并查集

对于每个C i j命令,需要进行如下操作:
– –
对战舰i,j进行查找和路径压缩 判断是否有a[i]=a[j],如是则表示他们是同一队列,输出|b[i]b[j]|-1;如果不是则输出-1
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
关于战舰i的路径压缩的步骤:
–
–
从i出发寻找根root,并累计从i到根root的深度,得 到b[i] 再次遍历从i出发到root的路径.对于途中的每一个 节点k(假设在修改k之前a[k]=a1,b[k]=b1),则我 们根据已经修改过的战舰k的a,b值对战舰a1的a, b值进行修改,即:
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
然而,老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了 主动.在交战中,他可以通过庞大的情报网络随时监 听杨威利的舰队调动指令. 在杨威利发布指令调动舰队的同时,莱因哈特为 了及时了解当前杨威利的战舰分布情况,也会发出一 些询问指令:C i j.该指令意思是,询问电脑,杨威 利的第i号战舰与第j号战舰当前是否在同一列中,如果 在同一列中,那么它们之间布置有多少战舰. 作为一个资深的高级程序设计员,你被要求编写 程序分析杨威利的指令,以及回答莱因哈特的询问.
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
观察这个题目,开始时每条战舰作为独立的队 列.随着M命令的发布,分离的队列不断合并. 而且途中我们需要知道一些元素(战舰)的信 息 这些性质启发我们应用并查集的数据结构解决
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
由于我们要得到的信息除了某条战舰在哪个队 列,还要知道它在该队列中的位置.因此需要 对并查集进行扩充. 定义:
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
初始时:a[i]=i,b[i]=0,c[i]=1 对于每个M i j命令,需要进行如下操作:
– –
对战舰i,j进行查找和路径压缩 设a[i]=r1,a[j]=r2且r1!= r2,则:a[r1]=r2,b[r1]=c[r2], c[r2]=c[r1]+c[r2]
a[a1]=root,b[a1]=b[k]-b1
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
结合并查集的时间复杂度的理论,可以得到该 算法的时间复杂度大约为O(K) 本题我们对并查集模型本身进行巧妙的修改, 得到了高效地解决办法.下面我们来看一个对 问题的形式进行修改,使得它能够应用并查集 的例子.
– – –
a[i]:战舰i暂时标记为属于以战舰a[i]为首的队列, 称战舰a[i]为战舰i的父节点 b[i]:战舰i到战舰a[i](包括战舰a[i])之间的战舰数 量,称b[i]为战舰i到战舰a[i]的深度. c[i]:战舰i所属队列后方(包括战舰i本身)的战舰 数量(注意:此变量只有当a[i]=i时才有意义),称 c[i]为队列长度.
两个优化
启发式合并: 在合并集合S1,S2的时候,我们让较小 的树成为较大的树的子树.这里可以是深度, 节点个数等启发函数来比较树的大小. 路径压缩: 我们在查找完u至根节点的路径之后,一 般将这条路径上的所有节点的父节点都设为根 节点,这样可以大大减少之后的查找次数.
并查集的时间复杂度
可以证明,经过启发式合并和路径压缩之后的 并查集,执行m次查找的复杂度为O(mα(m)) 其中α(m)是Ackermann函数的某个反函数,你 可以近似的认为它是小于5的.所以并查集的 单次查找操作的时间复杂度也几乎是常数级的.
例1 亲戚
样例: input.txt 653 12 15 34 52 13 14 23 56 output.txt Yes Yes No
例1 亲戚
这个题目是最基础的并查集问题 运用基本的并查集工具就可以解决了
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
宇宙历七九九年,银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆 发战争.泰山压顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战 舰出征,气吞山河集团点名将杨威利组织麾下三万艘战舰迎敌. 杨威利擅长排兵布阵,巧妙运用各种战术屡次以少胜多, 难免恣生骄气.在这次决战中,他将巴米利恩星域战场划分成 30000列,每列依次编号为1, 2, …, 30000.之后,他把自己的 战舰也依次编号为1, 2, …, 30000,让第i号战舰处于第i列(i = 1, 2, …, 30000),形成"一字长蛇阵",诱敌深入.这是初始阵形. 当进犯之敌到达时,杨威利会多次发布合并指令,将大部分战舰 集中在某几列上,实施密集攻击.合并指令为M i j,含义为让第 i号战舰所在的整个战舰队列,作为一个整体(头在前尾在后) 接至第j号战舰所在的战舰队列的尾部.显然战舰队列是由处于 同一列的一个或多个战舰组成的.合并指令的执行结果会使队列 增大.
例1 亲戚
若某个家族人员过于庞大,要判断两个是否是 亲戚,确实还很不容易,现在给出某个亲戚关 系图,求任意给出的两个人是否具有亲戚关系. 规定:x和y是亲戚,y和z是亲戚,那么x和z也 是亲戚.如果x,y是亲戚,那么x的亲戚都是y 的亲戚,y的亲戚一行:三个整数n,m,p,(n<=5000,m<=5000,p<=5000),分 别表示有n个人,m个亲戚关系,询问p对亲戚关系. 以下m行:每行两个数Mi,Mj,1<=Mi,Mj<=N,表示Ai和Bi具 有亲戚关系. 接下来p行:每行两个数Pi,Pj,询问Pi和Pj是否具有亲戚关系. 数据输出: P行,每行一个'Yes'或'No'.表示第i个询问的答案为"具有" 或"不具有"亲戚关系.
并查集
Yali 朱全民
分离集合
在有的问题中,需要对不相交的集合(disjoint set)进行这样两种操作:
– –
检索某元素属于哪个集合 合并两个集合
能够维护这两个操作的数据结构,我们称之为 并查集.
并查集的森林实现
一般来说我们用森林的结构实现并查集 在森林中,每棵树代表一个集合.用树根来表 示这个集合. 合并操作:两个集合S1,S2合并,将其中的 一个树根作为另一个树根的子树即可. 查找操作:对于一个元素u的查找,顺着u往上 找,直到线索到根节点,也就确定了u所在的 集合.
�