ch2.3 连续系统的离散相似法

保持器
1、采样周期
的采样开关， 假设有一连续信号 e( t ), 若将它通过一个采样周 期为T的采样开关， 得到的离散信号 e* (t ), 可以证明 1 ∞ e* (t ) = ∑ e(t )e jnωs t , 其中ωs = 2π / T为采样频率 T n = ∞ 1 ∞ * 拉氏变换,并使用平移原理 并使用平移原理： 拉氏变换 并使用平移原理： E ( s ) = ∑ E ( s jn ω s ) T n = ∞
2.3 连续系统的离散相似法
数值积分方法进行系统仿真的不足之处： 数值积分方法进行系统仿真的不足之处： 单步法求解过程中，每计算一个步长h (1) 单步法求解过程中，每计算一个步长h，要多次求取函 数的导数值，步骤烦琐。 数的导数值，步骤烦琐。 多步法求解过程中，又要求存储各状态变量值前r (2) 多步法求解过程中，又要求存储各状态变量值前r次时 刻的数据，系统阶次较高时，存储量相当大， 刻的数据，系统阶次较高时，存储量相当大，而且启动时还需 要其他算法配合。 要其他算法配合。 隐式算法求解必须经若干次迭代， (3) 隐式算法求解必须经若干次迭代，才取得一个时刻的变 量数值，计算速度受影响。 量数值，计算速度受影响。 虽能得到各线性环节的输出响应值， (4) 虽能得到各线性环节的输出响应值，但由于数值积分方 法本身的原因所限，它是统一由状态方程求解变量值， 法本身的原因所限，它是统一由状态方程求解变量值，对单个 环节输出的特殊变化(如非线性变化)难以单独考虑. 环节输出的特殊变化(如非线性变化)难以单独考虑.
-T T
hg(t)
1 t
传递函数为 : e H (s ) = T
Ts
1 e s
Ts
2
滞后一拍的 三角保持器
y ( kT ) y[( k 1)T ] y ( kT + t ) = y[( k 1)T ] + t T
(1 e ) H (s ) =
Ts 2
Ts 2
(试比较一阶保持器)
13
2.3.2 连续系统状态方程的离散化
u(t)
u(kt) 保持器
x(t ) = Ax + Bu y = Cx + Du
y(kt)
对输入为u(t)，输出为y(t)的连续系统。使用采样周期为T的 虚拟开关将输入、输出离散化，要求输出y(kt)在采样时刻 的值等同于原输出y(t)在同一时刻的值。
14
对状态方程
Ts 2
刻和前一时刻两个采样
值为基础 0 ≤ t ≤ T
Ts
1 e 传递函数为 H1 (s ) = T (1 + Ts ) Ts
1 + Ts 1 e = T s
2
一阶保持器当满足采样定理时，可无失真地重构斜坡信号。 一阶保持器当满足采样定理时，可无失真地重构斜坡信号。 斜坡信号
称为状态转移矩阵
X ( s ) = L [φ ( t )] X ( 0 ) + L [φ ( t )] BU ( s )
拉氏反变换，并利用卷积公式，可得： 拉氏反变换，并利用卷积公式，可得：
x(t ) = φ (t ) x(0) + ∫ φ (t τ ) Bu (τ )dτ
0
t
即：
x(t ) = e x(0) + ∫ e A(t τ ) Bu (τ )dτ
AT
所以， 所以，有 x[(k + 1)T ] = e =e
AT
x (kT ) + e
AT
∫
( k +1)T
kT
e A( kT τ ) Bu(τ )dτ
x (kT ) + ∫
( k +1)T
kT
e A[( k +1)T τ )] Bu(τ )dτ
16
做不同的处理， 对输入向量 u ( τ ）做不同的处理，可以 得到不同的时域等价离 散化模型
用 j ω 代替 s ，可得
1 E ( jω ) = T
*
n = ∞
∑ E [ j (ω n ω
∞
s
)]
的频谱， 若 E ( j ω ) 为 e ( t )的频谱，则离散信号 为一周期性频谱， 为一周期性频谱，其周 期为 ω s
e * ( t )的频谱 E * ( j ω )
(什么是频谱?)
4
为信号频谱最高频率。 ω m 为信号频谱最高频率。
22
r(t)
连续系统模型
y (t )
r(t)
虚拟采样 开关
r * (t )
保持器
r(t) 连续系统
模型
y (t )
y * (t )
保持器的目的是使 输入信号在采样间 隔仍保持连续性
从频域看，保持器的作用就是把因离散化产生的高频分量滤去， 从频域看，保持器的作用就是把因离散化产生的高频分量滤去，保留 主频部分。 主频部分。 但是由于保持器并非是理想滤波器， 但是由于保持器并非是理想滤波器，因此它只能在一定程度上近似 3 还原”连续信号。 “还原”连续信号。
5香农Βιβλιοθήκη 样定理： 香农采样定理：对一个具有有限频谱的连续信号 进行采样， 进行采样，只要选择 ω s
2 ≥ ωm
(ω m < ω < ω m )
理想的低通滤波器 ，通过理想的低通滤波器，就能把 通过理想的低通滤波器，
原来信号毫无失真地提取出来。 原来信号毫无失真地提取出来。 (信号无失真复原的两个条件)
6
2、理想的信号保持器
若 ω s / 2 ≥ ω m , 则离散信号的频谱没有 重叠现象 , 在用一个信号 保持器完全恢复连续信 号时 , 要求该信号保持器的频 率特性是 锐截止的 .
Gh(jw)
理想信号保持器的频率特性
-ws/2 w
ws/2
保持器是一个低通滤波器 从频域观点看,保持器是一个低通滤波器 它用来衰减因离 频域观点看 保持器是一个低通滤波器,它用来衰减因离 散化产生的高频部分,尽可能恢复原来的信号 散化产生的高频部分 尽可能恢复原来的信号 时域观点看 保持器是一种 保持器是一种信号外推器 其任务是解决各 从时域观点看,保持器是一种信号外推器 ,其任务是解决各 采样点之间的插值问题 采样点之间的插值问题
10
5、三角形保持器
y[( k + 1)T ] y ( kT ) y ( t ) = y ( kT ) + ( t kT ) kT ≤ t ≤ ( k + 1)T T 特点： 特点：要求在计算 kT ~ ( k + 1)T 的 h ( t )时，需已知 y[( k + 1)T ]
三角保持器的 单位脉冲过渡 函数
x( 0 ) + ∫
A ( kT τ )
( k +1) T
0
e A ( kT+ T τ ) Bu( τ)dτ
( k +1) T kT
x( 0 ) + ∫ e
0
AkT
Bu( τ)dτ + ∫
kT 0
e A ( kT τ ) Bu( τ)dτ]
t = kT时, x (kT ) = e
x (0) + ∫ e A( kT τ ) Bu(τ )dτ
& x = Ax + Bu
拉氏变换， 拉氏变换， sX ( s ) X ( 0 ) = AX ( s ) + BU ( s )
X ( s ) = ( sI A ) 1 X ( 0 ) + ( sI A ) 1 BU ( s )
令： φ (t ) = L1[( sI A) 1 ] = e At
其特性与低通滤波器相似； ① 其特性与低通滤波器相似； 有相位滞后问题（滞后T/2）； ② 有相位滞后问题（滞后 ）； 若输入信号为阶跃信号，那么零阶保持器能无失真地恢复信号。 ③ 若输入信号为阶跃信号，那么零阶保持器能无失真地恢复信号。
4、一阶保持器
一阶保持器使用当前时 进行外推 , y ( kT + t ) = y ( kT ) + y ( kT ) y[( k 1)T ] t T
零阶近似(即采用零阶保持器) 1. 零阶近似(即采用零阶保持器)
11
为使采样后的信号能无失真的再现， 为使采样后的信号能无失真的再现，首先要求采样频率比 信号的最高频率高2倍以上，否则会出现信号重叠。 信号的最高频率高 倍以上，否则会出现信号重叠。同时需要 倍以上 加保持器，另外，由于保持器与理想保持器的特性有差别， 加保持器，另外，由于保持器与理想保持器的特性有差别， 要想无失真地再现原信号是不可能的。如果采样频率足够了， 要想无失真地再现原信号是不可能的。如果采样频率足够了， 合适的保持器， 又选择了 合适的保持器，则由保持器引起的失真可以减到足 够小。 够小。 从离散相似算法离散连续系统的角度讲，选择采样周期就 从离散相似算法离散连续系统的角度讲，选择采样周期就 采样周期 相当于数值积分算法的步距，选择保持器的形式相当于选择 相当于数值积分算法的步距，选择保持器的形式相当于选择 数值积分算法的步距 保持器的形式 算法。保持器的阶次越高，相当于数值积分算法的阶次就越 算法。保持器的阶次越高，相当于数值积分算法的阶次就越 越高 数值积分算法的阶次 高。 对于高阶保持器，其重构信号好，对于高频干扰灵敏， 对于高阶保持器，其重构信号好，对于高频干扰灵敏，但 相位滞后严重，硬件实施困难，因此工程上很少使用。 相位滞后严重，硬件实施困难，因此工程上很少使用。
h g ( t )是一个幅值为 1，持续时间为 T 的矩形脉冲，并可表示 的矩形脉冲， 阶跃函数之和： 阶跃函数之和： h g ( t ) = 1t 1t T 取拉氏变换得到零阶保 持器的传递函数： 持器的传递函数： 1 e Ts 1 e Ts H 0 ( s) = = s s s