第二章.流体静力学

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第二章 流体静力学
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
平衡流体上的作用力 流体平衡的微分方程 重力作用下的流体平衡 流体压强的量测 平衡流体对壁面的作用力 液体的相对平衡
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重、难点
1.静压强及其静压强的特性。 2.静力学基本方程式的理解和应用；等压面。 3.静止流体对固体壁面的作用力：平面和曲面。 4.液体的相对平衡及应用
g
称为压强水头
z p
g
---
测压管水头线（静压水头或静力水头、）
流体静力学基本方程的几何意义是：在重 力作用下同一平衡流体中各点的测压管水头为 一常数,即：测压管水头处处相等。
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❖ 测压管水头的含义
在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔， 接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。
测压管内的静止液
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第一节 作用在流体上的力
一、分类
1 、按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、 表面张力等。
2 、根据作用方式的不同，可将力分为质量力和表面力。
质量力：与流体质点的质量大小成正比且集中作用在流体质
点质量中心上的力 。
最常见的质量力有：重力、惯性力（直线惯性力I＝ma，离心惯性力
R＝mωr2）
0
整理得：
fx

1
p x

0
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流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：
fx fy

1 1
p x
p y

0
0
fz

1
p z

0
适用条件:平衡流体,无需考虑是否 可压缩和是否有粘性
静止流体中压强的 空间变化与单位质 量力之间的关系
物理意义：处于平衡状态的流体，压强沿轴向的变化
也应该是某一坐标函数W (W＝W（x,y,z）)的全微分。
dW W d x W d y W d z
x
y
z
显然，如果单位质量力与某一坐标函数W(x,y,z)有如果下关系：
f W ,
x
x
f W ,
y
y
f W
z
z
（1）
则等式右边：( f d x f d y f d z) （W d x W d y W d z)
x
y
z
x
y
z
dW
dp dW
W 称为质量力的势函数，f称为有势质量力。如重力、惯性力。
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【例】试求重力场中平衡流体的质量力势函数。
z
【解】该流体的单位质量分力为
mg
z
0 x
fx＝0，fy＝0，fz＝－g
y dW W dx W dy W dz ( f dx f dy f dz) gdz
二、流体平衡微分方程的综合式
（1）式各项依次乘以dx,dy,dz后相加得：
f x dx

f ydy

f z dz

1
p ( x
dx

p y
dy

p z
dz)
∵p = p(x,y,z) 即压强是坐标的连续函数
∴压强全微分
dp p dx p dy p dz x y z
dp ( fxdx f ydy fzdz) ----流体平衡微分方程的综合式
或欧拉平衡微分方程的全微分表达式或压强微分公式
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三、质量力的势函数及有势质量力
流体平衡微分方程的综合式dp ( fxdx fydy fzdz)
不可压缩流体：ρ＝const
上式左边是压强p的全微分，从数学角度分析，方程式的右边
在自由液面上有： z H，p p0
C p0 gH
或
当p0 0时，p gh
水静力学基本方程：
p p0 gh
❖ 流体静压强分布
p0
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A
1 2
Ah h
静止流体中，任一点的压强值与其所处的淹深h成线性函 数关系。自由表面下淹深h相等的各点压强均相等。(例A—A)
x
y
z
x
y
z
积分得 W＝gz+C
设基准面z＝0处，W＝0（称为零势面），得
W＝gz
物理意义：单位质量（m＝1）流体在基准面以上
高度为z 时所具有的位置势能。
四、等压面及特性
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等压面（Equipressure Surface）：是指流体中压强相等（p=C）
的各点所组成的面。
Q p C，dp 0 而 dp ( fxdx fydy fzdz)
证明：取一微元四面体OABC，则：
z
Px Py

Pn Pn
cos(n, cos(n,
x) y)

Fx Fy

0 0
Pz

Pn
cos(n,
z)
Fz

0

x方向受力分析:
表面力：
Px

px

1 dydz 2
Pn
cos(n, x)

pn

1 dydz 2
n为斜面ABC的法线方向
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流体静力学——研究平衡流体的力学规律及其在工
程中应用的科学。
➢平衡有两种：
一种是流体相对于地球无相对运动，即流体的绝对平衡；
一种是流体对某物体（或参考坐标系）无相对运动，亦 称流体的相对平衡。
平衡流体的特性——由于平衡流体相互间没有相对运动，
流体粘性在平衡状态下无法显示，故平衡流体内部不存在内摩 擦力或切应力。流体静力学中的一切原理不仅适用于理想流体 也适用于实际流体。
❖ 气体压强的计算
由于气体的密度很小，在高差不很大时气柱产生的压强很小， 可以忽略，则p＝p0（即气体压强处处相等）。
❖流体内任二点压强的关系
已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。
p2 p1 gh
p0
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水静力学基本方程：
p p0 gh
❖ 帕斯卡定律
A
1 2
h p
p
g
z p
g
--- 总势能
z p C
g
流体静力学基本方程的能量意义：在重力作用下,同一平 衡流体中各点的单位重量流体所具有的总势能（包括位能
和压能）处处相等，即势能守恒。
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❖ 几何意义
z --- 流体距基准面的位置高度，称为位置水头
p --- 流体在压强p 作用下沿测压管上升的高度，
率（
p x
,
p y
,
p）等于该轴向单位体积流体所受质量力在相应 z
坐标方向的分量（ fx, fy, fz ）。

写成矢量式
f
1
p
0

流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）
fx fy

1 1
p x
p y

0
0
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（1）
fz

1
p z
0
①单位质量力f——单位质量流体所受的质量力
设质量为m流体受总质量力为
则单位质量流体所受的质量力
f

F

F x
F Fx i Fy j Fz k
F i y
F j zk
fi f
j
f
k
mmm m
x
y
z
fx、fy、fz----单位质量力在x、y、z三个方向上的分量。
面上p = 0 ，其液
面高程即为测点处
的 z p ，所以
pA /
pB /
g
zA
叫测压管水头。
zB
O
O
z p C
g ——测静压只须一根测压管
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敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
测压管水头处处相等
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水平面是等压面的条件：
•同种 •均质 •连续 •连通 •质量力只有重力 •静止流体
a A•
1
2B• aຫໍສະໝຸດ f两种平衡液体的交界面
dp 1dW， dp 2dW
0 (2 1)dW dW dp 0
所以交界面a-a必须是等压面、等势面。
如果容器对地球无相对运动，则重力场中两液体的交界面 不但是等压面而且是水平面。
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第三节 流体静压强的分布规律
一、重力作用下静压强的分布规律
v duuvsdpfxdxfxdxfydfyydy fzfdzdzz00 等压面微分方程
等压面重要性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正
交于经过该点的等压面。
v f

dsv

0
证明：
vvvv f fxi fy j fzk
uv uuv
dsv

v dxi

v dyj

质量力： Fx fx dxdydz / 6
py
pn
B
px
F
A
x
O
M C
y
pz
类似地有：
px py pz pn
得出结论
由∑X=0
px

pn

1 3
dx


fx

0
点的压强与点作用
当四面体无限地趋于O点时，则dx0，
面的方位无关，由
所以有：
px pn
该点的坐标位置决 定。
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注意：
（1）运动状态下的实际流体产生压应力，
即
p