第七章 方差分析与试验设计
第07章：最优回归试验设计与分析
第7章最优回归试验设计与分析方差分析一章介绍的方差分析技术主要用于析因试验结果的分析。
但在多处理情形下，虽然我们在理论上可以容易地将双因子方差分析的模型和方法推广到多因子方差分析的情况，但在实践中，做多个因子的完全试验会有实际的困难，因为完全试验所要求的试验次数太多，乃至无法实现。
例如，假定要考虑5个三水平因子，则完全试验（重复数为1）要求做35=243次试验；假如再加一个四水平因子，则完全试验（同样重复数为1）要作972次试验，如果要能够分析全部交效应，同时还能够做平方和分解，则试验次次还需要加倍！显然，如此大的试验次数在实际中几乎是无法实施的。
解决这个困难的技术之一是采取正交试验设计进行试验。
本章介绍的最优回归试验设计包括一般正交试验设计、正交回归、正交旋转组合设计及均匀设计的试验设计及其分析技术。
第1节正交试验统计分析1．概述正交试验是解决科学试验中多因素、多水平试验，如按全面试验方法，试验处理个数急剧上升的问题。
例如有6个因素，每个因素5个水平的试验，全面试验的试验数目是56＝15625个，一般是不可能完成这么多试验处理的。
因此，统计学家发明了一类试验设计的方法－正交因子设计，或简单地称为“正交设计“。
在这种试验设计中，可以安排许多因子，而试验次数远远小于完全试验所需的试验次数；同时统计分析具有分离各因子的主效应和一阶交互效应两优点。
由于这个优点，正交设计在工、农业试验和科学试验中得到了广泛的应用，并发挥了巨大的作用。
2．分析前先编辑定义数据矩阵，数据矩阵的左边放正交表,右边输入试验结果(试验可是单个或有重复),一行一个正交试验组合。
然后, 将正交表和试验结果一起定义成数据矩阵, 如有1个包含3个处理(A,B,C)和2个空闲因子、重复3次的试验,的其数据编辑定义格式为如图7－1。
然后进入菜单选择“一般正交试验”功能，系统提示用户输入试验因子(处理+空闲因子)的总个数(系统一般能自动识别出来,故一般只需回车)。
实验设计的方差分析与正交试验
实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。
在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。
通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。
该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差和组间方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。
这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。
1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。
通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。
2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。
方差分析与试验设计
方差分析与试验设计方差分析是一种通过比较不同组之间的变差来判断均值差异是否显著的统计方法。
它通常用于试验设计中，用于分析不同处理组间的均值差异是否显著，从而评估不同处理的效果。
试验设计是科学研究中的一项重要工作，旨在通过科学的方法来验证研究假设。
试验设计涉及确定适当的样本大小、确定控制组和实验组、识别并控制潜在的影响因素等。
好的试验设计能够最大程度地减少偏差，提高实验的可靠性和准确性。
在方差分析中，我们通常将变量分为因素变量和响应变量。
因素变量是试验设置的处理组，例如不同的药物剂量或不同的施肥量。
响应变量是实验结果，可以是连续变量（如体重、收益等）或分类变量（如治疗成功与否）。
方差分析的基本原理是计算组内变差与组间变差之比，通过比较比值与理论的F分布来判断差异是否显著。
如果比值较大，则表明组间差异显著，即不同处理组的均值差异明显。
在进行方差分析时，我们需要满足一些前提条件，如独立性、正态性和方差齐性。
如果数据不符合这些条件，我们可以应用一些转换方法或进行非参数检验来处理。
完全随机设计是最简单的试验设计方法之一，它将实验对象随机分配到不同的处理组中。
这种设计方法适用于研究变量之间没有任何关系的情况，其优点是简单易行，但缺点是可能存在一些潜在的影响因素未被控制。
随机区组设计是一种常用的试验设计方法，它将实验对象分组后再随机分配到不同的处理组中。
这种设计方法能够控制部分潜在因素的影响，并提高实验的可靠性和准确性。
Latin square设计是一种更加复杂的试验设计方法，它在随机区组设计的基础上增加了均衡性。
Latin square设计通过交叉安排处理组和区块，使得每个处理出现在每个区块中，从而进一步控制潜在因素的影响。
除了上述常见的试验设计方法外，还有其他一些高级试验设计方法，如因子分析设计、回归分析设计等。
这些方法可以根据实验的具体要求来选择和应用。
综上所述，方差分析和试验设计是统计学中重要的概念和方法。
第7章：方差分析
15.75
k
x
njxj
j 1
K
nj
811.5 88.625 815.75 888
11.9583
kr
SST
(xij - x)2
i1 j1
8
8
8
(x1 j - x)2 (x2 j - x)2 (x3 j - x)2
j 1
2.水平 水平是指因子在实验中所处的不同状态。如，例7.1中三个分 店处于三个不同的位置，每个位置被看作是一种水平。
3.观察值 观察值是指在具体的因素水平下，实验样本的观察数据。如， 例7.1中每个分店在8个观察日的销售额。
4.交互影响 当方差分析的影响因素不唯一时，需要关注各因素之间是否独 立。如果因素之间存在相互作用，我们称之为“交互影响”， 实际中这个交互影响可以看成是试验结果产生作用的一个新因 素，需要单独分离出来进行分析。
17
3
10
9
13
4
13
12
14
5
11
7
18
6
9
9
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7
8
6
16
8
15
8
19
试分析这三家分店的平均日营业额是否相同，从而确定营业 地点这个位置因素是否对营业额有显著影响(α=5%)
相应的假设为：
H0 : 1 2 3 1，2，3三者不全相等
如果原假设成立，意味着营业位置对销售没有显著影响；如 果原假设不成立说明至少有两个地点的营业额是有显著差异的 ，即承认营业位置对销售存在显著影响。
方差分析是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，是由 英国统计学家费舍尔在进行试验设计时为解释试验数据而首先 引入的。
第七章方差分析
目录第七章方差分析 __________________________________________________________________________ 2第一节方差分析概述 ____________________________________________________________________ 3一、方差分析中的常用术语 _____________________________________________________________ 3二、方差分析的基本思想 _______________________________________________________________ 4三、方差分析的基本假定 _______________________________________________________________ 4第二节单因素方差分析 __________________________________________________________________ 4一、单因素方差分析的数据结构 _________________________________________________________ 4二、单因素方差分析的步骤 _____________________________________________________________ 5二、方差分析中的多重比较 _____________________________________________________________ 8第三节双因素方差分析 __________________________________________________________________ 9一、双因素方差分析的种类 _____________________________________________________________ 9二、无交互作用的双因素方差分析 _______________________________________________________ 9三、有交互作用的双因素方差分析 ______________________________________________________ 13英文摘要与关键词 ______________________________________________________________________ 17习题 ________________________________________________________________________________ 17第七章方差分析通过本章的学习，我们应该知道：1.方差分析的基本思想与假定2.如何做单因素方差分析3.如何做双因素方差分析4.会用Excel中有关方差分析的功能在第六章中我们讨论了如何对一个总体及两个总体的均值进行检验，如我们要确定两种销售方式的效果是否相同，可以对零假设210:μμ=H 检验。
第七章方差分析与正交试验设计初步
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一、方差分析的有关概念和基本思想
在本章案例中，缩水率就是试验指标，染整工艺
是所要检验的因素（又称因子），三种不同的工艺可
看成是该因素的三种水平，故这是一个单因素三水平
的试验。
从表7.1可知，12个数据各不相同。一方面，同一
种工艺对不同种布样的缩水率是不同的，其差异可以
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二、试验次数不等的方差分析
试验中，有时各水平下的试验次数不相等，如表7.6所 示：
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试验次数不等的单因素方差分析的计算步骤与试 验次数相等的完全一样，只是将K改为 即可。
例7.1 为了对几个行业的服务质量进行评价，某市 消费者协会对该地的旅游业、居民服务业、公路客运 业和保险业分别抽取了不同数量的企业。每个行业中 的这些企业在服务内容、服务对象、企业规模等方面 基本相同。经统计，最近一年消费者对这23家企业投 诉的次数资料如表7-7所示，消费者协会想知道:这几 个行业之间的服务质量是否有显著差异？如果有，究 竟是在哪些行业之间？如果能找出哪些行业的服务质 量最差，就可以建议对消费者权益保护法中该行业的 某些条款作出修正。
度的数量指标。
称为组内平方和或误差平方和，是观察值与组
内平均数之差的平方和，它反映了组内（即在同一水
平之下）样本的随机波动。
的自由度
，其组内方差为
。
称为组间平方和，是组内平均数与总平均数之差
的平方和，它反映了因素水平的不同及随机因素引起
的差异。 的自由度
，其组间方差为
。
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第七章协方差分析
相应的总体相关系数ρ 可用x与y的总体标
准差 x 、 y ，总体协方差COV(x,y)或 xy 表
示如下：
CO(Vx,y) xy xy xy
（10-4）
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的
性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与
自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应
的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和
（covariance），记为COV(x,y)或 xy 。统 计学证明了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y) 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。
于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy，
均积MPxy表示为：
r MPxy MSx MSy
（10-3）
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在分析阶段控制混杂因素的方法：
1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较 同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。 （适用：计量、计数资料）
2、协方差分析（适用：计量资料）
3、多因素分析（适用：计量、计数资料）
协方差分析(analysis of covariance，ANCOVA)
将线性回归与方差分析结合起来，检 验两组或多组修正均数间有无差异的一种 统计方法，用于消除混杂因素对分析指标 的影响。
Yijuti eij
第i组第j个观 测值
一般均值
第i组的组效 应
随机误差
方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量
下面我们再看协方差分析数据结构（单因 素完全随机设计试验资料的协方差分析）：
观测值=一般均值+水平影响+协变量影响+随机误差
Y ij u y tie (X ij u x )ij
方差分析与实验设计
方差分析与实验设计方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是实验设计中常用的一种方法，可以帮助研究者确定实验结果是否受到不同因素的影响，并进一步分析这些因素对实验结果的贡献程度。
实验设计是科学研究中的重要环节，它涉及到如何选择实验对象、确定实验因素、设计实验方案等问题。
合理的实验设计可以提高实验的可靠性和有效性，减少误差的影响，从而得到更准确的结论。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同因素对实验结果的影响是否显著。
组间变异是指不同组之间的差异，组内变异是指同一组内部的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间的差异是由于实验因素的影响，而不是由于随机误差的影响。
二、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括：确定实验因素、选择实验对象、设计实验方案、收集数据、计算方差、进行假设检验和结果解释等。
1. 确定实验因素：首先需要明确研究的目的和问题，确定需要研究的实验因素。
实验因素是指可能对实验结果产生影响的变量，比如不同处理、不同时间、不同地点等。
2. 选择实验对象：根据实验因素的不同水平，选择适当的实验对象。
实验对象应该具有代表性，能够反映出实验因素对实验结果的影响。
3. 设计实验方案：根据实验因素的不同水平，设计实验方案。
常用的实验设计方法有完全随机设计、随机区组设计、因子设计等。
4. 收集数据：按照实验方案进行实验，收集实验数据。
数据的收集应该准确、全面、可靠。
5. 计算方差：根据收集到的数据，计算组间变异和组内变异的大小。
常用的方差计算方法有单因素方差分析、双因素方差分析等。
6. 进行假设检验：根据计算得到的方差值，进行假设检验。
常用的假设检验方法有F检验、t检验等。
7. 结果解释：根据假设检验的结果，解释实验结果。
如果差异显著，则说明实验因素对实验结果有显著影响；如果差异不显著，则说明实验因素对实验结果没有显著影响。
生物统计第7章 单因素方差分析
7.2 固定效应模型
7.2.1 线性统计模型
在固定效应模型中，αi是处理平均数与总体 平均数的离差，是个常量，故：∑αi=0（i=1，
2，…n），要检验a个处理效应的相等性，就 要判断各αi是否都等于0。若各αi都等于0，则
各处理效应之间无差异。因此，零假设为：H0： α1=α2= … =αa =0 备择假设为：HA： αi≠0（至少有一个i）
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7.3.3 不等重复时平方和的计算
• 上述情况，无论是固定效应模型，还是随机效 应模型，各处理的观测次数都是相同的。若不 同处理观测次数不同，以上的方差分析方法仍 然适用，但在计算平方和时，公式要作改动。
• 检验程序及结果分析同上述讨论。
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7.4 多重比较(multiple comparison)
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7.1 方差分析的基本原理
7.1.1 方差分析的一般概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验， 平均数差异显著性检验----成组数据 t检验的一 种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差 异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数 据平均数之间的差异显著性。当然，在多组数 据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所 有对之间做t检验。但这样做会提高犯Ⅰ型错误 的概率，因而是不可取的。
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7.2.3 均方期望与统计量F
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7.2.4 平方和的简易计算方法
• 实际应用时，总的平 方和与处理平方和一 般按右式计算：
• 式中的被减数C通常被称 为校正项（correction) ：
• 误差平方由右式算出 ： • 用SAS软件更简便
方差分析与试验设计
课程名称统计学指导教师实验日期院（系）专业班级实验地点学生姓名学号同组人实验项目名称方差分析与试验设计一、实验目的通过实验掌握方差分析基本原理，对单因素方差分析、双因素方差分析以及实验设计具有初步认识。
二、实验内容城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在3个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过实验共获得30个行车时间（单位：分钟）的数据。
试分析路段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影响。
（α=0.05）三、实验步骤1.在Excel中输入实验数据2.点击【工具】→【数据分析】【方差分析：单因素分析】，单击【确定】3.输入数据区域，单击【确定】4.重复2.3.5.选择【方差分析：可重复双因素分析】，单击【确定】四、实验结果1.路段：方差分析：单因素方差分析SUMMARY2.时段：方差分析：单因素方差分析3.路段和时段的交互作用对行车时间的影响：方差分析：可重复双因素分析SUMMARY 28.1 32.4 总计34.1观测数 3 3 6 求和93.6 104.7 198.3平均31.2 34.9 33.05方差 1.39 2.83 5.79538观测数 3 3 6求和82 94.9 176.9平均27.33333 31.63333 29.48333方差8.463333 12.62333 13.9816732.4观测数 3 3 6求和69.1 81.6 150.7平均23.03333 27.2 25.11667方差 4.223333 3.61 8.341667总计观测数9 9求和244.7 281.2平均27.18889 31.24444方差16.03611 15.96778方差分析差异源SS df MS F P-value F crit 样本189.4533 2 94.72667 17.15027 0.000303 3.885294 列74.01389 1 74.01389 13.40022 0.003262 4.747225 交互0.297778 2 0.148889 0.026956 0.973463 3.885294 内部66.28 12 5.523333总计330.045 17五、实验分析1. 路段对行车时间的影响F=0.915773< F crit=3.31583,表明路段对行车时间的影响不显著。
第7章 试验设计
因素与水平的选取方法 选择实验因素的原则： ①因素数目要适中 ②因素水平范围适当 ③实验指标要定量
虽然近代工程中，20－50个因素一 起试验并不罕见，但以7－8个因素为 宜，这样可以充分发挥试验设计方法 的效果。
选取因素时要特别注意交互作用： 这些因素同时改变时其效果超过单独 改变某一因素的作用。
只有按照科学的统计方法设计试验 得到的试验数据才能进行科学的分析 统计，得到客观有效的结论。
反之，如果试验设计存在缺点，一 大堆不符合统计学原理的数据可能毫 无作用，降低了研究的价值。
（4）均匀设计——大型试验
方开泰
王元
1978年方开泰研究员和数学家王元共同 提出的，在极多因素、极多水平大型试验中 发挥作用，航天工程、汽车工业、三峡工程 中得到广泛应用，近年来走向国际。
不了解均匀设计是试验研究方法是 不完整的。
方开泰
王元
1978年方开泰研究员和数学家王元共同提
出的，在多因素、多水平试验中发挥作用，航
天工程、汽车工业、三峡工程中得到广泛应用。
近年来走向国际。
D——均匀度偏差，越小表示分散性越好
刘文卿《实验设计》：
*表示两种不同的均匀设计表
*表示两种不同的均匀设计表
选取哪些因素进行试验研究显然需要深 厚的理论基础和丰富的实践经验。
正交试验一般应安排验证试验。
7.3 均匀设计
（极多因素水平的试验设计）
李云雁《试验设计与数据处理》P162
1978年方开泰研究员和数学家王 元共同提出的，在多因素、多水平试 验中发挥作用，航天工程、汽车工业、 三峡工程中得到广泛应用。近年来走 向国际。
李教材P166
错误提法
演示作业：P170第2题
第七章 试验设计方法的minitab软件操作讲解
A
B
15.0
12.5
10.0
7.5
5.0 15.0
1
2
C
1
2
D
12.5
10.0
7.5
5.0
1
2
1
2
从图中可以看出 A1B2C1D2 组合最好。
8
5、标准差的交互作用影响分析
标准差 交互作用图
数据均值
1
2
A
20
15 D
10
5
1
2
A
20
1
2
15
10
5 D 1 2
9
6、对信噪比的主要影响分析
信噪比 主效应图
建立试验的数学模型如下： Y=49.75+16.63D+10.00E+0.13F-2.38K-9.50D×F
21
Y 主效应图
数据均值
D
E
70
60
50
40
30
-1
1
F 70
-1
1
K
60
50
40
30
-1
1
-1
1
Y 交互作用图
数据均值
-1
1
-1
1
-1
1
90
D
-1
D
60
1
E F
30
90
E
-1
60
1
30
90
保持值 C0
140 y 120
100 80
200
250 A
50
40 B
30 300
32
5、对响应变量进行优化 响应优化
第七章 方差分析
A.完全等价且F=t
B.完全等价且t=√F
C.t检验结果更准确
D.方差分析结果更准确
答案：B
6.无重复试验的方差分析中,一定有( )
A. MST=MSA+ MSB+MSE
B .SST≤SSA+SSB+SSE
C.MST≤MSA+MSB+MSE
D.SST=SSA+SSB+SSE
答案：D
7.单因素方差分析中的SSA表示( )
A.某因素效应与抽样误差综合结果
B.某因素效应大小
C.抽样误差大小
D.不可预见的误差
答案：A
8.在方差分析中,如果P≤a,则( )
A.各个总体均数全相等
B.至少有两个样本均数不等
C.至少有两个总体均数不等
D.各个样本均数不全相等
答案：C
34.在方差分析中,方差分析的目的是( )
A.分析各个正态总体的方差是否相同B.分析各个正态总体的标准差是否相同
C.分析来自正态总体各组的样本均值是否相同D.分析各个正态总体的均值是否相同E.无正确选项
答案：D
二、填空题
1.方差分析用于两个或多个总体均数间的比较、分析两个或多个因素的交互作用、_____________________的假设检验和方差齐性检验。
答案：C
9.方差分析的前提条件不包括（）
A.独立性
B.正态性
C.均匀性
D.方差齐性
答案：C
10.方差分析的主要目的是
A.判断各总体是否存在方差
B.比较各总体的方差是否相等
C.分析各样本数据之间是否存在显著差异
实验设计与方差分析
试验设计与方差分析SPSS操作一、试验设计与方差分析的关系试验设计并不是一种统计方法，而是一组统计方法的统称，其主要用途在于分析自变量x的值与因变量y值之间的关系。
此外，还用于降低背景变量对理解x值与y值之间关系时的影响。
试验设计使用的最主要的统计工具是方差分析，因此，许多教材将试验设计与方差分析设计为同一部分，使用共同的概念和术语。
其实方差分析并不仅仅在试验设计领域使用，也可以用来分析观察数据。
二、基本术语例：影响某温室水果产量的主要因素有三个：施肥量、浇水量、温度。
如果想通过控制三个因素的量，找出一个最优组合来提高产量，就是实验设计与方差分析问题。
相关的术语有：自变量（因子、因素、输入变量、过程变量）：可以控制的、影响因变量的变量。
本例为施肥量、浇水量、温度。
因变量（反应变量、输出变量）：我们所关心的、承载试验结果的变量。
本例为产量。
背景变量（噪声、噪声变量、潜伏变量）：能观察但不可控的因子或因素，影响较小、达不到自变量水平。
本例可能有测量误差等。
水平（设置）：自变量的不同等级。
水平数通常不多，连续型变量需离散化取值。
如本例：施肥设1000克、1100克、1200克三个量，浇水量设200千克、220千克两个量，温度设18度、20度、22度三个量。
处理：各因子按设定水平的一个组合。
如本例：施肥1000克、浇水200千克、温度18度为一个处理。
试验单元：试验载体的最小单位。
如本例的一个温室或由一个温室分割形成的房间。
主效应与交互效应：两因子及以上试验时，各因子可能对因变量有影响，因子间的相互作用也可能对因变量有影响。
于是就有了上述概念。
有时，交互效应比主效应更重要。
如本例：施肥固定在1000克，浇水固定在200千克，18度、20度、22度三个温度条件下产量的差异，可以理解为温度的主效应；而同一温度条件下，不同的施肥量、浇水量造成的产量差异，就是交互效应。
三、试验设计的三个基本原则第一，随机化。
即采取机会均等的措施，将各种条件完全随机地配置在试验单元上。
方差分析实验报告模板及范例
填写说明1、填写实验报告须字迹工整,使用黑色钢笔或签字笔填写。
2、课程编号和课程名称必须和教务系统中保持一致，实验项目名称填写须完整规范，不能省略或使用简称。
3、每个实验项目应填写一份实验报告。
如同一个实验项目分多次进行，可在实验报告中写明。
实验目录及成绩登记说明：实验项目顺序和名称由学生填写，必须前后保持一致；实验成绩以百分制计，由实验指导教师填写并签名；实验报告部分最终成绩为所有实验项目成绩的平均值。
实验报告实验日期：2020年 4月 16日星期四表15.点击“对比”，弹出对比对话框；勾选“多项式”，点击“继续”，如表2：表26.在单因素ANOVA分析对话框点击“事后多重比较”，弹出对话框，假定方差齐性一般有14种比较，最常见的就是LSD(L)最小显著差法：他没有在检验水准上做出任何的矫正，只是在标准误差的计算上充分利用样本数据，为所有组的均数统一估计出较为稳定的标准误差，一般被认为为最灵敏的方法；其他采用系统默认设置；单击“继续”，如图3所示：图37.为了定义统计方法和缺失值的处理方法，在单因素ANOVA分析对话框，单击“选项”，弹出选项对话框，在统计量中选择“方差齐性检验、平均值图”，缺失值选择系统默认，点击“继续”，如图4所示：图48.单击“确定”，等待输出结果。
ONEWAY 总销售量 BY 包装类别/POLYNOMIAL=1/STATISTICS HOMOGENEITY/PLOT MEANS/MISSING ANALYSIS/POSTHOC=LSD ALPHA(0.05).单向（1）方差齐性检验表，如表a；（2）ANOVA表，如下表b；事后检验（1）多重比较表，如下表c；平均值图，如下图5。
（二）第七章第三题——协方差分析1.课程了解学习协方差分析，是将回归分析同方差分析结合起来，以消除混杂因素的影响，对试验数据进行分析的一种分析方法。
协方差分析一般研究比较一个或者几个因素在不同水平上的差异，但观测量同时还受另一个难以控制的协变量的影响，在分析中剔除其影响，再分析各因素对观测变量的影响。
第七章方差分析（AnalysisofVariance,ANOVA）
第七章方差分析(Analysis of Variance, ANOVA)7.1 方差分析概述7.2 单因素方差分析7.3 无重复双因素方差分析7.4 可重复双因素方差分析7.5 案例研究7.6 试验设计初步7-17.1 方差分析概述⒈方差分析的概念⒉方差分析中的基本术语⒊ANOVA：对比多个总体的均值⒋方差分析中的基本假定7-27-3方差分析的概念方差分析：通过检验多个总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
解决：①A 、B 、C 是否Y 的重要影响因素；②如果为重要影响因素，最优水平？研究系统A B C分类型自变量Y数值型因变量A （a 1，a 2，a 3，…）B （b 1，b 2，b 3，…）C （c 1，c 2，c 3，…）7-4方差分析中的基本术语第1周第9周第14周第2周第7周第16周第4周第12周第17周第5周第10周第13周第3周第8周第18周第6周第11周第15周AB品牌底部中部顶部货架位置因素因素水平实验单元：“一周”响应变量：“每周销售量”处理：品牌—货架位置组合随机安排试验例：一项市场营销研究。
考察品牌和货架位置对咖啡周销售量的影响。
试验单元（experiment unit ）、响应变量（responsevariable ）、因素（factor ）、因素水平（factor level ）、处理（treatment ）。
ANOVA：对比多个总体的均值佣金固定薪金佣金加固定薪金165120140981151561309022021012611219510713418715523524080总平均样本均值175.00113.29166.17151.48三类报酬构成的推销人员的月销售额（千美元）问题：（1）三种报酬类型销售人员的销售业绩是否存在显著差异？（2）如果存在差异，哪类销售人员的业绩最佳？三个总体的均值是否相等？7-57-6散点图佣金固定薪金佣金+固定薪金50100150200250300分类型自变量销售业绩均值差异分析：（1）同一总体内部的差异（随机差异）？（2）不同总体之间的差异（随机差异+系统差异）？（3）两类差异大小分析？7-71x 2x 3x ()f x x31x 2x 3x ()f x x2 1 H 0为真时，样本均值的抽样分布H 0为假时，样本均值的抽样分布方差分析中的基本假定•基本假定：•（1）每个总体均服从正态分布；•（2）每个总体的方差相等；•（3）来自每一总体的样本都是独立随机样本三个总体均值是否相等？012311::H H 23,,不全相等7.2 单因素方差分析（One-way Analysis of Variance）⒈基本概念与数据结构表⒉ANOVA：k个总体均值的检验⒊ANOVA表：单因素方差分析⒋最佳方案的选择7-87-9基本概念与数据结构研究一个分类型自变量对一个数值型因变量的影响。
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化工产品得率试验(%)
催化剂
60 OC)
66 73 70
A2 (70 OC)
81 96 53
A3 (80 OC)
97 79 66
A4 (90 OC)
79 76 88
30
案例 2 分析
可用 Excel 【工具】→“数据分析”→“方差分 析：无重复双因素分析”求解无交互作用的双因素 方差分析问题。
17
案例 1 分析
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“方差分析：单 因素方差分析”求解单因素方差分析问题。
案例 1 的方差分析表
差异源 SS df MS
F P-value F crit
组间 7925.4
3 2641.8 16.628 0.00014 3.4903
组内 1906.5 12 158.87
随机误差
SSE (k-1)(r-1) MSE
总和
SST
kr-1
29
【案例2】如何确定最优生产工艺？
影响某化工厂化工产品得率的主要因素是反应温 度和使用的催化剂种类。为研究产品的最优生产工 艺条件，在其他条件不变的情况下，选择了四种温 度和三种催化剂，在不同温度和催化剂的组合下各 做了一次试验，测得结果如下：
n-1
MSA MSA/MSE MSE
若 F > F0.001(k-1, n-k)，称因素 A 的作用极高度显著； 若 F > F0.01(k-1, n-k)，称因素 A 的作用高度显著； 若 F0.01 (k-1, n-k) > F > k-1, n-k)，称因素 A 的作用一般显 著；
若 F < F0.05(k-1, n-k) ，则认为因素 A 的作用不显著。
检验列因素对因变量的影响因素是否显著，采用的统计量
Fc MSC ~ F(r 1, (k 1)(r 1)) MSE
28
（3）统计决策 （4）方差分析表
误差来源
误差平 方和(SS)
自由度（df）
均方 （MS）
F值
P值
F临界 值
行因素 列因素
SSR
k-1
MSR
MSR/M SE
SSC
r-1
MSC
MSR/M SE
案例2的方差分析表
来源
A B 误差 总和
平方和 自由度
250
3
360.5 2
1179.5 6
1790 11
均方和 83.3 180.3 196.6
F比 0.42 0.92
P-value 0.743 0.449
∵因素 A 的 P-value = 0.743 > 0.05
因素 B 的 P-valu = 0.49 > 0.05
对多组平均数之间的差异进行多重比较的 方法有许多种，例如最小显著差异法。（详见 课本249页。）
第三节 双因素方差分析 在许多情况下， 需要同时分析多个因素对某个指 标的影响。 当试验中同时有多个因素在变化时， 不仅要考虑 每个因素对试验指标的影响， 还要考虑各因素不同 水平间的相互搭配对试验指标的综合影响。 由各因素的不同水平组合所产生的影响， 称为因 素间的交互作用。
18
进一步的分析
由 Excel 运行输出结果还可得：
x1 101.875， x3 158.175
x2 106.95 x4 129.775
19
方差分析结论：
特价销售的效果最好， 买一送一次之，广告宣传 和有奖销售的效果最差， 两者间无显著差异。
20
三、方差分析的事后检验(平均数的多重比较)
影响某化工厂产品得率的主要因素是反应温度和 使用的催化剂种类。为研究产品的最优生产工艺条 件，在其他条件不变的情况下，选择了四种温度和 三种催化剂，在不同温度和催化剂的组合下各做了 两次试验，测得结果如下：
23
一、不考虑交互作用的双因素方差分析
（一） 无交互作用时的双因素试验 1、 数据结构
24
2. 分析步骤
（1）提出假设 在无交互作用的双因素方差分析中，要检验的原
假设有以下两个：
对行因素提出的假设： H0： 1 = 2 = ···= k H1： i 不完全相等
对列因素提出的假设： H0： 1 = 2 = ···= r H1： j不完全相等
5
二、方差分析的基本思想和原理
1、图形描述
投诉次数
90
80
系列1
70
系列2
60 50 40
系列3 系列4
30
系列5
20
系列6
10
系列7
0
0
1
2
3
4
5
行业
6
2、误差分解
总误差 （SST）
SST：反映全部数据误差 大小的平方和
组内误差 （SSE）
组间误差 （SSA）
SSE：反映组内误差大小的平 方和，只含随机误差。也称为 组内平方和；误差平方和；残 差平方和。
SST的自由度为n-1； SSA的自由度为k-1； SSE的自由度为n-k。
SSA的均方——组间均方或组间方差 SSE的均方——组内均方或组内方差
MSA SSA k -1
MSE SSE n-k
检验统计量F
F MSA ~ F(k 1, n k) MSE
15
3、统计决策
判断因素的水平是否对其观测值有显著影响，实际上也就是比较组 间方差与组内方差之间的差异大小。
形式上的检验四 个行业被投诉次 数的均值是否相 等问题
检验四个行业被 投诉次数的差异 主要由什么原因 引起的？
系统误差？
8
三、方差分析的基本假设
（1）每个总体都应服从正态分布，即对于因素 的每一个水平，其观测值都是来自正态分布总体的 简单随机样本。
（2）各个总体的方差 2 相同。
（3）观测值是独立的。 设因素 A 在水平 Ai 下的某项指标为总体 Xi，则 假定
反映组间误差大小的平方和， 只含随机误差和系统误差。也 称组间平方和；因素平方和。
7
3、误差分析
（1）如果不同行业对投诉次数没有影响，SSA中 只包括随机误差，而没有系统误差。SSA与SSE的平 均后的数值比接近1；
（2）如果不同行业对投诉次数有影响，SSA中包 括随机误差和系统误差。SSA与SSE的平均后的数值 比大于1。
f (x) 0
F( n1, n2 )
拒绝域 x
F> F：拒绝原假设，表明i之间的差异是显著的
F<F：不能拒绝原假设，没有证据表明i之间有显著
差异
16
4、方差分析表
误差来源
平方和 自由度
(SS)
（df）
均方 （MS）
F值
P值 F临界值
组间（因素影响） SSA
k-1
组内（误差） SSE
n-k
总和
SST
旅游业
68 39 29 45 56 51
航空公司
31 39 21 34 40
家电制造业 44 51 65 77 58
4
(2)因素和水平 记 A, B, C ···为试验中状态发生变化的因素， 称因素在试验中所取的不同状态为水平。 素设B 因有素b个A水有平a，个记水为平B，1,记B2为, ··A·,1,BAb 2等, ·。··, Aa；因 若试验中只有一个变动的因素，就称为单因 素试验； 若有两个变动的因素，就称为双因素试验； 若有两个以上的变动因素，则称为多因素试 验。
故温度和催化剂对该化工产品的得率都无显著影
响!?
31
问题出在哪里？
以上结论既不符合实际情况， 也违背化学反应的 基本常识。
催化剂
温度
B1
B2
B3
A1 (60 OC) A2 (70 OC) A3 (80 OC) A4 (90 OC)
66
73
70
81 96 53
97 79 66
79 76 88
由本案例的试验数据可以明显看出，温度和催化剂 不同搭配下的得率之间是存在显著差异的。
k
SSA ni (xi x )2 i 1
（c）组内平方和SSE(Sum of Squares for error)
k ni
2
SSE
(xij xi )
i1 j1
14
（4）计算统计量
由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消除观测值多少对 误差平方和大小的影响，需将其平均，即各平方和除以它们对应的自由度。
观测值
因素（i）
(j)
A1
A2
…
Ak
1
x11
X21
…
Xk1
2
x12
X22
…
Xk2
┇
┇
┇
┇
┇
n
x1n
X2n
…
Xkn
11
二、分析步骤
1、提出假设
H0：1 = 2 = ···= k H1：1 , 2，···，k 不全相等
2、构造检验的统计量
（1）计算各样本的均值
ni
xij
xi
j 1
ni
,i 1,2,...,k
若不能拒绝 H0，则说明因素 A 对该项指标无显著影响， 试验结果中的差异主要是由其他未加控制的因素和试验误差 所引起的。
虽然可以用两两 t 检验法来检验各 i 间是否存在显著差
异，但 t 检验无法检验多个因素间的交互效应，而这正是方 差分析要解决的主要问题。
10
第二节 单因素方差分析
一、数据结构
试验结果如下：
促销方式
A1 (广告宣传) A2 (有奖销售) A3 (特价销售) A4 (买一送一)
与上年同期相比(%) 104.8 95.5 104.2 103.0 112.3 107.1 109.2 99.2 143.2 150.3 184.7 154.5 145.6 111.0 139.8 122.7