第二类曲线积分典型例题解析

高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析

例1 若对任意的x ，y 有y

P x Q ∂∂≡∂∂，设C 是有向闭曲线，则⎰+C y Q x P d d = ． 解：由格林公式将

y x y

P x Q y y x Q x y x P D C d d )(d ),(d ),(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰ 其中D 为C l 围成的平面区域，及条件y

P x Q ∂∂≡∂∂知，应该填写：0 例2．_______d d =+-⎰

y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周． 解：因为圆周1)1()1(2

2=-+-y x 所围圆面积D 为：π⋅21，由格林公式得：⎰⎰⎰+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2

例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分⎰

+l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ ）． A ．在域D 内恒有y Q x P ∂∂=∂∂ B ．在域D 内恒有y

P x Q ∂∂=∂∂ C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分

0d d ≠+⎰'l y Q x P D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d =+⎰'

l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则⎰+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y

P x Q ∈∂∂=∂∂⇔),(,。 所以选择：B

例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的．

A ．

⎰+C y x x yx d d 332 B ．⎰-C y x x y d d C ．⎰-C y x x xy d d 22 D ．⎰+C

y y x yx d d 332 解：因为选项A 中，23323)(,3)3(x x

x x Q x y yx y P =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂，由曲线积分与路径无

关的充分必要条件知道，正确选择：A

例 5 设积分路径⎩⎨⎧==)

()(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t ，那么第二类曲线积分计算公式

⎰+l

y y x Q x y x P d ),(d ),(=（ ）． A ．

⎰'+'βαψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([ B ．

⎰'+βαϕψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ C ．

⎰'+βαψψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ D ．⎰+βαψϕψϕt t t Q t t P d ))](),(())(),(([

解：因为积分曲线的路径由参数方程⎩⎨

⎧==)()(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t 给出，把参数方程代

入曲线积分中，得：⎰'+'βαψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([

所以正确选择：A 例6 计算⎰-++-l x x

y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2，其中l 为由点)0,3(A 经椭圆⎩

⎨⎧==t y t x sin 2cos 的上半弧到点)0,3(-B 再沿直线回到A 的路径． 解：由于l 为封闭曲线，故原式可写成

⎰-++-l

x x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2 其中x y Q x y y P x x -=+-=cos e ,3sin e 2，由格林公式

原式=⎰-++-l x x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=D d d ][y x y

P x Q =⎰⎰---D

x x y x y y d d ]3cos e ()1cos e [( =⎰⎰D

y x d d 2=23212⋅⋅⋅π=π6 例7．计算⎰-+-l x x

y y x y y d )21cos e (d )2sin e (2，其中l 是上半圆周x y x 222=+ )0(>y 和x 轴围成平面区域边界的正向．

解： 21cos e ,2sin e 2-=-=y Q y y P x x

，由格林公式得 ⎰-+-l x x

y y x y y d )21cos e (d )2sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=D d d ][y x y P x Q =⎰⎰--D x x y x y y y d d )]cos e (cos e [=⎰⎰D

y x y d d =⎰⎰θπ

θθcos 2022

0d d sin r r =⎰203d cos sin 38π

θθθ =32)cos (32204=-π

θ 例8 计算⎰-l

x y x y xy d d 22，其中1:2

2=+y x l 逆时针方向． 解： 22,xy Q y x P =-=，由格林公式得

⎰-l x y x y xy d d 22⎰⎰∂∂-∂∂=D d d ][y x y

P x Q =

⎰⎰≤++12222d d )(y x y x y x =⎰⎰10

320d d r r πθ =2412ππ=⨯