2.求曲线的方程

一般情况下，步骤(5)可以省略不写。 步骤(2)也可省略
归纳: 求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任 意点M的坐标，简称—建系设点；
(2) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简 称—列(代)方程并限制条件； (3)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称—化简方程；
B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.
CMAB
法一： 当y 0时
kCM •kl 1
法二： CM0M
法三： 当y 0时
y
l
( x , y ) M A B
0
C
x
|CM |2|OM|2|O|C 2
P37A4 过原点的直线与圆 x2 y2 6x 5 0 相交于 A、 B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.
2.已知动点M在曲线x2 y2 1上移动，
M和定点B3,0连线的中点为P，求P点
的轨迹方程 2x324y2 1
3.已知点A2,-3，又点P是直线2x y30
上的动点，求线段PA的中点Q的轨迹方程
2xy20
2.求曲线的方程（公开课课件）
2.求曲线的方程（公开课课件）
例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
x1
y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
2.求曲线的方程（公开课课件）
针对练习 2.求曲线的方程（公开课课件）
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程的解,即 x1 2 y1 7 0 ∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2
M1A M1B
即方程的解在线段AB的垂直平分线上
综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2y 7 0 .
法二:一般性的方法
我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49
22 线段 AB 的垂直平分线y的 3方 1程 (x为 1)，
2 即x2y70
新课探究 例2、设A，B两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)， 求线段AB的垂直平分线的方程。 思考2：若没有现成的结论怎么办?
──需要寻找一般性的方法
y B
M
0
A
x
例2、设A，B两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)， 求线段AB的垂直平分线的方程。
且 PAAQ0， QM2AQ， 当 点 A在 y轴 上 移
动 时 ， 求 动 点 M的 轨 迹 方 程 y 2 4 x
P37A
4 过原点的直线与圆 x2 y2 6x 5 0 相交于 A、B 两 点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.
例3：
P37A4 过原点的直线与圆 x2 y2 6x 5 0 相交于 A、
以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化.
2.求曲线的方程（公开课课件）
定义法求曲线方程 2.求曲线的方程（公开课课件）
例1、已知定长为8的线段，其端点A、B分别在x轴 和y轴上移动，线段AB的中点为M，求点 M的轨迹 方程.
x2 y2 16
练习、已知圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆的任 意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
Hale Waihona Puke BaiduAl
M
B
C
6(x1 x2 ) ∵ kOM
∴ 2x
4( y1 kAB 即
y 2y
y x
y2
)0
y1 y2
x1
y
x2
64
(易知 x1 x2 0 ∴化简得 x
)
2
y2
0
3x
2
y
0
x
x
x
∴所求轨迹方程为 x2 y2 3x 2y 0 点差法
(在已知圆内部一段弧对应的方程)
2.求曲线的方程（公开课课件）
y
P
M
N
O
oO
x
体验高考
(江 苏 高 考 ） 已 知 两 点 M(-2,0),N(2,0)点 P为 坐 标 平 面 内 的 动 点 ， 满 足MNMPMNNP0 求 点 P的 轨 迹 方 程 。
(2007四 川 ） 已 知 圆 O的 方 程 是 x2y220, 圆 O'的 方 程 是 x2y28x100,求 由 点 P向 两 圆 引 切 线 长 相 等 的 P的 轨 迹 方 程 。
求曲线方程的过程中: 1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程可以使 过程变得简洁.(数形结合!) 2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系是相当 困难的,这时我们要巧妙地借助与它相关的点来分 析,会更容易发现问题中的代数关系,从而列出方 程.(相关点坐标分析法,代入法)
练习
已 知 点 P-3,0， 点 Q在 x轴 上 ， 点 A在 y轴 上 ，
引入参数 法
A BM
例 5： 课 本 P37B组 2题 一 动 圆 截 直 线 3x-y=0和 3x+y=0所 得 的 弦 长 分 别 是 8， 4， 求 圆 心 的 轨 迹 方 程 。
作业：
高考真题： 如图，圆O1与圆O2的半径 都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、 圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切 点），使得 PM 2PN. 试建立适当 的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
∴ x2y7 0
化简
证明所得的方程是线段AB的垂直平分线方程
例2.求曲线的方程（公开课课件） 2、设A，B两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)， 求线段AB的垂直平分线的方程。
证明所得的方程是线段AB的垂直平分线方程
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
新课探究
例2、设A，B两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)， 求线段AB的垂直平分线的方程。
思考1： 我们有哪些可以求直线方程的方法？
法一：运用直线方程的知识来求.
y
B
解：kAB
7 3
(1) (1)
2，
所求直线的斜率 k 1 又 线 A 段 的 B 中 2 (点 13坐 ,17 标 )， (A1 是 ,03 即 ) x
以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化.
2.求曲线的方程（公开课课件）
例3、已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一 点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当 的坐标系，求这条曲线的方程。
解:设曲线上任一点 M 的坐标为(x,y)
y 1 x2 8
2.求曲线的方程（公开课课件）
归纳: 2.求曲线的方程（公开课课件） 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任 意点M的坐标，简称—建系设点； (2) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简 称—列(代)方程并限制条件； (3)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称—化简方程；
2.求曲线的方程（公开课课件）
y
F.( 0 , 2 )
.(Mx , y )
0
lBx
求曲线的方程要注意以下几点： 2.求曲线的方程（公开课课件）
(1)当题中没给定坐标系时，我们就要适当地建立 坐标系，例如题目中有两垂直直线，就可以选其 做坐标轴。 (2)要仔细分析曲线上动点所满足的几何条件，挖 掘等量关系，寻找动点坐标所适合的方程。 (3)根据具体条件，有时要注明变量x与y的变化范 围。
2.1.2 求曲线的方程
坐标法和解析几何的意义、基本问题： 对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用 坐标表示点、用方程表示曲线，通过研究方程的 性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问 题的方法称为坐标法，这门学科称为解析几何．
解析几何的两大基本问题就是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程． (2)通过方程，研究平面曲线的性质．
2.求曲线的方程（公开课课件）
练习 2.求曲线的方程（公开课课件）
1、已知两定点A(-2,0)，B(2,0)，如果动点P满足PA 与PB的斜率之积为-2，求动点P的轨迹方程.
2x2+y2=8(x≠±2)
2、两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离 的平方和为26，求点M的轨迹方程.
x2+y2=4
查漏除杂 y
l
x2 y2 3x0 x2 y2 6x50
x5
A
(x, y)M B
0D C
x
3
∴M 的轨迹方程为 x2 y2 3x 0 ( 5 x 3 )
3
例 4： 课 本 P37B组 1. 过 点 P(3,4)的 动 直 线 与 两 坐 标 轴 的 交 点 分 别 为 A,B 过 点 A,B分 别 作 两 轴 的 垂 线 交 于 点 M， 求 点 M的 轨 迹 方 程 。
2.求曲线的方程（公开课课件）
求曲线方程的步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲 线上任意一点M的坐标； (2)写出满足条件p的点M的集合P={M| p(M)}; (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0； (4)化简方程 f(x,y)=0 ； (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M (x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2 , y2 )
y
则
x
y
x1 x2 2
y1 y2 2
且
x12 x22
y12 6x1 4y1 9 0 ① y22 6x2 4y2 9 0 ②
由①─②得 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 )
2.求曲线的方程（公开课课件）
代入法求曲线方程 2.求曲线的方程（公开课课件）
例2、△ABC的顶点B、C的坐标分别为(0,0)、(4,0)，AB 边上的中线的长为3，求顶点A的轨迹方程.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
y ( x , y ) 由中点坐标公式可知