重庆八中2020-2021学年高一上学期国庆假期作业试卷数学试题一含答案
2020-2021学年重庆市第八中学校高一上学期第一次月考数学试题(解析版)

2020-2021学年重庆市第八中学校高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1.已知集合{0M =,2},{1N =,2},则M N ⋃为( ) A .{}0,1 B .{}2 C .{}0,1,2 D .{}0【答案】C【分析】根据并集运算的法则,即可求得答案 【详解】因为集合{0M =,2},{1N =,2}, 所以={0,1,2}M N ⋃. 故选:C2.命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是( ) A .2,210x R x x ∃∈-+≤ B .2,210x R x x ≥∃∈-+ C .2,210x R x x ∃∈-+< D .2,210x R x x ∀∈-+<【答案】C【分析】根据含一个量词的命题的否定方法:修改量词并否定结论,即可得到原命题的否定.【详解】因为x R ∀∈的否定为x R ∃∈,2210x x -+≥的否定为2210x x -+<, 所以原命题的否定为:2,210x R x x ∃∈-+<. 故选:C.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定,难度较易.注意全称命题的否定为特称命题.3.已知:23p x <≤,:14q x <<,则p 是q 的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由已知写出p 、q 的集合,根据集合的包含关系即可判断它们之间的充分、必要性,进而确定正确选项.【详解】由{|23}p x x =<≤,{|14}q x x =<<,即p q ≠⊂, ∴p 是q 的充分不必要条件. 故选:B4.已知函数()243,03,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩,则()()5=f f ( )A .0B .2-C .1-D .1【答案】C【分析】利用解析式先求()5f ,再求()()5f f ,得出答案.【详解】()()()()()()25352,5224231f f f f =-=-∴=-=-+⨯-+=-故选:C【点睛】本题考查函数求值问题,考查分段函数的应用,属于基础题. 5.已知a c >,b d >,则下列结论正确的是( ) A .22()()a b c d +>+ B .()()0a c d b --< C .11a c< D .a b c d ->-【答案】B【分析】由已知条件,结合特殊值法及不等式性质,即可判断各项的正误.【详解】A :当1,2a b c d ====-时,有22()(416)a b c d +<+==,错误;B :由题设知:0,0a c d b ->-<,即()()0a c d b --<,正确;C :当1,2a c ==-时,11a c>,错误; D :当1,2a b c d ====-时,有a b c d -=-,错误. 故选:B6.函数1y ax =-+与2y ax =在同一坐标系中的图象大致是图中的( )A .B .C .D .【答案】A【分析】讨论0a >、0a <时,1y ax =-+、2y ax =的图象性质,应用排除法即可确定正确选项.【详解】当0a >时,1y ax =-+在x ,y 轴上截距分别是10,1a>,而2y ax =开口向上,顶点为原点且对称轴为y 轴,排除B ; 当0a <时,1y ax =-+在x ,y 轴上截距分别是10,1a<,而2y ax =开口向下,顶点为原点且对称轴为y 轴,排除C 、D ; 故选:A7.已知函数228,1()2,1x ax x f x x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩,()f x 在定义域上单调递减,则实数a 的范围为( ) A .7(1,)2B .(1,)+∞C .712⎡⎤⎢⎥⎣⎦,D .7(,]2-∞【答案】C【分析】先利用二次函数得出a 的范围,再利用分段函数的单调性求解即可.【详解】228,1()2,1x ax x f x x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩,()f x 在定义域上单调递减,当1x ≤时,()228f x x ax =-+,对称轴为x a =,开口向上, 则17112822a a a ≥⎧⇒≤≤⎨-+≥⎩,则实数a 的范围为:712⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.故选:C.8.已知区间(,)a b 是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集,则32a b +的最小值是( )A .32+ B .5+C .52+D .3【答案】C【分析】由题知2a b m +=,1ab m =,0m >,则可得12a bab+=,则()32322a b a b a b ab +⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭,利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.【详解】由题知a b ,是关于x 的一元二次方程221=0mx x -+的两个不同的实数根, 则有2a b m +=,1ab m =,0m >,所以12a bab+=,且a b ,是两个不同的正数,则有()13213232=5+5222a b a b a b a b ab b a ⎛+⎛⎫⎛⎫+=+⋅+≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ (15225=+=当且仅当32=a b b a 时,等号成立,故32a b +的最小值是52+故选:C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系,考查了基本不等式“1”的妙用求最值,考查了转化与化归的思想,考查了学生的运算求解能力.二、多选题9.(多选)下列各组函数是同一函数的是( ) A .()221f x x x =--与()221g s s s =--B .()f x =()g x =C .()x f x x =与()01f x x=D .()f x x =与()g x =【答案】AC【分析】利用同一函数的概念判断即可.【详解】对于A 选项,解析式可以看作相同,且定义域相同,是同一函数;对于B 选项,()0f x =≥,()g x 的定义域为(],0-∞,()0g x =≤,故不是同一函数;对于C 选项,解析式可化为相同,且定义域都为{}|0x x ≠相同,是同一函数;对于D 选项,()g x x ==,解析式不同,故不是同一函数;故选:AC.【点睛】本题考查同意以函数的概念,属于基础题,解答时只需保证所给函数的定义域相同,解析式相同或可化为相同即可. 10.下列函数中值域为R 的有( )A .()31f x x =-B .()f x =C .2,02()2,2x x f x x x ⎧≤≤=⎨>⎩D .3()1f x x =-【答案】AD【分析】根据函数解析式,逐项判断函数值域,即可得出结果. 【详解】A 选项,()31f x x =-的值域显然为R ,即A 正确;B 选项,()0f x =,即()f x =[)0,+∞,故B 错;C 选项,当02x ≤≤时,2()f x x =单调递增,所以[]20(,)4f x x ∈=;当2x >时,()2f x x =单调递增,所以()2(,)4x f x ∈=+∞;综上,2,02()2,2x x f x x x ⎧≤≤=⎨>⎩的值域为[)0,+∞,故C 错;D 选项,因为3y x R =∈,所以3()1f x x R =-∈,即3()1f x x =-的值域为R ,即D 正确; 故选:AD.11.若正实数a ,b 满足1a b +=则下列说法正确的是( )A .ab 有最大值14B C .11a b+有最小值2 D .22a b +有最大值12【答案】AB【分析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值;对B,对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值; 对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B,22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误. 对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选:AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.12.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+,当0x <时,()0f x >,则函数()f x 满足( ) A .(0)0f =B .()y f x =是增函数C .()f x 在[m ,]n 上有最大值()f nD .(1)0f x ->的解集为(,1)-∞【答案】AD【分析】用赋值法,令0x y ==,可判断A 正确;根据函数奇偶性与单调性的定义,判断函数奇偶性和单调性,可判断B ,C 错误;结合单调性解不等式,可得出D 正确. 【详解】令0x y ==,则()()020f f =,故()00f =.选项A 正确;令y x =-,则()()()0f f x f x =+-,则()()0f x f x +-=,即()()f x f x =--,故函数()f x 为奇函数,选项B 正确;设12x x <,则120x x -<,由题意可得,()120f x x ->,即()()()()12120f x f x f x f x +-=->,即()()12f x f x >,故函数()f x 为R 上的减函数,()f x ∴在[],m n 上的最大值为()f m ,选项B ,C 错误;()10f x ->等价于()()10f x f ->,又()f x 为R 上的减函数,故10x -<,解得1x <,选项D 正确.故选:AD.【点睛】关键点点睛:本题考查抽象函数的奇偶性与单调性,解题方法是赋值法.赋值时注意函数性质的定义,如奇偶性中需要出现()f x -()f x 的关系,因此有令y x =-这个操作.三、填空题13.函数1()21f x x =-的定义域为_________ 【答案】11[1,)(,1]22- 【分析】根据根式、分式的性质:被开方数非负、分母不为0,即可求函数定义域.【详解】由函数解析式知:210210x x ⎧-≥⎨-≠⎩,即2112x x ⎧≤⎪⎨≠⎪⎩,解得11[1,)(,1]22x ∈-⋃. 故答案为:11[1,)(,1]22-. 14.函数()f x =________.【答案】[)3,+∞【分析】求出函数()y fx =的定义域,然后利用复合函数法可求出函数()f x =.【详解】令2230x x --≥,解得1x ≤-或3x ≥, 函数()f x =(][),13,-∞-+∞.内层函数223u x x =--的减区间为(],1-∞-,增区间为[)3,+∞. 外层函数y =[)0,+∞上为增函数,由复合函数法可知,函数()f x =[)3,+∞.故答案为[)3,+∞.【点睛】本题考查函数单调区间的求解,常用的方法有复合函数法、图象法,另外在求单调区间时,首先应求函数的定义域,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 15.已知定义域为R 的()f x 为减函数,若不等式2(1)(2)f ax f x ->+对任意的x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是______________ 【答案】(2,2)-【分析】由()f x 单调减,不等式在x ∈R 恒成立,知:210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立,根据判别式即可求a 的取值范围.【详解】由()f x 在R 上为减函数,且2(1)(2)f ax f x ->+对任意的x ∈R 恒成立, ∴212ax x -<+对任意的x ∈R 恒成立,整理可得210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立,∴240a ∆=-<,即22a -<<. 故答案为:(2,2)-.16.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓储时间为8x天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品___________件. 【答案】80【分析】求出平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和的函数关系式,然后基本不等式求得最小值,得出结论,【详解】设每批生产x 件,由题意平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为8008xy x =+,800208x y x =+≥=,当且仅当8008x x =,即80x =时等号成立. 故答案为:80.【点睛】本题考查基本不等式的实际应用,解题关键是列出函数关系式,然后由基本不等式求得最小值.四、解答题17.已知集合{}2|20A x x x =+-<,集合{}12B x x =-<.求:(1)A B ;(2)()RAB .【答案】(1){}23x x -<<;(2){}21x x -<≤-.【分析】(1)先解不等式,化简集合A ,B ,再由并集的概念,即可得出结果; (2)根据交集和补集的概念,由(1)的结果,即可得出结果. 【详解】(1)由题意得:{}{}|(2)(1)021A x x x x x =+-<=-<<,{}{}1213B x x x x =-<=-<<, {}23A B x x ∴⋃=-<<;(2)由(1)可得:{1RB x x =≤-或}3x ≥,{}()21R A B x x ∴⋂=-<≤-.18.已知关于x 的不等式230x mx ++<的解集为{}3x n x << (1)求,m n 的值; (2)解关于x 的不等式2nx mx x -≤-. 【答案】(1)4,1m n =-=;(2)[1,2)[4,)∞-⋃+.【分析】(1)由一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系,知3,n 是方程230x mx +=+的两根,即可求参数;(2)由(1)并整理得23402x x x -++≤-,根据分式不等式的解法,即可求解集.【详解】(1)由题意得:13x =,2x n =是方程230x mx +=+的两根, 将13x =代入方程得9330m ++=,即4m =-,将2x n =代入方程得2430n n -+=,即1n =或3n =(舍去), 综上:4,1m n =-=(2)由(1)知:42x x x +≤-,即23402x x x -++≤-, ∴(1)(2)(4)020x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩,解得:[)[)1,24,x ∈-+∞.19.已知命题[]:1,1p x ∀∈-,20x x m -+<是真命题.(1)求实数m 的取值集合A ;(2)设(2)(1)0x a x a ---<的解集为B ,若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.【答案】(1){|2}m m <-;(2)3a ≤-或1a =.【分析】(1)由命题为真命题知在[1,1]x ∈-上2m x x <-恒成立,即min ()m g x <即可,进而求实数m 的范围;(2)由题意得B A ≠⊂,讨论1a =、1a >、1a <分别求集合B ,根据集合包含关系列不等式求参数范围,最后整合即可.【详解】(1)由题意得:[1,1]x ∀∈-,2m x x <-恒成立,令2(),g x x x =-∴问题转化为在[1,1]x ∈-上min ()m g x <即可,又()g x 在1[1,]2-单调递增,在1[,1]2单调递减,∴min ()(1)2g x g =-=-,故2m <-,即{|2}A m m =<-(2)由题意得:B A ≠⊂, 由(1)知:(,2)A =-∞-,而B 为(2)(1)0x a x a ---<的解集, ∴①1a =时,B =∅成立;②1a >时,则21a a >+,即(1,2)B a a =+,所以22a ≤-,即1a ≤-,无解; ③1a <时,则21a a <+,即(2,1)B a a =+,所以12a +≤-,即3a ≤-; 综上,3a ≤-或1a =.【点睛】结论点睛:不等式的恒成立问题,可按如下规则转化: (1)[],x a b ∀∈,()m f x <,则min ()m f x <即可; (2)[],x a b ∀∈,()m f x >,则max ()m f x >即可.集合包含关系求参数范围时,如B A ≠⊂或B A ⊆,注意B =∅的情况. 20.今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件,疫情早期,武汉成为疫情重灾区,据了解,为了最大限度保障人民群众的生命安全,现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用w (万元)和病房与药物仓库的距离x (千米)的关系为:()0835kw x x =<≤+.若距离为1千米时,隔离病房建造费用为100万元.为了方便,隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路,已知购置修路设备需5万元,铺设路面每公里成本为6万元,设()f x 为建造病房与修路费用之和.(1)求()f x 的表达式;(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时,可使得总费用()f x 最小?并求出最小值.【答案】(1)()()800650835f x x x x =++<≤+;(2)当5x =时,总费用最小为75万元.【分析】(1)将1x =代入35k w x =+,求出w 的值,结合题意可求得()f x 的表达式; (2)利用基本不等式可求得()f x 的最小值及其对应的x 的值,即可得出结论.【详解】(1)当1x =时,100315k =⨯+,所以,800k =,则80035w x =+, 所以,()()800650835f x x x x =++<≤+; (2)()()800235557535f x x x =++-≥=+, 当且仅当()80023535x x =++时,因为08x <≤,所以,当5x =时,等号成立. 因此当5x =时,总费用()f x 最小,且最小值为75万元.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.21.已知()223f x x ax =-+ (1)若函数()()g x f x x =-在(),1-∞上单调递减,求实数a 的取值范围; (2)当[]0,2x ∈,求()f x 的最小值()h a .【答案】(1)1[,)2a ∈+∞;(2)23,0()3,0274,2a h a a a a a ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩. 【分析】(1)由二次函数的性质:区间单调性及对称轴,即可求参数a 的取值范围; (2)应用分类讨论的方法,讨论()f x 对称轴x a =与区间[]0,2的位置,求最值即可.【详解】(1)由题意,2()(21)3g x x a x =-++在(,1)-∞单调递减,且()g x 对称轴为12x a =+, ∴112a +≥,即12≥a ,故1[,)2a ∈+∞. (2)由题意得:()f x 开口向上且对称轴为x a =,①2a ≥时,()(2)74h a f a ==-,②0a ≤时,()(0)3h a f ==,③02a <<时,2()()3h a f a a ==-,23,0()3,0274,2a h a a a a a ≤⎧⎪∴=-<<⎨⎪-≥⎩.22.对于定义域为I 的函数,如果存在区间[,]m n I ⊆,同时满足下列两个条件: ①()f x 在区间[,]m n 上是单调的;②当定义域是[,]m n 时,()f x 的值域也是[,]m n .则称[,]m n 是函数()y f x =的一个“黄金区间”.(1)请证明:函数11(0)y x x=->不存在“黄金区间”. (2)已知函数246y x x =-+在R 上存在“黄金区间”,请求出它的“黄金区间”. (3)如果[,]m n 是函数22()1(0)a a x y a a x+-=≠的一个“黄金区间”,请求出n m -的最大值.【答案】(1)证明见解析;(2)[2,3];(3. 【分析】(1)由11y x=-为(0,)+∞上的增函数和方程的解的情况可得证; (2)由2(2)22y x =-+≥可得出2m ≥,再由二次函数的对称轴和方程246x x x -+=,可求出函数的“黄金区间”;(3)化简222()111()a a x a f x a x a a x+-+==-得函数的单调性,由已知(,)m n m n <是方程211a x a a x+-=的两个同号的实数根,再由根的判别式和根与系数的关系可表示n m -=1a >或3a <-,可得n m -的最大值. 【详解】解:(1)证明:由11y x =-为(0,)+∞上的增函数,则有()()f m m f n n =⎧⎨=⎩, ∴21110x x x x-=⇔-+=,无解,∴11(0)y x x =->不存在“黄金区间”; (2)记[,]m n 是函数246y x x =-+的一个“黄金区间”()m n <,由2(2)22y x =-+≥及此时函数值域为[,]m n ,可知2m ≥而其对称轴为2x =,∴246y x x =-+在[,]m n 上必为增函数,令246x x x -+=,∴2560x x -+=,∴122,3x x ==故该函数有唯一一个“黄金区间”[2,3]; (3)由222()111()a a x a f x a x a a x+-+==-在(,0)-∞和(0,)+∞上均为增函数, 已知()f x 在“黄金区间”[,]m n 上单调,所以[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞,且()f x 在[,]m n 上为单调递增,则同理可得()f m m =,()f n n =,即(,)m n m n <是方程211a x a a x +-=的两个同号的实数根,等价于方程222()10a x a a x -++=有两个同号的实数根, 又210mn a=>,则只要222()40a a a ∆=+->,∴1a >或3a <-, 而由韦达定理知221a a a n m a a+++==,21mn a =,所以n m -====其中1a >或3a <-,所以当3a =时,n m -取得最大值3. 【点睛】关键点点睛:本题考查函数的新定义,对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义,注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决.。
重庆市八中2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

重庆市八中2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}*|4U x N x =∈≤,集合{1,2},{2,4}A B ==,则()U A C B =( )A. {}1B. ()1,3C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】由集合,,U A B ,根据补集和并集定义即可求解. 【详解】因为{}*|4U x N x =∈≤,即{}1,2,3,4U =集合{1,2},{2,4}A B == 由补集的运算可知{}1,3U C B = 根据并集定义可得(){}{}{}1,21,31,2,3U A C B ==故选:C【点睛】本题考查了补集和并集的简单运算,属于基础题. 2.下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是( ) A. ||y x =- B. y x = C. 1y x -= D. 3y x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式,即可判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】对于A,||y x =-为偶函数,所以A 错误;对于B,y x =为奇函数,且在R 上为单调递增函数,所以B 错误;对于C,1y x -=是奇函数,在定义域()(),0,0,-∞+∞内不具有单调性,所以C 错误;对于D,3y x =-为奇函数,在R 上为单调递减函数,所以D 正确. 综上可知,D 为正确选项. 故选:D【点睛】本题考查了根据函数的解析式,判断函数的奇偶性及单调性,属于基础题. 3.已知tan 2,tan 5αβ==,则tan()αβ+=( )A. 79B.711 C. 79-D. 711-【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的和角公式,代入即可求解. 【详解】由正切函数的和角公式()tan tan tan 1tan tan αβαββ++=-⋅因为tan 2,tan 5αβ==,代入可得()257tan 1259αβ++==--⨯故选:C【点睛】本题考查了正切函数和角公式的简单应用,属于基础题. 4.设2log 0.2a =,0.23b -=,0.22c =,则( ) A. a b c >> B. c b a >> C. c a b >> D. b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,可通过中间值法比较大小,即可得解. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知22log 0.2log 10a =<=0.203310b -<<== 0.20221c =>=所以c b a >> 故选:B【点睛】本题考查了指数、对数图像与性质的简单应用,函数值大小的比较,属于基础题. 5.在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点,若(,)BP BA BC R λμλμ=+∈,则λμ=( )A. 116B.118 C. 14D. 12【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性的加法运算,即可求解.【详解】在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点 由平面向量的线性加法运算,可知()111222BP BD BA BC ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦()14BA BC =+ 1144BA BC =+ 因为(,)BP BA BC R λμλμ=+∈ 所以11,44λμ== 则116λμ= 故选:A【点睛】本题考查了平面向量的线性加法运算,属于基础题. 6.函数()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数,排除,B C ;由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除D ,从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数,图象关于y 轴对称,排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭,排除D 故选:A【点睛】本题考查函数图象的识别,对于此类问题通常采用排除法来进行排除,考虑的因素通常为:奇偶性、特殊值和单调性,属于常考题型. 7.函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为( )A. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. (2,)+∞D. (,1)-∞【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的定义域,根据复合函数单调性的性质即可求解. 【详解】函数()2()ln 32f x x x =-+所以定义域为2320x x -+>,解得2x >或1x <由复合函数“同增异减”的性质,可知函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为2x > 即(2,)x ∈+∞为函数()f x 的单调递增区间 故选:C【点睛】本题考查了对数函数的定义域求法,复合函数单调性的性质,属于基础题. 8.若直线6x π=是函数()cos(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴,则ϕ=( )A. 6π-B. 3π-C. 23π-D. 56π-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的图像与性质,可求得()cos(2)f x x ϕ=+的对称轴,结合6x π=及0πϕ-<<即可求得ϕ的值.【详解】函数()cos(2)f x x ϕ=+由余弦函数的图像与性质可知,其对称轴为2,x k k Z ϕπ+=∈ 而6x π=为其一条对称轴,所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈解得,3k k Z πϕπ=-+∈因为0πϕ-<< 所以当0k =时,解得3πϕ=-故选:B【点睛】本题考查了余弦函数的图像与性质,根据余弦函数的对称轴求参数,属于基础题. 9.已知函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2,则(1)(2)(2020)f f f ++=( )A. -2B. 0C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的最大值,可求得函数的解析式.由周期公式可得函数的周期,即可求得(1)(2)(2020)f f f ++的值.【详解】函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2所以()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭由周期公式2T πω=,代入可得263T ππ==则(1)(2)(3)(4)+(5)(6)f f f f f f ++++()()()2112110=++-+-+-+=而202033664=⨯+ 所以(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f ++=+++而(1)2sin 1236f ππ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭(2)2sin 2136f ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3136f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭(4)2sin 4236f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭所以()()(1)(2)(3)(4)21120f f f f +++=++-+-= 即(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)0f f f f f f f ++=+++=故选:B【点睛】本题考查了正弦函数的周期性,根据正弦函数的周期性求值,属于基础题.10.已知实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞,则a 的取值范围是( ) A.()1,2B. (2,)+∞C. (0,1)(1,2]⋃D. [2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论01a <<和1a >两种情况.结合函数的值域为[4,)+∞,即可求得a 的取值范围. 【详解】实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞, 当01a <<时,当2x >时,()f x 的值域为()20,a ,与值域为[4,)+∞矛盾,所以01a <<不成立当1a >时,对于函数()6f x x =-,2x ≤,函数的值域为[4,)+∞.所以只需当2x >时值域为[4,)+∞的子集即可.即24a ≥,解得2a ≥(舍去2a ≤-)综上可知a 的取值范围为[2,)+∞ 故选:D【点睛】本题考查了指数函数的单调性与值域的综合应用,分类讨论思想的应用,属于中档题. 11.若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,且2sin cos 3αα+=,cos2=α( )B. C. 59-D.59【答案】B 【解析】 【分析】将2sin cos 3αα+=平方后化简,结合3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可进一步确定α及2α的取值范围.再根据正弦的二倍角公式及同角三角函数关系式,求得cos2α的值. 【详解】因为2sin cos 3αα+=,两边同时平方可得 224sin 2sin cos cos 9αααα++=,即52sin cos 9αα=-则sin ,cos αα异号 又因为2sin cos 03αα+=>,3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos20α<由正弦的二倍角公式可知52sin cos sin 29ααα==-根据同角三角函数关系式可得cos 29α===- 故选:B【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦二倍角公式的化简与应用,关键在与确定角的取值范围,属于中档题. 12.已知函数12()21x f x e x x -=+-+,则使得不等式(2)(1)f m f m <+成立的实数m 的取值范围是( ) A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将函数解析式变形,即可判断出其对称轴.结合函数的单调性及不等式,即可得关于m 的不等教育文档 可修改 欢迎下载式,解不等即可求得m 的取值范围. 【详解】函数|1|2()21x f x ex x -=+-+,变形后可得()()2|1|1x f x e x -=+-所以()f x 的图像关于1x =对称由函数单调性可知,当1x >时,函数()f x 单调递增 因为(2)(1)f m f m <+ 所以满足|21|||m m -<变形可得()2221m m -<,展开可知23410m m -+< 因式分解可得()()3110m m --< 解不等式可得113m << 即实数m 的取值范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:A【点睛】本题考查了函数对称性及单调性的综合应用,根据单调性解不等式,绝对值不等式的解法.关键在于对函数解析式进行变形及判断出对称轴,属于中档题.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡相应位置 13.设向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行,则实数λ=___________. 【答案】4- 【解析】 【分析】根据平面向量共线基本定理,可设()22a b a b λμ-=+,即可求得λ的值. 【详解】因为向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行 由平面向量共线基本定理可设()22a b a b λμ-=+则根据向量数乘运算可得22μλμ=⎧⎨-=⎩解得4λ=- 故答案为:4-教育文档 可修改 欢迎下载【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,由平面向量共线求参数,属于基础题. 14.计算:23348log 4log 9-⨯=___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算及对数的换底公式,化简即可得解. 【详解】由指数幂的运算及对数的换底公式,化简可得23348log 4log 9-⨯()233333log 92log 4log 4=-⨯422=-=故答案为:2【点睛】本题考查了指数幂及对数换底公式的应用,属于基础题.15.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据()f x 为偶函数且周期为4,结合解析式可画出函数()f x 的图像.由零点定义可知,令1()()103g x f x x =--=,可得1()13f x x =+.画出()113h x x =+的图像,通过判断()f x 与()h x 图像交点个数即可判断()g x 的零点个数.【详解】因为(4)()f x f x +=,即()f x 是周期为4的周期函数()f x 为偶函数,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,画出函数图像如下图所示:令1()()103g x f x x =--= 可得1()13f x x =+. 画出()113h x x =+的图像如上图所示: 由图像可知,()f x 与()h x 图像共有6个交点 所以1()()13g x f x x =--共有6个零点 故答案为:6【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数零点的概念及函数图像的画法,属于中档题.16.将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位,得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,则ω的取值范围是___________. 【答案】30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换求得()y g x =的解析式.根据()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,可得关于ω的不等式组,解不等式组即可求得ω的取值范围. 【详解】由题意可知将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位可得2sin ()sin 332x g x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-⎪=⎢⎥⎝⎭⎣⎦若()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,且()g x 过原点 于是6232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解不等式组可得302ω<≤,即30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为: 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了三角函数的平移变换,根据三角函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.三.解答题:本大题共6小题,共70分、请在答题卡相应作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设α为第二象限角,sin α. (1)求tan α的值;(2)求222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)12-(2)43-【解析】 【分析】(1)根据同角三角函数关系式,结合角α为第二象限角,即可求得tan α的值.(2)由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简,根据(1)中的结论,代入即可求解.【详解】(1)由于,,sin 2παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭由同角三角函数关系式22sin cos 1αα+=于是cos α= 所以sin 1tan cos 2ααα==- (2)由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简可得222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭222sin 22sin cos ααα=+224sin cos 2sin cos αααα=+24tan 2tan 1αα=+ 由(1)可知1tan 2α=-所以22144tan 422tan 131212αα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角公式的综合应用,属于基础题.18.已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之差为3.(1)求a 的值;(2)证明:函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数. 【答案】(1)2a =(2)见解析 【解析】 【分析】(1)根据指数函数的单调性,由最大值与最小值之差为3代入即可求得a 的值. (2)先求得()F x 的解析式,再根据定义设12x x <,利用作差法即可证明函数的单调性.【详解】(1)由于1a >,所以()1xf x a =+在定义域内单调递增, 于是()f x 在区间[]0,2的最大值与最小值之差为()()203f f -= 即213a -= 又1a >,解得2a =(2)证明:()()()22xxF x f x f x -=--=-,不妨设12x x <,则()()()12122211121122222222x x x x x x x x f x f x ---=---=-+- ()121212212122122221222x x x x x x x x x x +-⎛⎫=-+=-+ ⎪⋅⎝⎭由于12x x <,所以12220x x -<,211102x x ++>于是()()120f x f x -<,即()()12f x f x < 所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数【点睛】本题考查了指数函数的单调性应用,根据定义证明函数单调性的方法,属于基础题.19.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若8253f απαπ⎛⎫⎛⎫=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求sin α的值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)3sin 10α+= 【解析】 【分析】(1)由图像即可求得A 和T ,进而得ω.得到函数()f x 的解析式,将最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式,即可求得ϕ的值,即可求得函数()f x 的解析式;(2)将2α代入解析式,即可得4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,利用正弦的和角公式变形即可求得sin α的值.【详解】(1)由函数图象可知2A =,44T π=,即T π=, 所以22Tπω==,从而函数()2sin(2)f x x ϕ=+ 将,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 解析式得232k ππϕπ+=+,26k πϕπ=+,又||2ϕπ<,故6π=ϕ 所以函数解析式()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)因为82sin 265f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,从而7,626πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以3cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,于是sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210+⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭,即3sin 10α+=. 【点睛】本题考查了已知部分图像求三角函数解析式的方法,正弦和角公式的简单应用,属于基础题.20.已知函数2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)π (2)最大值为0;最小值为12- 【解析】 【分析】(1)由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简,由正弦函数的周期公式即可得解. (2)根据自变量x 的取值范围为,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求得23x π-的范围,结合正弦函数的图像与性质即可求得函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】(1)根据余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,结合余弦的降幂公式和辅助角公式,展开化简可得2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭21cos sin 22x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =-1sin 2cos 2444x x =--1sin 2234x π⎛⎫=--⎪⎝⎭ 所以由周期公式可知222T πππω=== 即最小正周期为π (2)因为,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知sin 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦所以11sin 223424x π⎡⎤⎛⎫----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 即函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12- 【点睛】本题考查了余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,余弦的降幂公式和辅助角公式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.21.已知函数44()log 2x xmf x +=为偶函数. (1)求m 的值;(2)若()4()log 2xf x a a ≥⋅-在区间(1,2]上恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)1m =(2)170,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】(1)根据偶函数定义()()f x f x =-,代入化简即可求得m 的值;(2)根据不等式恒成立,分离参数a 可得()211221x x x a +≤+-,并构造函数()()211221x x x y g x +==+-.用换元法,令21(35)x t t =+<≤,化简为打勾函数形式,根据函数单调性即可求得a 的范围;同时,满足对数函数的定义域要求,综合上述条件即可求得a 的取值范围.【详解】(1)44()log 2x x m f x --+-=,由于函数44()log 2x xmf x +=为偶函数 所以()()f x f x =-代入可得4444log log 22x x x x m m--++= 即4422x x x xm m --++=,化简可得()2222x x x xm --=-- ∴1m =(2)由题得()4441log log 22x xxa a +≥⋅-恒成立, 即4122x x xa a +≥⋅-恒成立, 所以()211221x x x a +≤+-恒成立,令()()211221x x x y g x +==+-,令21(35)xt t =+<≤则2()1123213t y h t t t t t==+=+-++-,由于函数()h t 在(]3,5上单调递减,故()()min 17512h t h == ∴1712a ≤又()210xa ->在(]1,2x ∈上恒成立 所以0a >,于是a 的取值范围是170,12⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了偶函数的定义及指数形式的化简,对数不等式的解法,分离参数及构造函数法求参数的取值范围,打勾函数在求最值中的应用,属于中档题. 22.设函数()cos 2sin f x x a x a =++.(1)当1a =时,求函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域; (2)设函数()x ϕ的定义域为I ,若0x I ∈,且()1x ϕ=,则称0x 为函数()y x ϕ=的“壹点”,已知()f x 在区间[0,2]π上有4个不同的“壹点”,求实数a 的取值范围.【答案】(1)117,28⎤⎥⎣⎦(2)01a << 【解析】 【分析】(1)由同角三角函数关系式化简()f x ,代入1a =,利用换元法将()f x 化为二次函数形式,即可根据二次函数的单调性求得在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. (2)根据题意,将函数化为2()2sin sin y g x x a x a ==-++在区间[]0,2π上有4个零点.利用换元法将函数转化为二次函数形式,通过分离讨论即可求得a 的取值范围. 【详解】(1)2()cos 2sin 2sin sin 1f x x a x a x a x a =++=-+++当1a =时,2()2sin sin 2y f x x x ==-++,令sin 0t x t ⎛=<≤ ⎝⎭则2()22y g t t t ==-++所以函数()g t 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,1,42⎛ ⎝⎭上单调递减∴min 3122y g ⎛⎫==⎪⎝⎭,max 11748y g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为117,28⎤⎥⎣⎦ (2)由题意22sin sin 11x a x a -+++=在区间[]0,2π有四解,令2()2sin sin y g x x a x a ==-++,则()y g x =在区间[]0,2π上有4个零点,令sin [1,1]t x =∈-,则2()2y h t t at a ==-++.(i )若()h t 在()1,1-上有两个非零 ,则2(1)0(1)0801114(0)0h h a a a a h -<⎧⎪<⎪⎪∆=+⇒<<⎨⎪-<<⎪⎪≠⎩(ii )若()h t 的两个零点为0,1,则012a a =⎧⎪⎨=⎪⎩,无解,故舍去;(iii )若()h t 的两个零点为0,-1,则012a a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,无解,故舍去.综上:01a <<【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形及应用,换元法在三角函数中的应用,二次函数的综合应用,属于中档题.。
重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期中考试模拟(一)数学试卷参考答案

1高2023级高一(上)数学半期模拟试卷参考答案一、选择题1.D 解:要使函数有意义,则210x-≠,解得:0x ≠,即00∞∞(-,)∪(,+),故选D .2.解:A .()1f x =的定义域为R ,()x g x x=的定义域为{|0}x x ≠,定义域不同;.()B f x =的定义域为{|1}x x,()g x =的定义域为{|1x x - 或1}x ,定义域不同;.()C f x x =的定义域为R,2()g x =的定义域为{|0}x x ,定义域不同;21.()11x D f x x x -==+-的定义域为{|1}x x ≠,()1(1)g x x x =+≠的定义域为{|1}x x ≠,定义域和解析式都相同,是同一函数.故选:D .3.解:因为全称命题的否定是特称命题,所以设x Z ∈,集合A 是偶数集,集合B 是奇数集.若命题:p x A ∀∈,1x B -∈,则:p x A ⌝∃∈,1x B -∉.故选:C .4.解:函数定义域为0, 2.x ≥≤即是在定义域上单调递减,故当2x =时,1y =-可以取到最小值;[)11,1.y x +→-→∞时,,故取值范围为当故选:B .5.解:令1,,x t a t a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦225y t t =+-1t a =当时,取得最大值10.21215103a a a +-=∴=故选:C .6.解:由于函数||22()x y x x R =-∈是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除B 、D .再由0x =时,函数值1y =,可得图象过点(0,1),故排除C ;故选:A .7.解:111(()1333b a <<< ,且10,13∈()01a b ∴<<<,因此a b a a >,,A C 错误;又0,a y x =+∞ 函数是()上的增函数∴a a b a >,可得b a a a a b <<.故选:B .8.解:将不等式化为11,14m x x +≥-只需当1(0,)4x ∈时,min 11()14m x x +≥-即可,由1111()(414)1414x x x x x x+=++---14441554914x x x x -=+++≥++=-,当且仅当15x =时取等号,故9m ≤,故m 的最大值为9.故选B .。
重庆八中2020-2021学年高一上学期国庆假期数学作业(二) PDF版含答案

(2)若 A B = ,求实数 a 的取值范围.
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21.(12 分) 已知函数 f (x) = x + 4 . x
(1)用函数单调性的定义证明 f (x) 在区间[2, +) 上为增函数; (2)解不等式: f (x2 − 2x + 4) f (7) .
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22.(12 分) 已知二次函数 f (x) = x2 − 2ax + 5 ,其中 a 1 . (1)若函数 f (x) 的定义域和值域均为[1, a] ,求实数 a 的值;
1.已知全集U = R ,集合 A, B 满足 A B ,则下列选项正确的有( )
A. A B = B
B. A B = B
C. ( U A) B =
D. A ( U B) =
2.已知集合 A, B 均为全集U =1, 2,3, 4 的子集,且 U ( A B) = 4, B = 1, 2 ,则
A U B 等于( )
(2) 若 函 数 f (x) 在 区 间 (−, 2] 上 单 调 递 减 , 且 对 任 意 的 x1, x2 [1, a +1] , 总 有
f (x1) − f (x2 ) 3 成立,求实数 a 的取值范围.
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重庆八中高 2023 级国庆假期数学作业(二)答案
一、选择题
1
2
3
4
a =3 3a 4
,解得 a = 3;
当 a<0 时, B = {x 3a x a} ,应满足:
3a = 2
a
4
,解得 a .
当 a = 0 时, B = , A B = ,舍去;
a = 3 时, A B = {x 3 x 4} .
重庆市第八中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题

题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.若 P = {(1, 2),(1,3)} ,则集合 P 中元素的个数是( )
A.1
B.2
C.3
2.命题“ "x Î R , x2 - 2x +12 £ 0”的否定为( )
五、证明题 19.已知 VABC 的三边长为 a, b, c ,其中 a = 2 .求证: VABC 为等边三角形的充要条件
是 b2 + c2 - 2(b + c) = bc - 4 .
六、解答题 20.如图,现将正方形区域 ABCD 规划为居民休闲广场,八边形 HGTQPMKL 位于正
方形 ABCD 的正中心,计划将正方形 WUZV 设计为湖景,造价为每平方米 20 百元;在 四个相同的矩形 EFUW , IJVW ,VZON,UZRS 上修鹅卵石小道,造价为每平方米 2 百元;
22.若在函数 f ( x) 的定义域内存在区间[a,b] ,使得 f ( x) 在[a,b] 上单调,且函数值的
取值范围是[ma, mb] ( m 是常数),则称函数 f ( x) 具有性质 M .
(1)当
m
=
1 2
时,函数
f
(
x)
=
x 否具有性质 M ?若具有,求出 a , b ;若不具有,说明
理由;
(2)若定义在 (0, 2) 上的函数
f
(x) =
x+
4 x
-5
具有性质 M
m ,求 的取值范围.
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重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题及答案

绝密★启用前重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1.函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为( ) A .π-B .πC .2πD .4π2.若命题p :2,210x R x x ∃∈++≤,则命题p 的否定为( ) A .2,210x R x x ∃∉++> B .2,210x R x x ∃∈++< C .2,210x R x x ∀∉++>D .2,210x R x x ∀∈++>3.在0~360范围内,与70-终边相同的角是( ) A .70B .110C .150D .2904.下列函数定义域与值域相同的是( ) A .3x y = B .12log y x =C .3y x =D .tan y x =5.已知cos167m ︒=,则tan193︒=( )AB .mC .m- D .6.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≥时,3()8f x x =-,则(){}20x f x ->=( )A .{2x x <-或4}x >B .{0x x <或4}x >C .{0x x <或6}x >D .{2x x <-或2}x >7.函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示.将()f x 图象上所有的点向右平移1个单位长度,所得图象的函数解析式是( )A .cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B .sin 4y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C .1cos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D .1sin 24y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭8.区块链作为一种革新的技术,已经被应用于许多领域,包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等.在区块链技术中,若密码的长度设定为256比特,则密码一共有2562种可能,因此,为了破解密码,最坏情况需要进行2562次哈希运算.现在有一台机器,每秒能进行112.510⨯次哈希运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下,这台机器破译密码所需时间大约为( )(参考数据lg 20.3010≈,lg30.4771≈)A .734.510⨯秒B .654.510⨯秒C .74.510⨯秒D .28秒二、多选题9.下列各式的值小于1的是( ) A .tan15 B .4sin15cos15 C .22cos 22.51-D .2tan 22.51tan 22.5-10.下列关于函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭说法正确的是( ) A .周期为π B .增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C .图像关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 D .图象关于直线23x π=对称后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分別为a 和(0)b a b <<,其全程的平均速度为v ,则下列选项正确的是( )A .a v <<B .v =C 2a bv +<<D .2abv a b=+ 12.对于函数()sin cos k k f x x x =+,k N +∈,下列说法正确的是( ) A .对任意的k ,()f x 的最大值为1 B .当2k =时,()f x 的值域中只有一个元素 C .当3k =时,()f x 在0,2内只有一个零点D .当4k =时,()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题13.已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2,则(16)f =____________. 14.已知3cos 5θ=-,,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,则sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.15.在周长为4π的扇形中,当扇形的面积最大时,其弧长为___________.16.已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,223παβ+=,tan tan 32αβ+=,则αβ-=___________.四、解答题17.已知集合{}211A x m x m =-<<+,{}24B x x =<. (1)当2m =时,求AB ,A B ;(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.18.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边与单位圆交点为43(,)55P -.(1)求cos πα⎛⎫+⎪ 和sin 2α的值;(2)求3sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值.19.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP (即人均纯收入)在0.5~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数:①2y ax bx =+;②y kx b =+;③log a y x b =+;④x y a b =+(x 表示人均GDP ,单位:千美元,y 表示年人均A 饮料的销售量,单位:L ).用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适?说明理由; (2)若人均GDP 为1千美元时,年人均A 饮料的销售量为2L ,人均GDP 为4千美元时,年人均A 饮料的销售量为5L ,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区年人均A 饮料的销售量最多是多少. 20.已知函数()33x x f x a -=-⋅为奇函数. (1)求a 的值并判断()f x 的单调性; (2)若()813f x ->,求x 的取值范围. 21.设0a >,()0,1x ∈,函数2()log ()f x x a =+,21()log (3)2g x x a =+. (1)当1a =时,求()()f x g x -的最小值; (2)若()()f x g x <,求a 的取值范围.22.已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. (1)当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域; (2)是否同时存在实数a 和正整数n ,使得函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点?若存在,请求出所有符合条件的a 和n 的值;若不存在,请说明理由.本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一 含答案

重庆八中高2023级高一(上)国庆假期数学作业(一)满分:150分 测试时间:120分钟姓名:__________ 班级:__________ 学号:__________ 一、 选择题(共12题,1~8题为单选题,每题5分,9~12题为多选题,全部选对得5分,部分选对得3分,错选或不选得0分,共60分)1.已知集合{}2|1M x x ==,{}|2N x ax ==,若N M ⊆,则实数a 的取值集合为( ) A .{}2 B .{}2,2- C .{}2,0-D .{}2,2,0-2.已知集合{}2,0A =,{}|,,B z z x y x A y A ==+∈∈ ,则集合B 的非空子集的个数为( ) A .3 B .4 C .7D .83.一元二次方程()24005ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( ) A .0a < B .0a > C .2a <-D .1a >4.已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为12(,)x x ,则1212ax x x x ++的最大值是( ) AB. CD.5.设集合{}2|60A x x x =->-,{}0|()(2)B x x k x k =---<,若A B ≠∅,则实数k 的取值范围是( ) A .{}21|k k k <->或 B .{}|21k k -<< C .{}43|k k k <->或D .{}|43k k -<<6.下列各式:①212a a +>;②12xx +≥2≤;④22111x x +≥+. 其中正确..的个数是( ) A .0 B .1 C .2D .37.已知函数()1(1)3(1)f x x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩,则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦( ) A .12 B .32 C .52D .728.设0c <,()f x 是区间[],a b 上的减函数,下列命题中正确..的是( ) A .()f x c +在[],a b 上有最小值()f a c + B .()f x 在[],a b 上有最小值()f a C .()f x c -在[],a b 上有最小值()f a c - D .()cf x 在[],a b 上有最小值()cf a9.【多选题】若01,1a b c <<>>,则下列结论中正确..的有( ) A .111a b c>++ B .c a cb a b->-C >D .21b a ->-10.【多选题】设[]x 表示不大于实数x 的最小整数(例如:[2.5]2=,[2.2]3-=-),则满足关于x 的不等式2[][]120x x +-≤的解可以为( )A B .C .π-D .5-11.【多选题】下列说法中正确..的有( ) A .命题“32,1x x x ∀∈>+R ”的否定是“32,1x x x ∃∈<+R ”B .若不等式210ax bx ++>的解集为{}|13x x -<<,则不等式23650ax bx ++<的解集为(,1)(5,)-∞-+∞C .22,421x ax x x ∀∈+≥-R 恒成立,则实数a 的取值范围是[6,)+∞ D .已知211:3,:()10(0)2p x q x a x a a≤≤-++≤>,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是1(0,][3,)3+∞12.【多选题】已知函数2()(,)f x x mx n m n =++∈R ,不等式()x f x <的解集为(,1)(1,)-∞+∞,则( )A .1,1m n =-=B .设()()f x g x x=,则()g x 的最小值为(1)1g = C .不等式()(())f x f f x <的解集为(,0)(0,1)(1,)-∞+∞。
重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期11月月考数学

重庆八中高2027级高一(上)11月月考数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题2x ∀>,210x +≤的否定是()A .2x ∃≤,210x +≥B .2x ∃>,210x +>C .2x ∃≤,210x +>D .2x ∃>,210x +≥2.已知函数()f x 的定义域为[]4,2-,则函数(1)2f x y x +=+的定义域为()A .()()5,22,1---B .[)(]5,22,1---C .()()3,22,3--- D .[)(]3,22,3--- 3.把函数()y f x =的图象向左,向下分别平移2个单位,得到2x y =的图象,则()f x 的解析式是()A .()222x f x +=+B .()222x f x +=-C .()222x f x -=+D .()222x f x -=-4.已知3m >,则43m m +-的最小值为()A .1B .3C .5D .75.已知函数2()321f x x ax =-+在[1,2]-上单调递减,则实数a 的取值范围为()A .(,3)-∞-B .(,3]-∞-C .(6,)+∞D .[6,)+∞6.已知()f x 为R 上的奇函数,当0x >时,()321f x x x =++,则0x <时,()f x 的解析式为()A .3()21(0)f x x x x =---<B .3()21(0)f x x x x =--+<C .3()21(0)f x x x x =+-<D .3()21(0)f x x x x =-++<7.设R a ∈,若[]1,2x ∃∈,使得关于x 的不等式210x ax -+≥有解,则a 的取值范围为()A .(],2-∞B .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .[)2,+∞D .5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.设R x ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,也叫取整函数,如[]1.21=,[]22=,[]1.22-=-,令()[]f x x x =-,则下列选项正确的是()A .()1.10.1f -=-B .1133f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .()()11f x f x +=+D .函数()f x 的值域为[)0,1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知幂函数()()222m mf x m x -=-,则()A .1m =B .()f x 的定义域为R C .()()f x f x -=-D .将函数()f x 的图像向左平移1个单位长度得到函数()3(1)g x x =-的图像10.已知x ,y 都为正数,且24x y +=,则下列说法正确的是()A .2xy 的最大值为4B .224x y +的最小值为12C .21y x +的最小值为94D 11.函数()y f x =的定义域为[1,0)(0,1]-⋃,其图象上任一点(,)P x y 满足||||1x y +=.则下列命题中正确的是()A .函数()y f x =可以是奇函数;B .函数()y f x =一定是偶函数;C .函数()y f x =可能既不是偶函数,也不是奇函数;D .若函数()y f x =值域是(1,1)-,则()y f x =一定是奇函数.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.13213410.125()25627--+---=.13.已知全集为R ,集合{|2121}A x a x a =-≤≤+,523B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭,若x B ∈是x A ∈的必要条件,则实数a 的取值范围是.14.已知函数2()|67|f x x x =-+在[1,](1)m m >上的最大值为A ,在[,21]m m -上的最大值为B .①当15m <≤时,A =②若2≥A B ,则实数m 的取值范围是.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集为R ,集合{}121A x m x m =-≤≤-,集合{}2|60B x x x =+-<.(1)若2m =,求A B ,R A B ð;(2)若A B B = ,求实数m 的取值范围.16.已知函数2()(,,R)f x ax bx c a b c =++∈.(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|4x x <-或2}x >,求关于x 的不等式2240bx ax c -+>的解集;(2)当22b a =-=-,3c =时,函数()f x 在[,1]t t +上的最小值为6,求实数t 的值.17.已知函数()23261x a f x x +-=+是奇函数.(1)求函数()f x 的表达式;(2)用定义法讨论函数()f x 的单调性.18.已知定义域在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足:()()()4f xy f x f y =+-,且当1x >时,()4f x >.(1)求(1)f ,(1)f -的值;(2)证明()f x 是偶函数;(3)解不等式(2)(2)(1)4f f x f x ++<-+.19.若函数Q 在()m x n m n ≤≤<上的最大值记为max y ,最小值记为min y ,且满足max min 1y y =-,则称函数Q 是在m x n ≤≤上的“平稳函数”.(1)函数①1y x =+;②2y x =;③2y x =,其中函数______是在12x ≤≤上的“平稳函数”(填序号);(2)已知函数()2:230Q y ax ax a a =--≠.①当1a =时,函数Q 是在1t x t ≤≤+上的“平稳函数”,求t 的值;②已知函数2:23(0)Q y ax ax a a =-->,若函数Q 是在221m x m +≤≤+(m 为整数)上的“平稳函数”,且存在整数k ,使得maxminy k y,求a 的值.1.B【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】由题意知,“22,10x x ∀>+≤”的否定为“22,10x x ∃>+>”.故选:B 2.B【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可.【详解】因为()f x 的定义域为[]4,2-,则[]14,2x +∈-,即[]5,1x ∈-,所以()1f x +的定义域为[]5,1-,又20x +≠,所以函数(1)2f x y x +=+的定义域为[)(]5,22,1--⋃-.故选:B 3.C【分析】直接求解:把函数y=f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位可得y=f (x+2)-2,根据题意可得f (x+2)-2=2x ,从而可求f (x )【详解】∵把函数y=f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位可得y=f (x+2)-2∴f (x+2)-2=2x∴f (x+2)=2x +2=2x+2-2+2则f (x )=2x-2+2故选C .【点睛】本题主要考查了函数的图象的平移法则:左加右减,上加下减的应用,要注意解答本题时的两种思维方式.4.D【分析】根据给定条件,利用基本不等式求出最小值.【详解】当3m >时,44333733m m m m +=-++≥=--,当且仅当5m =时取等号,所以43m m +-的最小值为7.故选:D 5.D【分析】根据二次函数的性质即可根据23a≥求解.【详解】2()321f x x ax =-+为开口向上的二次函数,且对称轴为3a x =,由于函数在[1,2]-上单调递减,故23a≥,解得6a ≥,故选:D 6.C【分析】利用奇函数的定义计算即可.【详解】因为知()f x 为R 上的奇函数,当0x >时,()321f x x x =++,令0x ->,则()()()()()()3321210f x x x f x f x x x x -=-+-+=-⇒=+-<.故选:C 7.B【分析】分离参数结合对勾函数的性质计算即可.【详解】关于x 的不等式210x ax -+≥有解等价于1a x x+≤在[]1,2上有解,由对勾函数的性质可知1y x x =+在[]1,2上单调递增,即max 115222x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以52a ≤.故选:B 8.D【分析】代入具体值即可判断选项A ,B ;对于C 选项字母的代入需要进行拆分化解,得到其周期性;对于D 选项在一个周期的范围内分析出其值域即可.【详解】对于A ,()[]()1.1 1.1 1.1 1.120.9f -=---=---=,故A 错误;对于B ,11111033333f ⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦,11112133333f ⎛⎫⎡⎤-=---=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即1133f f ⎛⎫⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 错误;对于C ,()()11[1]1[]1[]f x x x x x x x f x +=+-+=+--=-=,故C 错误;对于D ,由C 知,()f x 为周期函数,且周期为1,不妨设01x ≤≤,当0x =时,()[]0000f =-=,当01x <<时,()[]0f x x x x x =-=-=,此时值域为()0,1,当1x =时,()[]11110f x =-=-=,故当01x ≤≤时,有0()1f x ≤<,故函数()f x 的值域为[0,1),故D 正确.故选:D.9.BC【分析】由幂函数的系数为1可求得m 、()f x ,则A 选项可判定;由()f x 解析式可求定义域,则B 选项可判定;由()f x 的奇偶性可判定是否满足()()f x f x -=-,则C 选项可判定;把()3f x x =中的x 用1x +代可得向左平移1个单位长度后函数,则D 选项可判定.【详解】由幂函数的定义可知21m -=,所以3m =,所以()3f x x =,故A 选项错误;由()3f x x =可知其定义域为R ,故B 选项正确;()3f x x =为奇函数,所以()()f x f x -=-,故C 选项正确;将()3f x x =的图像向左平移1个单位长度得到函数3(1)y x =+的图像,故D 选项错误;故选:BC.10.ACD【分析】根据给定条件,艇基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断.【详解】正数x ,y ,满足24x y +=,对于A ,2222(42x y xy x y +=⋅≤=,当且仅当22x y ==取等号,A 正确;对于B ,22222(2)(2)1(2)8224x x y x y x y y ++=≥++-=,当且仅当22x y ==取等号,B 错误;对于C ,211211229(2)()(5)444x y x y y x y x y x +=+=++≥,当且仅当43x y ==取等号,C 正确;对于D ≤=22x y ==取等号,D 正确.故选:ACD 11.AD【分析】结合()f x 的奇偶性、值域等知识确定正确答案.【详解】由()f x 的定义域是[1,0)(0,1]-⋃,得当0x ≠时,1,11,1x y y x y +==-≠≠±,当1x =±时,1,10,0x y y x y +==-==,当100x y -<<⎧⎨>⎩时,1,1x y y x -+==+,当100x y -<<⎧⎨<⎩时,1,1x y y x --==--,当010x y <<⎧⎨>⎩时,1,1x y y x +==-+,当010x y <<⎧⎨<⎩时,1,1x y y x -==-,所以()f x的图象有如下四种情况:根据图象知AD 正确,BC 错误.故选:AD 12.15-【分析】利用有理数指数幂的运算性质化简求值.【详解】133421344110.125()25620.549449641572⨯--+---=+--=-=-.故答案为:15-13.314a <<【分析】根据分式不等式的求解化简求解B ,即可将必要条件转化为A B ⊆,进而列不等式可求解.【详解】由523B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭可得1210332x B x x x x ⎧⎫⎧⎫-+=>=<<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭,由于x B ∈是x A ∈的必要条件,故A B ⊆,因此1212213a a ⎧<-⎪⎨⎪+<⎩,解得314a <<,故答案为:314a <<14.23[32【分析】分段讨论求出函数()f x 的最大值A ;求出1B ≤及()1f x =时根,画出图形,数形结合求出m 的范围.【详解】函数2267,(,3[3)()67,(3x x x f x x x x ∞∞⎧-+∈--⋃+⎪=⎨-+-∈-+⎪⎩,①当13m <≤-时,函数()f x 在[1,]m 上单调递减,max ()(1)2f x f ==;当33≤m 时,函数()f x 在[1,3上递减,在[3]m 上递增,max ()(1)2f x f ==;当33m <≤+()f x 在[1,3上递减,在[3上递增,在[3,]m 上递减,max ()(1)(3)2f x f f ===;当当35m +≤时,函数()f x 在[1,3上递减,在[3上递增,在[3,3上递减,在[3]m 上递增,max ()(1)(3)2f x f f ===,而(5)2f =,所以2A =;②要使2≥A B ,则1B ≤,令()1f x =,解得:13x =22x =,34x =,43x =,由图得,要使函数2()|67|f x x x =-+在[],21m m -上的最大值为B ,且1B ≤,则3212m m ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩或4213m m ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩332m ≤≤,当5m >时,由图知,2()|67|f x x x =-+在[1,](1)m m >上最大值2()670A f m m m ==-+>,在[,21]m m -上单调递增,最大值(21)()0B f m f m A =->=>,2≥A B 不可能成立,所以实数m的取值范围是3[3]2,故答案为:2;3[3]2.【点睛】关键点点睛:求出方程()1f x =的根,画出函数图象,数形结合是求解本问题第2问的关键.15.(1){}23x x ≤≤(2)32m <【分析】(1)首先解一元二次不等式求出集合B ,再根据补集的定义求出B R ð,最后根据交集的定义计算即可;(2)由A B B = 得A B ⊆,分集合A 为空集和不是空集两种情况分别建立不等式(组),可求得实数m 的取值范围.【详解】(1){}{}2|6032B x x x x x =+-<=-<<,当2m =时,{}13A x x =≤≤,{}33A B x x ⋃=-<≤,{}32R B x x x =≤-≥或ð,{}23R A B x x ⋂=≤≤ð;(2) A B B = ,∴A B ⊆,当A =∅时,121m m ->-,解得0m <;当A ≠∅时,121,13,212,m m m m -≤-⎧⎪->-⎨⎪-<⎩解得302≤<m ;综上,32m <.16.(1){}12x x -<<(2)2t =-或3.【分析】(1)根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系,可得韦达定理2,8,0b a c a a ==-<,即可将不等式2240bx ax c -+>变形为220x x --<求解;(2)先由对称轴结合最值得出1t >或0t <,进而分类讨论这两种情况,结合二次函数的单调性得出实数t 的值.【详解】(1)由于()0f x <的解集为{|4x x <-或2}x >,故4x =-和2x =是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根,故42420b a c a a ⎧-+=-⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩,解得2,8,0b a c a a ==-<,故2240bx ax c -+>变形为()()22448020210ax ax a x x x x -->⇒--<⇒-+<,解得12x -<<,故不等式的解为{}12x x -<<(2)当22b a =-=-,3c =时,22()23(1)2=-+=-+f x x x x ,则对称轴方程为1x =,由于()126f =≠,故1t >或11t +<,即1t >或0t <,当1t >时,最小值2()(1)26f t t =-+=,解得3t =,当0t <时,最小值2(1)26f t t +=+=,解得2t =-,综上:2t =-或3.17.(1)()231xf x x =+(2)()f x 在()1,1-上单调递增,在(),1∞--和()1,+∞上单调递减【分析】(1)根据()00f =求解出a 的值,然后检验即可,由此可求()f x 的表达式;(2)先取值,然后将()()12f x f x -因式分解并判断出其正负,由此可分析出()f x 的单调性.【详解】(1)据题意,()f x 是定义域为R 的奇函数,则()0260f a =-=,解得3a =,所以()()()()()222333,111x x x f x f x f x x x x -=-==-=-++-+,所以()f x 是奇函数,故3a =符合要求,所以()231x f x x =+.(2)12,x x ∀∈R ,且12x x <,则()()()()()()2212211212222212123131331111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()12211221122222121233311111x x x x x x x x x x x x x x -+---==++++,因为12x x <,所以2221120,10,10x x x x ->+>+>,所以()()()2122123011x x x x ->++,当1210x x ->时,即11x >或21x <-时,则()()()()2112221231011x x x x x x -->++,所以()()120f x f x ->,所以()()12f x f x >,此时()f x 单调递减;当1210x x -<,即1211x x -<<<时,则()()()()2112221231011x x x x x x --<++,所以()()120f x f x -<,所以()()12f x f x <,此时()f x 单调递增;综上所述,()f x 在()1,1-上单调递增,在(),1∞--和()1,+∞上单调递减.18.(1)()()14,14f f =-=;(2)证明见解析;(3)()()5,22,1--⋃--【分析】(1)令1x y ==和1x y ==-计算即可;(2)令1y =-结合(1)的结论及偶函数的定义证明即可;(3)令21121,,0x x x y x x x ==<<,根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式.【详解】(1)令1x y ==,则()()()()111414f f f f =+-⇒=;令1x y ==-,则()()()()111414f f f f =-+--⇒-=;(2)易知函数定义域关于原点对称,令1y =-,则()()()()14f x f x f f x -=+--=,满足偶函数的定义,证毕;(3)令21121,,0x x x y x x x ==<<,易知221114x x f x x ⎛⎫>⇒> ⎪⎝⎭,则()()()()22211221111440x x x f x f x f f x f x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-=⇒-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以()f x 在0,+∞上单调递增,又()f x 为偶函数,所以()f x 在(),0∞-上单调递减,所以()()()()()()()2214224241f f x f x f f x f x f x ++<-+⇔++-=+<-,则0241x x <+<-,()()2220416162165150x x x x x x x x <++<-+⇒++=++<,即51x -<<-,即不等式的解集为()()5,22,1--⋃--.19.(1)①(2)①0t =或1t =;②164【分析】(1)根据“平稳函数”的定义逐个分析判断即可;(2)①求出二次函数的对称轴,然后分1t >,112t ≤≤,102t ≤<和0t <四种情况求函数在给定范围上的最值,然后利用max min 1y y =-列方程可求出t 的值;②由二次函数的性质可知当221m x m +≤≤+时,y 随x 的增大而增大,从而可求出max y ,min y ,然后由max miny k y =为整数可求出m ,再由max min 1y y =-列方程可求出a .【详解】(1)对于①1y x =+在[]1,2上单调递增当1x =时,2y =,当2x =时,3y =,∴max min 1y y =-,符合题意;对于②|2|y x =在[]1,2上单调递增当1x =时,2y =,当2x =时,4y =,∴max min 1y y ≠-,不符合题意;对于③2y x =在[]1,2上单调递增当1x =时,1y =,当2x =时,4y =,∴max min 1y y ≠-,不符合题意;故①是在12x ≤≤上的“平稳函数”;(2)①二次函数2:23(0)Q y ax ax a a =-->为223y x x =--,对称轴为直线1x =,223y x x =--在1,+∞上单调递增,在(),1∞-上单调递减,当x t =,2123y t t =--,当1x t =+时,()()22212134y t t t =+-+-=-,当1x =时,34y =-.若1t >,223y x x =--在[],1t t +上单调递增,则()22214231y y t t t -=----=,解得1t =(舍去);若112t ≤≤,223y x x =--在[],1t 上单调递减,在(]1,1t +上单调递增,则()223441y y t -=---=,解得1t =-(舍去),1t =;若102t ≤<,223y x x =--在[],1t 上单调递减,在(]1,1t +上单调递增,则()()2132341y y t t -=----=,解得0t =,2t =(舍去);若0t <,223y x x =--在[],1t t +上单调递减,则()22122341y y t t t -=----=,解得0t =(舍去).综上所述,0t =或1t =;②易知,二次函数2:23(0)Q y ax ax a a =-->对称轴为直线1x =,又221m x m +≤≤+ ,且221m m +<+1m ∴>,3221m x m ∴<+≤≤+,当221m x m +≤≤+时,2:23(0)Q y ax ax a a =-->在[]2,21m m ++上单调递增当21x m =+时取得最大值,2x m =+时取得最小值,∴2max 2min (21)2(21)34484(2)2(2)333y a m a m a m k y a m a m a m m +-+-+====-+-+-++m ,k 为整数,且1m >,38m ∴+=,即m 的值为5,又∵max min 1y y =-,()()()()22101210135225231a a a a a a ⎡⎤∴+-+--+-+-=⎣⎦,164a ∴=.。
八中高2024级高一上半期试题及答案

重庆八中2021—2022学年度(上)半期考试高一年级数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知集合{}0,1,2,3A =,{}2,3,4,5B =,记集合P A B = ,B A Q =,则A .1P∈B .4P∉C .5Q∈D .3Q∉2.命题“对x R ∀∈,都有1sin -≤x ”的否定为A .对x R ∀∈,都有sin 1x >-B .对x R ∀∈,都有sin 1x C .0x R ∃∈,使得0sin 1x >-D .0x R ∃∈,使得0sin 1x - 3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A .||y x x =B .3y x =-C .23y x =+D .1y x=-4.函数111y x =-+的值域是A .(,1)-∞-B .(1,)-+∞C .),1()1,(+∞---∞ D .(,)-∞+∞5.函数2()(1)32x f x m x =-+-+在区间(]5,∞-上单调递增,则实数m 的取值范围是A .(,6]-∞B .[6,)+∞C .[4,)-+∞D .(,4]-∞-6.已知0>a ,0>b ,2=+b a ,则)2)(2(bb a a ++的最小值为A .8B .434-C .9D .434+7.如图所示,A ,B 是非空集合,定义集合#A B 为阴影部分表示的集合.若x ,y R ∈,{|1A x y ==,{|2,0}B y y x x ==>,则#A B 为A .{|03}x x <<B .{|13}x x <C .{|013}x x x 或D .{|03}x x x =>或8.已知0a >,k R ∈,设函数2,,(),x x x s f x kx x s ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩,若对任意的实数(2,2)s ∈-,都有()f x 在区间(,)-∞+∞上至少存在两个零点,则A .4a ,且1k B .4a ,且01k < C .04a <<,且1k D .04a <<,且01k < 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知集合{|||,}M y y x x x R ==-∈,12{|},0N y y x x ≠==,则下列选项错误的有A .M N=B .N M⊆C .R M N=ðD .R N MÜð10.下列各组函数中,表示同一函数的是A .2()f t t =,2()g s s=B .()1f x x =+,21()1x g x x -=-C .()||f x x =,(0)()(0)t t g t t t ⎧=⎨-<⎩ D .()f x x =,2()g x =11.已知1m n >>,下列不等式中正确的是A .2m mn>B .2n mn-<-C .12n n+≤D .1111m n <--12.已知集合0{|01}A x x =<<.给定一个函数()y f x =,定义集合{|()n A y y f x ==,1}n x A -∈.若1n n A A -=∅ 对任意的*n N ∈成立,则称该函数()y f x =具有性质“p ”.则下列函数中具有性质“p ”的是A .1y x =+B .1y x=C .2y x =D .1y x x=+三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2,则()2f 的值为.14.若||1x a -<成立的充分不必要条件是23x <<,则实数a 的取值范围是.15.已知()f x 为奇函数,当0x <时,2()31f x x x =+-;当0x >时,()f x 的解析式为()f x =.16.设x R ∈,对于使22x x M - 恒成立的所有常数M 中,我们把M 的最大值1-叫做22x x -的下确界,若0a >,0b >,且11121a a b+=++,则2a b +的下确界为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知幂函数ax a a x f )22()(2--=(R a ∈)在),0(+∞上单调递增.(1)求函数)(x f 的解析式;(2)解不等式)3()5(2x x f x f -<+18.(12分)已知集合{}042)23(22≤+++-=a a x a x x A ,{}106≤≤=x x B (1)当6=a 时,求B A ,)(B C A R (2)从①R A C B R =)( ;②“B x ∈”是“A x ∈”的必要不充分条件;③φ=)(B C A R 这三个条件中任选一个,补充在下面横线上,并进行解答.问题:若,求实数a 的取值范围.19.(12分)如图,边长为1的正三角形纸片ABC ,M 、N 分别为边AB 、AC 上的点,MN ∥BC ,将纸片沿着MN 折叠,使得点A 落至点1A ,1MA 交BC 于点P ,1NA 交BC 于点Q ,记x AM =,四边形MNQP 的面积为y .(1)建立变量y 与x 之间的函数关系式)(x f y =,并写出函数)(x f y =的定义域;(2)求四边形MNQP 的面积y 的最大值以及此时的x 的值.20.(12分)已知关于x 的不等式052>+-n x mx 的解集为),3()2,(+∞-∞∈ x .(1)求实数n m ,的值;(2)当0>+y x ,1->z ,且满足11=+++z ny x m 时,有5222+-≥++t t z y x 恒成立,求实数t 的取值范围.21.(12分)北京时间2021年10月16日0时23分,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心精准发射,约582秒后,飞船与火箭成功分离,进入预定轨道,发射取得圆满成功,这是我国载人航天工程立项实施以来的第21次飞行任务,也是空间站阶段的第2次载人飞行任务。
2020-2021学年八中高一上数学期中考试-含答案

数学试题参考答案
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
C
A
B
A
B
解析:
【7】 x y (x 1) (y 1) 2 [(x 1) (y 1)]( 9 1 ) 1 2 x 1 y 1 2
……………5 分
(2)依题意有: ðR A={x | x 1 或 x 3} 于是: (ðR A) B {x 1 或 x 2}
……………7 分 …………10 分
【18】解:(1)记 t f (x) x2 2x 2 在[0,1] 上单调递减,在[1, 3] 上单调递增,
y 2t 在 t R 时单调递增,
题号
13
14
15
16
答案
1
3a6
[0, 2)
1 a 1 3
解析:
【16】依题意有:| ax 1 || x 2 | 2 x(1 x 3) ,于是 x 2 ax 1 2 x
2
2
由
ax
1
x
2
恒成立可得:
a
(1
3 x
)max
,于是
a
1
由
ax
1
2
x
恒成立可得:
a
(
1 x
1)min
,于是
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= 1 [150 (500 10x)]
2
x
……………8 分
重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

重庆市第八中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩的解构成的集合为( )A .{}3,0x y ==B .(){}3,0C .{}3,0D .{}0,32.点C 在线段AB 上,且23AC CB =若AB BC λ=,则λ=( ) A .23B .23-C .53D .53-3.()sin 2019-=( )A .sin39B .sin39-C .cos39D .cos39-4.已知函数2()22f x x x =-+的定义域和值域均为()[1,1]b b >,则b =( ) A .2B .3C .4D .55.若()()sin cos 0θθ-⋅-<,则θ在第( )象限. A .一、二B .二、三C .一、三D .二、四6.把函数sin3y x =的图象向左平移6π,可以得到的函数为( ) A .sin(3)6y x π=+ B .sin(3)6y x π=-C .cos3y x =D .cos(3)6y x π=+7.函数11()11f x n x x =+-的零点所在的区间为( ) A .()1,2B .()2,3C .()3,4D .()4,58.若()sin cos f x x x =+在[,]a a -是增函数,则a 的最大值是( )A .4πB .2π C .34π D .π9.函数()()log 10,1a y ax a a =->≠在定义域[]1,2上为增函数,则a 的范围( ) A .(0,1)B .(1,2)C .1[0,]2D .1(0,)210.已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若0.52(log 0.2),(2),(4)a g b g c g ===,则,,a b c 的大小关系为( )A .c b a <<B .b a c <<C .b c a <<D .a b c <<11.下列函数中,既没有对称中心,也没有对称轴的有( )①51x y x -=+②3sin 4cos y x x =-③1)y =④21xy =- A .3个B .2个C .1个D .0个12.设正实数a,b 均不为1且log a 2>log b 2,则关于二次函数f(x)=(x −a)(x −b)+(x −b)(x −1)+(x −1)(x −a),下列说法中不正确的是( ) A .三点(1,f(1)),(a,f(a)),(b,f(b))中有两个点在第一象限 B .函数f(x)有两个不相等的零点 C .f(a+b+13)≤f(a)+f(b)+f(1)3D .若a >b ,则f(0)>f(2)二、填空题13.已知幂函数y x α=的图象过点(14,2),则α=________. 14.计算:4839(log 3log 27)(log 2log 4)+⋅+=________. 15.设3sin(),452ππαα+=<,则cos2=α________. 16.已知OPQ 是半径为1,圆角为6π扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的接矩形,则2AB AD +的最大值为________.三、解答题17.设集合{}2320A x x x =-+<,集合2}{0|21x a B x x -=>+.(1)若a =求A B ;(2)若A B B ⋃=,求实数a 的取值范围.18.已知5sin()cos tan()2()tan sin()2f πααπααπαα+⋅⋅-=⋅-. (1)求()3f π的值;(2)若1(0,),sin()263ππαα∈-=求()f α的值. 19.已知函数3()31x x mf x -=+是定义在实数集R 上奇函数.(1)求实数m 的值;(2)若x 满足不等式45240x x -⋅+≤,求此时()f x 的值域.20.已知定义在R 上的函数()()2sin 0,0,0()x A f x ωϕωϕπ=+>><<,()y f x =图象上相邻两个最低点之间的距离为π,且()012f π=.(1)求()f x 的解析式; (2)若2()4sin 20,(0,)62f x x x m x ππ--++≥∈恒成立,求实数m 的取值范围.21.已知函数()()2log f x mx n =+的图象经过点()(),1,04,2P Q .(1)求函数()y f x =的表达式;(2)如图所示,在函数()f x 的图象上有三点()()()()()(),,1,1,2,2A a f a B a f a C a f a ++++,其中2a ≥,求ABC ∆面积S 的最大值.22.设两实数,a b 不相等且均不为0.若函数()y f x =在[],x a b ∈时,函数值y 的取值区间恰为11[,]b a,就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.已知函数()222,[2,0)2,[0,2]x x x g x x x x ⎧+∈-=⎨-+∈⎩.(1)求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”;(2)若函数()g x 在定义域[]22-,内所有“倒域区间”的图象作为函数()y h x =的图象,是否存在实数m ,使得()y h x =与22(2)3,(0)tan 2tan ,(0)2x m x x y x x x π⎧+-+≥⎪=⎨--<<⎪⎩恰好有2个公共点?若存在,求出m 的取值范围:若不存在,请说明理由.参考答案1.B 【分析】解方程组,可得方程组的解,再表示成集合即可. 【详解】因为方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程可得30x y =⎧⎨=⎩表示成集合形式为(){}3,0故选:B 【点睛】本题考查了方程解的集合表示形式,注意要写成点坐标,属于基础题. 2.D 【分析】根据点C 在线段AB 上,且23AC CB =,可得C 与AB 的位置关系,进而根据AB BC λ=即可得λ的值. 【详解】因为点C 在线段AB 上,且23AC CB =所以A 、B 、C 的位置关系如下图所示:因为AB BC λ=则53AB BC =- 所以53λ=-故选:D 【点睛】本题考查了向量的数乘运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点的位置是关键,属于基础题。
重庆八中2020┄2021学年高一上学期期末考试

重庆八中2013―2020┄2021学年(上)期末考试高一年级化学试题可能用到的相对原子质量:H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 Fe 56 Cu 64第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题(每小题3分,共54分。
每小题只有一个选项符合题意)1.下列气体可以形成酸雨的是()A. CH4B. H2 C. SO2D. CO22.下列物质中含有Cl—的是()A.液氯 B.氯酸钾 C.氯化氢气体 D.氯水3.下列关于氧化物的叙述中,正确的是()A.酸性氧化物都是非金属氧化物B.非金属氧化物都是酸性氧化物C.碱性氧化物肯定是金属氧化物D.金属氧化物肯定是碱性氧化物4.硅的氧化物及硅酸盐构成了地壳中大部分的岩石、沙子和土壤。
在无机非金属材料中,硅一直扮演着主角。
下面几种物质中含有硅单质的是()A.玛瑙B.光导纤维C.太阳能电池板D.水晶5.N A代表阿伏加德罗常数,下列说法正确的是()A.在同温同压下,相同体积的任何气体单质所含的原子数相等B. 2g氢气所含原子数为N AC.在常温常压下,11.2LN2所含原子数为N AD. 17gNH3所含电子数为10N A6.宇航员在太空呼吸所需的氧气主要来自太空服中的呼吸面具。
下列物质在一定条件下均能产生氧气,其中最适宜用于呼吸面具中供氧的是()A.HNO3 B.H2O2 C.KClO3 D.Na2O27.下列实验方案设计中,可行的是()A.加稀盐酸后过滤,除去混在铜粉中的少量镁粉和铝粉B.通入澄清石灰水,变浑浊,可说明气体中一定含二氧化碳C.用溶解、过滤的方法分离KNO3和 NaCl固体的混合物D.将氧气和氢气的混合气体通过灼热的氧化铜,以除去其中的氢气8.下列关于浓硝酸和浓硫酸说法正确的是()A.浓硝酸和浓硫酸在空气中久置,质量都会增加B.工业生产中,运输浓硝酸和浓硫酸都常用铜罐车C.浓硝酸常保存在棕色试剂瓶中D.浓硫酸可用干燥氨气、氢气等气体9.下列叙述正确的是()A.SO2能使高锰酸钾溶液褪色,说明SO2 有漂白性B.水玻璃中通CO2可得到胶状沉淀,说明碳酸酸性比硅酸强C.Cl2和SO2都有较好的漂白作用,所以Cl2和SO2混合后可用于漂白纸浆D.某溶液中加入BaCl2溶液,有白色沉淀生成,加稀硝酸沉淀不溶解,证明溶液中肯定含有SO42—10.下列装置能达到对应实验目的的是()11.下列离子在水溶液中,无色且能大量共存的是()A. Fe2+、H+、NO3—、Cl—B. Ba2+、K+、Cl—、OH—C. H+、Mg2+、HCO3—、SO42-D. Na+、K+、MnO4—、NO3—12.证明某溶液只含有Fe2+而不含Fe3+的实验方法是()A.先滴加氯水,再滴加KSCN溶液后显血红色B.先滴加KSCN溶液,不显红色,再滴加氯水后显血红色C.滴加NaOH溶液,马上有灰绿色沉淀生成D.只需滴加KSCN溶液13.右图的装置中,干燥烧瓶中盛有某种气体,烧杯和滴管内盛放某种溶液。
重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一(终版)

重庆八中高2023级高一(上)国庆假期数学作业(一)满分:150分 测试时间:120分钟姓名:__________ 班级:__________ 学号:__________ 一、 选择题(共12题,1~8题为单选题,每题5分,9~12题为多选题,全部选对得5分,部分选对得3分,错选或不选得0分,共60分)1.已知集合{}2|1M x x ==,{}|2N x ax ==,若N M ⊆,则实数a 的取值集合为( ) A .{}2 B .{}2,2− C .{}2,0−D .{}2,2,0−2.已知集合{}2,0A =,{}|,,B z z x y x A y A ==+∈∈ ,则集合B 的非空子集的个数为( ) A .3 B .4 C .7D .83.一元二次方程()24005ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( ) A .0a < B .0a > C .2a <−D .1a >4.已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a −+<<的解集为12(,)x x ,则1212ax x x x ++的最大值是( ) A.3 B.3−C.3D.3−5.设集合{}2|60A x x x =−>−,{}0|()(2)B x x k x k =−−−<,若A B ≠∅,则实数k 的取值范围是( ) A .{}21|k k k <−>或 B .{}|21k k −<< C .{}43|k k k <−>或D .{}|43k k −<<6.下列各式:①212a a +>;②12xx +≥2≤;④22111x x +≥+. 其中正确..的个数是( ) A .0 B .1 C .2D .37.已知函数()1(1)3(1)f x x x x x +≤⎧=⎨−+>⎩,则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦( ) A .12 B .32 C .52D .728.设0c <,()f x 是区间[],a b 上的减函数,下列命题中正确..的是( ) A .()f x c +在[],a b 上有最小值()f a c + B .()f x 在[],a b 上有最小值()f a C .()f x c −在[],a b 上有最小值()f a c − D .()cf x 在[],a b 上有最小值()cf a9.【多选题】若01,1a b c <<>>,则下列结论中正确..的有( ) A .111a b c>++ B .c a cb a b−>−C >D .21b a −>−10.【多选题】设[]x 表示不大于实数x 的最小整数(例如:[2.5]2=,[2.2]3−=−),则满足关于x 的不等式2[][]120x x +−≤的解可以为( ) AB.C .π−D .5−11.【多选题】下列说法中正确..的有( ) A .命题“32,1x x x ∀∈>+R ”的否定是“32,1x x x ∃∈<+R ”B .若不等式210ax bx ++>的解集为{}|13x x −<<,则不等式23650ax bx ++<的解集为(,1)(5,)−∞−+∞C .22,421x ax x x ∀∈+≥−R 恒成立,则实数a 的取值范围是[6,)+∞D .已知211:3,:()10(0)2p x q x a x a a≤≤−++≤>,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是1(0,][3,)3+∞12.【多选题】已知函数2()(,)f x x mx n m n =++∈R ,不等式()x f x <的解集为(,1)(1,)−∞+∞,则( )A .1,1m n =−=B .设()()f x g x x=,则()g x 的最小值为(1)1g = C .不等式()(())f x f f x <的解集为(,0)(0,1)(1,)−∞+∞D .已知31,42()1(),2x h x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩,若()(22)h x h x <+,则x 的取值范围是3(,)4−+∞二、填空题(共4题,每题5分,共20分)13.函数11y x=−的定义域是________________.14.已知函数11x f x x −⎛⎫=⎪+⎝⎭,则(3)f 的值为________________. 15.某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张240元,使用规定:不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次.某班有48名学生,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次还要包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的车费均为40元.若使每个同学游8次,则购买________________张游泳卡最合算.16.若不等式2322x ax a −−≤+≤−有唯一解,则实数a 的值为________________.三、解答题(共6题,共70分)17.(10分) 设全集为{}{}22,430,0(0)A x x x B x x a a =−+≤=−<>R . (1)当4a =时,求,A B A B ;(2)若B A ⊆R,求实数a 的取值范围.18.(12分) 已知关于x 的不等式2430ax x −+<的解集为{}1x x b <<. (1)求,a b 的值; (2)解关于x 的不等式12bx ax −≤+.19.(12分) 已知函数()23f x x =−. (1)解不等式2()f x x <;(2)设函数()()g x x f x =−的最大值为m ,设正实数,a b 满足2a b m +=,求141a b++的最小值.20.(12分) 学校里两条相互垂直的道路,AM AN 旁有一矩形花园ABCD ,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ,要求点,B P 在AM 上,点,D Q 在AN 上,且PQ 过点C ,其中100,30,20AM AN AB AD ====,如图,记三角形花园APQ的面积为S .(1)设(0)DQ x x =>,建立三角形花园APQ 的面积S 关于x 的表达式及S 的最小值; (2)要使三角形花园APQ 的面积不小于1600,请问DQ 的长应该在什么范围内?21.(12分) 已知命题2000:[1,1],0p x x x m ∃∈−−−≥是假命题. (1)求实数m 的取值集合B ;(2)设不等式(3)(2)0x a x a −−−<的解集为A .若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.22.(12分) 已知函数22()(0)6kxf x k x k=>+.(1)若()f x m >的解集为{}32x x x <−>−或,求不等式2530mx kx ++>的解集; (2)若存在3x >,使得()1f x >成立,求k 的取值范围.。
重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一(终版答案)

重庆八中高2023级国庆假期数学作业(一)答案一、选择题二、填空题3212.对于A ,∵f(x)=x 2+mx +n(m,n ∈R),不等式x <f(x)的解集为,即x 2+(m −1)x +n >0的解集为,∴m −1=−2,n =1,即m =−1,n =1,故A 正确; 对于B ,由A 可得,设g(x)=f(x)x=x 2−x+1x=x +1x −1,当x >0时,x +1x −1⩾2√x ·1x −1=1,当且仅当x =1时,取等号,即g(x)⩾g(1)=1, 当x <0时,−x >0,∴−x +1−x⩾2√−x ·1−x =2,当且仅当x =−1时,取等号,∴x <0时,g(x)⩽g(−1)=−3,故g(x)无最大值,也无最小值,故B 错误; 对于C ,由不等式x <f(x)的解集为,则不等式f(x)<f(f(x)),得f(x)<1或f(x)>1,即x 2−x +1<1或x 2−x +1>1, 解得解集为,故C 正确;对于D.,知ℎ(x)={34,x ⩽12f(x),x >12,即ℎ(x)={34,x ⩽12(x −12)2+34,x >12,当x ⩽12时,ℎ(x)是常函数,当x >12时,ℎ(x)是单调递增,若 ℎ(x)<ℎ(2x +2),则{x ⩽122x +2>12或x >12,解得−34<x ⩽12或x >12,∴x 的取值范围是,故D 正确.故选ACD .16.若不等式-3≤x 2-2ax +a≤-2有唯一解,则方程x 2-2ax +a =-2有两个相等的实根,解得a=21-或三、解答题17.解:由已知条件可得:A ={x |1≤x ≤3},B ={x |−√a <x <√a}, (1)当a =4时,B ={x |−2<x <2},则A⋂B ={x |1≤x <2},A⋃B ={x |−2<x ≤3},(2)C R A ={x |x <1,或x >3},因为B ⊆C R A ,所以√a ≤1,解得0<a <1。
2020-2021学年重庆市第八中学高一上学期期中数学试题及答案

绝密★启用前2020-2021学年重庆市第八中学高一上学期期中数学试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.若集合{}220P x x x =+-≤,{}1,0,1,2,3Q =-,则PQ =( )A .{}1,0,1-B .{}1,0-C .{}0,1D .{}0,1,2答案A【分析】先求得集合P ,根据交集运算的定义,即可求得答案. 解:由题意得:集合{}21P x x =-≤≤,所以{1,0,1}P Q =-,故选:A2.命题“0x ∀>,220x x +≥”的否定是( ) A .0x ∃≤,220x x +< B .0x ∀>,220x x +< C .0x ∃>,220x x +≥ D .0x ∃>,220x x +<答案D【分析】全称命题的否定是特称命题,任意改为存在,并将结论加以否定. 解:解:根据全称命题否定的定义,“20,20x x x ∀>-≥”的否定是 “20,20x x x ∃>-<”, 故选:D3.“1x >,1y >”是“2x y +>”的( )条件. A .充分不必要 B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要 答案A【分析】根据充分、必要条件的定义判定即可. 解:解:当1x >,1y >时,2x y +>成立,当2x y +>时,取1,4x y =-=,满足2x y +>,但是不满足1x >,1y >,所以“1x >,1y >”是“2x y +>”的充分不必要条件. 故选:A.点评:充分条件、必要条件的三种判定方法:(1)定义法:根据,p q q p ⇒⇒进行判断,适用于定义、定理判断性问题; (2)集合法:根据pq 对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题;(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.4.设22()1x f x x =+,则1f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .()f x B .()f x -C .1()f x -D .1()f x 答案C【分析】根据()f x 解析式,可求得1f x ⎛⎫⎪⎝⎭的解析式,检验选项,即可得答案. 解:由题意得22222111111111x x f x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭,又2221()1111x x f x x -==-++, 所以11()f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭, 故选:C 5.函数241xy x =+的图象大致为( ) A . B .C .D .答案A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性,然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.解:由函数的解析式可得:()()241xf x f x x --==-+,则函数()f x 为奇函数,其图象关于坐标原点对称,选项CD 错误; 当1x =时,42011y ==>+,选项B 错误. 故选:A.点评:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 6.函数223y x x =+- )A .[)1,-+∞B .[)1,+∞C .(],1-∞-D .(],3-∞-答案B【分析】先求得函数y 的定义域为(][),31,-∞-+∞,再结合二次函数性质和复合函数单调性的判定方法,即可求解.解:令2230x x +-≥,解得3x ≤-或1≥x ,即函数y 的定义域为(][),31,-∞-+∞,又由函数()223f x x x =+-表示开口向上,且对称轴的方程为1x =-的抛物线, 根据复合函数的单调性的判定方法,可得函数223y x x =+-的单调增区间是[)1,+∞.故选:B.7.若0x >,0y >,且满足91211x y +=++,则x y +的最小值是( ) A .6B .7C .8D .9答案A【分析】将代数式()()11x y +++与191211x y ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭相乘,展开后利用基本不等式可求得2x y ++的最小值,进而可得出x y +的最小值.解:若0x >,0y >,且满足91211x y +=++,则1911211x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭, 所以,()()()()19121111211x y x y x y x y ⎛⎫++=+++=+++⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()91111101082112y x x y ⎡⎤+⎡⎤+=++≥⨯=⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎣⎦,即6x y +≥. 当且仅当()131x y +=+时,等号成立, 因此,x y +的最小值为6. 故选:A.点评:易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.8.设1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则下列说法一定正确的是( )A .a b a b b a <<B .b a a a a b <<C .b a a a b a <<D .b b a a b a <<答案B【分析】结合指数函数与幂函数的单调性,求得a b a a >和a a a b <,进而得出答案.解:由1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,根据指数函数的性质,可得01a b <<<,由指数函数(01)xy a a =<<为单调递减函数,可得a b a a >, 又由幂函数(01)a y x a =<<为单调递增函数,可得a a a b <, 所以b a a a a b <<,所以B 正确;同理可得:b b a a b b <<,而对于a a 和b b 而言,无法比较大小,反例如下: 当13a =,12b =时,a b a b <;当14a =,12b =时,a b a b =;当15a =,12b =时,a b a b >.故选:B.二、多选题9.下列各组函数是同一函数的有( )A .2()2xf x =和()4xg x =B .()f x =和()g x =C .2()f x x =和()g x D .()2f x x =-和2,2()2,2x x g x x x -≥⎧=⎨-+<⎩答案ACD【分析】先判断两个函数定义域是否相同,再判断解析式是否相同,即可得答案. 解:对于A :2()24xx f x ==与()4x g x =,两函数定义域相同,解析式相同,故为同一函数,故A 正确;对于B :函数()f x =[1,)+∞,函数()g x =定义域为(,1][1,)-∞-+∞,两函数定义域不同,故不是同一函数,故B 错误;对于C :2()f x x =,定义域为R ,函数2()g x x ==,且定义域为R ,故为同一函数,故C 正确;对于D :函数2,2()22,2x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩,定义为R ,函数2,2()2,2x x g x x x -≥⎧=⎨-+<⎩,定义域为R ,两函数定义域相同,解析式相同,故为同一函数,故D 正确; 故选:ACD10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )A .()y f x =-B .3()y f x x =+C .()f x y x=D .()y x答案AB【分析】根据()f x 为奇函数,逐一分析选项,即可得答案. 解:因为()f x 为奇函数,所以()()f x f x -=-,对于A :因为()y f x =-,则()()y f x f x =-=-,满足题意,故A 正确;对于B :因为3()y f x x =+,则()333()()()()f x x f x x f x x-+-=--=-+,满足题意,故B 正确; 对于C :()f x y x =,则()()()f x f x f x x x x --==--,所以()f x y x=为偶函数,不满足题意,故C 错误; 对于D:因为()y x =,所以其定义域是[)0,+∞,没有奇偶性,故D 错误.故选:AB11.下列说法正确的有( )A .若a b >,那么3311a b < B .若0a b <<,则11a b > C .若0x >,则42x x ++有最小值2D .若x ∈R ,则221xx +有最大值1答案BD【分析】举出反例,可得判定A 不正确;利用不等式的性质,可判定B 正确;利用基本不等式可判定C 正确,D 不正确.解:对于A 中,例如1,1a b ==-,此时3311a b >,所以A 不正确; 对于B 中,由0a b <<,则110b aa b ab --=>,所以11a b>,所以B 正确; 对于C 中,由44222222x x x x +=++-≥=++,当且仅当422x x +=+时,即0x =时等号成立,因为0x >,所以等号不成立,所以C 不正确; 对于D 中,由22211x x x x =++, 当0x >时,12x x +≥=,当且仅当1x x =,即1x =时,等号成立,即1x x+的最小值为2,此时221xx +的最大值为1;当0x <时,11[()]2x x x x +=--+≤-=--,当且仅当1x x =,即1x =-时,等号成立,即1x x +的最大值为2-,此时max 22()01xx <+,所以D 正确.故选:BD.点评:利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件:“一正、二定、三相等”: (1)“一正”:就是各项必须为正数;(2)“二定”:就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.12.高斯函数是数学中的一个重要函数,在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设x ∈R ,用符号[]x 表示不大于x 的最大整数,如[]1.61=,[]1.62-=-,称函数[]()f x x =叫做高斯函数.下列关于高斯函数[]()f x x =的说法正确的有( ) A .()22f -=-B .若()()f a f b =,则1a b -≤C .函数()y f x x =-的值域是[)0,1D .函数()y x f x =⋅在[)1,+∞上单调递增 答案ABD【分析】先理解[]x 表示的含义,[]x 表示不超过x 的最大整数,即可判断选项AB ;当1.1x =时,即可判断选项C ;利用分段函数的单调性判断选项D 即可.解:解:因为[]x 表示不超过x 的最大整数,则[](2)22f -=-=-,故选项A 正确; 若[][]()()f a f b a b =⇒=,则11a b -<-<,即1a b -<,故选项B 正确; 函数()y f x x =-,则[]y x x =-,当 1.1x =时,1 1.10.10y =-=-<,故选项C 不正确;[]()()(),122,23()3,34x x x x y x f x x x x x ⎧≤<⎪≤<⎪=⋅=⋅=⎨≤<⎪⎪⎩,函数y 为分段函数,满足分段函数单调递增的条件,所以函数()y x f x =⋅在[)1+∞,上单调递增,故选项D 正确; 故选:ABD.点评:关键点睛:本题主要考查了高斯函数的应用,理解高斯函数的概念以及掌握分段函数单调性是解决本题的关键.三、填空题132032(3)log6427π+-+-=__________.答案1【分析】根据指数幂运算及对数的性质,化简即可求解. 解:根据指数幂运算及对数的性质,化简可得2032(3)log6427π-+-()2633231log23=-++-31691=++-=.故答案为:1点评:本题考查了指数幂运算及对数的性质应用,属于基础题.14.若函数22,1()3,1xax xf xa x⎧⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩在R上单调递增,则a的取值范围为_________. 答案[3,6)【分析】由题意得分段函数的两段都为增函数,再比较x=1处的函数值,即可得答案. 解:由题意得:当1x>时,()xf x a=为增函数,所以1a>当1x≤时,223()f xax⎛⎫-+⎪⎝⎭=为增函数,所以203a->,解得6a<,且2123aa⎛⎫-⨯+≤⎪⎝⎭,解得3a≥综上,a的取值范围为36a≤<,故答案为:[3,6)15.已知函数()22(1)xf x x=-≤,则()f x值域为_________.答案[)0,2【分析】根据指数函数和绝对值的性质即可求解.解:1x≤,所以022x<≤,2220x-<-≤,[)220,2x-∈,则()f x值域为[)0,2. 故答案为:[)0,2.16.已知()f x是偶函数,且()f x在[)0,+∞上单调递增,如果()()12f ax f x+≤-在13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,则实数a 的取值范围是________.答案1[1,]3--【分析】根据()f x 的奇偶性和对称性,可得1322122ax x x x ⎛⎫=-≤+≤≤⎝-⎪⎭,即212x ax x -≤+≤-,分别求解12ax x +≥-和12ax x +≤-,结合x 的范围,即可得答案.解:依题意有:1322122ax x x x ⎛⎫=-≤+≤≤ ⎝-⎪⎭,所以212x ax x -≤+≤-, 由12ax x +≥-恒成立可得:max31a x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭, 又31y x =-在13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,所以当32x =时,y 有最大值-1,所以1a ≥-, 由12ax x +≤-恒成立可得:min11a x ⎛⎫≤-⎪⎝⎭, 又11y x =-在13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数,所以当32x =时,y 有最小值13-,所以13a ≤-,综上实数a 的取值范围是:113a -≤≤-. 故答案为:1[1,]3--点评:解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性和单调性,并灵活应用,在处理恒成立问题时,若()a f x ≥,则需max ()a f x ≥,若()a f x ≤,则需min ()a f x ≤,考查分析理解,计算化简的能力,属中档题.四、解答题17.已知集合{}21A x x =-≤,102x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭.(1)求AB ;(2)求()R A B .答案(1){}23x x <≤;(2)()(),12,-∞⋃+∞.【分析】(1)求出集合,A B ,由此能求出A B ;(2)先求出()(),13,RA =-∞+∞,由此能求出()R A B .解:解:(1)依题意有:{}13A x x =≤≤,()(){}()()10120,12,2x B x x x x x ⎧⎫+=>=+->=-∞-⋃+∞⎨⎬-⎩⎭,于是:{}23A B x x ⋂=<≤. (2)依题意有:()(),13,RA =-∞+∞,于是:()()(),12,RA B -∞+∞=.点评:关键点点睛:正确地解出绝对值不等式,把商式转化为积式解不等式,然后按照要求解答题目即可.18.已知函数2()22f x x x =-+. (1)记函数()()2f x F x =,求函数()F x 在[]0,3上的最值;(2)若函数()y g x =是定义在R 上的偶函数,且当0x ≥时,()()g x f x =,求函数()g x 的解析式.答案(1)max ()32F x =,min()2F x =;(2)2222,0()22,0x x x g x x x x ⎧++<=⎨-+≥⎩.【分析】(1)记2()22t f x x x ==-+在[]0,1上单调递减,在[]1,3上单调递增,利用复合函数的单调性求解()F x 的最值;(2)根据当0x ≥时,2()22g x x x =-+,利用函数()g x 为偶函数,求函数()g x 的解析式即可.解:(1)记2()22t f x x x ==-+在[]0,1上单调递减,在[]1,3上单调递增,2t y =在t R ∈时单调递增,于是函数()y F x =在[]0,1上单调递减,在[]1,3上单调递增,于是5max ()(3)232F x F ===, 1min ()(1)22F x F ===.(2)依题意有:当0x ≥时,2()22g x x x =-+;当0x <时,0x ->,于是:2()22g x x x -=++,又函数()g x 为偶函数,()()g x g x -=,即:2()22g x x x =++. 综上:2222,0()22,0x x x g x x x x ⎧++<=⎨-+≥⎩.点评:方法点睛:该题考查的是有关函数的问题,解题方法如下:(1)利用复合函数的单调性法则,确定出函数()F x 在给定区间上的单调性,求得其最值;(2)利用偶函数的定义,结合所给的当0x ≥时,2()22g x x x =-+,求得函数()g x 的解析式.19.已知函数1()421(0)xx f x a a b a +=⋅-⋅+->在区间[]1,2上的最大值为9,最小值为1.(1)求a ,b 的值;(2)若方程()20x f x k -⋅=在[]1,2-上有两个不同的解,求实数k 的取值范围.答案(1)1,0a b ==;(2)10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】(1)令[]22,4xt =∈,则221(0)y at at b a =-+->,结合二次函数的性质,列出方程组,即可求解;(2)令12,42xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,方程可化为12k t t =+-,根据函数的()12g t t t =+-单调性,求得函数的端点和最小值,即可求解.解:(1)令[]22,4xt =∈,则221(0)y at at b a =-+->,可得抛物线的开口向上,且对称轴的方程为1t =,所以函数y 在[]2,4t ∈上单调递增,根据题意,可得81911a b b +-=⎧⎨-=⎩,即的1,0a b ==.(2)由(1)可得1()421xx f x +=-+,则方程1()242120x x x x f x k k +-⋅-+-⋅==,令12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,方程可化为2210t t kt -+-=,即12k t t =+-, 设()12g t t t =+-,可得函数()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,在[]1,4单调递增,且()10g =,11()22g =,()944g =, 要使方程有两个不同的解,则102k <≤,即实数k 的取值范围10,2⎛⎤⎥⎝⎦. 点评:已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法:1、分离参数法:一般命题的情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从()f x 中分离出参数,构造新的函数,求得新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,从而确定参数的取值范围;2、分类讨论法:一般命题的情境为没有固定的区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合函数的单调性,先确定参数分类的标准,在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各校范围并在一起,即为所求的范围. 20.如图所示,设矩形()ABCD AB AD >的周长为20cm ,把ABC 沿AC 向ADC 折叠,AB 折过去后交DC 于点P ,设cm AB x =,cm AP y =.(1)建立变量y 与x 之间的函数关系式()y f x =,并写出函数()y f x =的定义域; (2)求ADP △的最大面积以及此时的x 的值. 答案(1)50()10f x x x=+-,定义域为:()5,10;(2)最大面积为(275502cm -,此时52x =.【分析】(1)利用折叠后,ADP △为直角三角形,结合矩形的周长、勾股定理列出函数解析式,并根据AB AD >求定义域;(2)先表示出ADP △的面积,然后利用基本不等式求出最值以及取最值的条件即可. 解:(1)依题意有:10AD x =-,折叠之后, 'APD CPB ∠=∠,'D B ∠=∠,'AD B C =,'ADP CB P ∴≅,则'DP B P =,AP CP y ==,又AB DC x ==,∴'DP B P x y ==-,在Rt ADP 中,有222(10)()x x y y -+-=,化简得:5010y x x=+-,即50()10f x x x=+-. ∴AB AD >即100x x >->,解得510x <<,所以函数()f x 的定义域为:()5,10.(2)依题意有:11()(10)22S DP AD x y x =⨯⨯=⨯-⨯-150(10)102x x ⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎝⎭1500150102x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,由基本不等式可得:50010x x +≥=当且仅当50010x x=即x =时取等号,于是1(150752S ≤⨯-=- 综上:ADP △的最大面积为(275cm -,此时x =.21.已知函数()()20f x ax x c a =++>满足:①函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数;②关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),11m m <. (1)求函数()f x 的解析式;(2)求函数()()()()43g x f x k x k R =++∈在[]1,3上的最小值()h k .答案(1)()223f x x x =+-;(2)()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.【分析】(1)由①可知函数()f x 的图象关于直线14x =-对称,由②可知()10f =,可得出关于a 、c 的方程组,进而可得出函数()f x 的解析式;(2)求得()()22413g x x k x =++-,求得该函数的对称轴为直线()1x k =-+,对实数k 的取值进行分类讨论,分析函数()g x 在区间[]1,3上的单调性,进而可求得()h k 关于k 的表达式.解:(1)由①可得,函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数, 将函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭的图象向左平移14个单位长度可得到函数()f x 的图象,所以,函数()f x 的图象关于直线14x =-对称,则有1124a -=-,可得2a =. 由②可得:1x =是方程20ax x c ++=的一个解,则有10a c ++=,得3c =-. 于是:()223f x x x =+-;(2)依题意有:()()22413g x x k x =++-,对称轴为()1x k =-+.当()13k -+≥时,即4k ≤-时,()g x 在[]1,3单调递减,于是()()min 31227g x g k ==+;当()113k <-+<时,即4-<<-2k 时,()g x 在()1,1k -+⎡⎤⎣⎦单调递减,在()1,3k -+⎡⎤⎣⎦单调递增,于是()()2min 1245g x g k k k =--=---;当()11k -+≤时,即2k ≥-时,()g x 在[]1,3单调递增, 于是()()min 143g x g k ==+.综上:()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.点评:方法点睛:“动轴定区间”型二次函数最值的方法: (1)根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论;(2)根据二次函数的单调性,分别讨论参数在不同取值下的最值,必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析;(3)将分类讨论的结果整合得到最终结果.22.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足:①对任意的(),0,x y ∈+∞,都有()()()f xy f x f y =+;②当且仅当1x >时,()0f x <成立.(1)求()1f ;(2)设()12,0,x x ∈+∞,若()()12f x f x <,试比较1x ,2x 的大小关系,并说明理由; (3)若对任意的[]1,1x ∈-,不等式()()22333310xxxx f f m --⎡⎤+≤+-⎣⎦恒成立,求实数m 的取值范围.答案(1)()10f =;(2)12x x >,理由见解析;(3)5m <≤.【分析】(1)令1x y ==,代入可得(1)f ;(2)记12x kx =,代入已知等式,由12()()f x f x <可得()0f k <,从而有1k >,得结论12x x >;(3)根据函数的性质,不等式变形为()223333100xxx x m --+≥+->恒成立,然后设33x x t -=+后转化为一元二次不等式和一元不次不等式恒成立,再转化为求函数的最值,可求得参数范围.解:(1)令1x y ==,则(1)(1)(1)f f f =+,所以()10f =.(2)12x x >,理由如下:记12x kx =,则()()()122()f x f kx f k f x ==+, 由()()12f x f x <可得:()0f k <,则1k >,故12x x >. (3)由(2)得()223333100x xx x m --+≥+->恒成立,令10332,3x xt -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,则222332x x t -+=-, 原不等式可化为:22100t mt -≥->, 由2210t mt -≥-恒成立可得:min 8m t t ⎛⎫≤+⎪⎝⎭,8t t +≥=8t t=,即t =时等号成立,所以m ≤. 由100mt ->恒成立可得:max 10m t ⎛⎫> ⎪⎝⎭,102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则2t =时,max 105t ⎛⎫= ⎪⎝⎭,于是5m >.综上:实数m的取值范围是5m <≤点评:方法点睛:本题考查抽象函数的单调性,考查不等式恒成立问题,在解决不等式恒成立时,利用已求得的结论(函数的单调性),把问题进行转化,再用换元法转化为一元二次不等式和一元一次不等式恒成立,然后又由分离参数法转化为求函数的最值.。
重庆市第八中学2020-2021年度高一上数学18周考试题

10.(多选题)设函数 f x 4x ,对于任意的 x1, x2 x1 x2 ,下列命题中正确的是( )
A. f x1 x2 f x1 f x2
B. f x1 x2 f x1 f x2
C. f x1 f x2 0
x1 x2
D.
f
x1
2
x2
f x1
2
f
x2
11(. 多选题)已知函数 f x ax b 在区间 2, 上单调递增,则 a,b 的取值可以是( )
x2
A. a 1, b 0
B. 0 a 1 , b 2 C. a 1, b 0
D. a 3 , b 3
12.(多选题)已知 f x 是定义在 R 上的奇函数,且 f x 的图象关于直线 x 1 对称,当
x
(II)讨论关于 x 的不等式 f x 0 的解集.
21.(12
分)已知函数
f
x
1
4 2ax
a
a
0, a
1
且
f
0
0
.
(I)求 a 的值,判断并证明函数 f x 的奇偶性;
(II)当
x 0,1
时,
f
x
m
1 2
x
恒成立,求实数
m
的取值范围.
22.(12
分)已知函数
f
x
4x k 2x 1. 4x 2x 1
重庆八中 2020-2021 年度
高一上数学 18 周考试题
一、选择题(本大题 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,其中 1-8 小题只有一个选项符 合要求;9-12 小题有多个选项符合要求)
1.已知集合 A y y 3x , B 0,1, 2 ,则 A B ( )