即
（a）= ｛e，a，a2，a3，…，an-1｝
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证明：① “” (反证法) 设 am=e。 若n|m不成立，则qZ，使得 m=nq+r(1rn-1)， 由a的周期为n，且am=e，有： am＝anq+r＝anq*ar＝(an)q*ar＝eq*ar＝ar＝e 由于1rn-1，这就与a的周期为n矛盾， 所以有 n|m。 “” 设 n|m。 则kZ，使得m=nk，于是有： am＝ank＝(an)k＝ek＝e 所以有 am=e。证毕。