定积分的应用函数

第十章 定积分的应用函数

§10.1 平面图形面积

1，求下列各曲线所围成的图形面积：

(1) 22

4(1),4(1);y x y x =+ =−

(2)

|ln |,0 (0.110);y x y x = = ≤≤ (3) 2,sin (0y x y x x x );π= =+ ≤≤

(4)

22,5;y x x = = (5) 2,5y x y x = =+; (6) 222333;x y a +=

2．求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积：

(1) 双纽线22cos 2;r a ϕ=

(2) 三叶玫瑰线sin 3;r a ϕ=

(3) 蚌线cos ().r a b b a θ=+ ≥

3．求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积：

(1) 222,23;x t t y t t =− =−

(2) 摆线(sin ),(1cos )(02x a t t y a t t )π=− =− ≤≤及x 轴；

(3) 圆的渐开线(cos sin ),(sin cos ),(02)x a t t t y a t t t t π=+ =− ≤≤，及半直线，其中．

(0x a y = ≤)0a > 4．直线把椭圆y x =2236x y +=y 的面积分成两部分A (小的一块)和

B (的一块)，A B

之值． 5，求3cos r θ=和1cos r θ=+所围的公共部分的面积．

§10.2 由平行截面面积求体积

1．求由下列各曲面所围成的几何体的体积：

(1) 求截锥体的体积，其上，下底皆为椭圆，椭圆的轴长分别等于A ，B 和 a ，b ，而高为h ；

(2) 正圆台：其上下底分别是半径为a 、b 的圆，而其间的距离为h ．

2．已知球半径为R ，试求高为h 的球冠体积(h ≤R )．

3. 求下列旋转体的体积：

(1) 椭圆22

221x y a b

+=绕x 轴； (2) sin ,0(0)y x y x π= = ≤≤

(i)绕x 轴， (ii)绕轴；

y (3) 旋轮线(sin ),(1cos )(02),0x a t t y a t t y π=− =− ≤≤ =

(i)绕x 轴， (ii)绕y 轴， (iii)绕直线2;y a =

(4) 双曲线22

221y x b a

−=与直线x h =±所围的图形绕x 轴旋转，

§10.3 平面曲线的弧长

1.求下列曲线的弧长：

(1)

2,01;y x x = ≤≤ (2)

2,12;y e x = ≤≤

1;=

(4) 星形线33cos sin (02);x a t y a t t π= = ≤≤

(5) 圆的渐开线(cos sin ),(sin cos ),0,02;x a t t t y a t t t a t π=+ =− > ≤≤ (6) 3sin (0);3r a a θ

= >

(7) 心脏线(1cos ),02,0.r a a θθπ=+ ≤≤ >

2．求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径：

(1) 在点(2，2)；

4xy = (2) 在点(1，0)．

ln y =x

§10.4 旋转曲面的面积

18．求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积：

(1) sin ,0y x x π= ≤≤绕x 轴；

(2) (sin ),(1cos ),0,02x a t t y a t a t π=− =− > ≤≤绕直线2;y a = (3) 22

221()x y a b a b

+= >绕x 轴； (4) 33cos ,sin x a t y a t = =绕x 轴；

(5) 222cos 2r a θ=绕极轴． ·

19．求下列曲线段的质心：

(1) 半径为，弧长为专r 1(2)πααπ ≤的均匀圆弧；

(2) 对数螺线上由点(0到点(0,0k r ae a k θ= >>),)a (,)r θ的均匀弧段；

(3) 以A(0，0)，B (0，1)，C(2，1)，D (2，0)为顶点的矩形周界，曲线上任一点的密度等于该点到原点距离的2倍；

(4) (sin ),(1cos )02,x a t t y a t t a π=− =− ≤≤ >0，密度为常数．

20，已知一抛物线段，曲线段上任一点处的密度与该点到轴的距离成正比，2(11)y x x =−≤≤y 1x =处密度为5，求此曲线段的质量．

21．轴长10m ，密度分布为()(60.3)kg/m x x ρ=+，其中x 为距轴的一个端点的距离，求轴的质量．

22

．求半球0z ≤≤的质心

23z h ≤≤的质心和绕轴的转动惯量．

z 24．求抛物体22x y z h +≤≤的质心和绕轴的转动惯量．

z

§10.5 定积分在物理中的某些应用

1. 有一薄版22

221()x y a b a b

+≤ >，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力. 2. 修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m ，水深27m ，围囹高 出水面3m ，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。

3. 某水库的闸门是一梯形，上底6m ，下底2m ，高10m ，求水灌满时闸门所要的力。 设水的比重为1000.

3/kg m 4. 半径为r 的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要 作多少功？

5. 把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1的力能使弹簧伸长1cm ，问 kg 把弹簧拉长10cm 要作多少功？

6.有一长为a 的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此 细棒的平均密度.