2019年泰州市初中数学教师解题比赛试题及答案

2019年泰州市初中数学青年教师解题比赛试题
说明：1．本试卷共4页，10大题，满分为150分，考试时间为120分钟；
2．所有试题一律在答题纸上作答，尺规作图请规范操作．
1．（本题满分10分）
已知b
a c
a c
b
c b a k +=
+=+=，求k 的值．
2．（本题满分10分）
关于x 的一元二次方程032=+-k x x 有实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程03)1(2=-++-m x x m ＝0与方程
032=+-k x x 有一个相同的根，求此时m 的值．
3．（本题满分10分）
图①是一幅藏宝图，海岛（图①中空白处）上某处藏匿了宝藏，但没有任何标志，只有A 、B 两块天然巨石．通过查找资料知道，A 、B 两块巨石的直角坐标分别是（2，1）和（6，6），藏宝地C 的坐标是（8，2）．请用尺规作图在海岛上确定藏宝地C 的位置，并简要说明确定点C 位置的方法．（图②是由相同的小正方形组成的网格，供选用）
①
②
观察下列等式：①2221111++=211；②2231211++=6
1
1；③2241311++=1211．解决下列问题：
（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子，并通过计算进行验证； （2）用含n （n 为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明； （3）利用上述结果计算：2
221111+++2231211+++2
241311+++…+22)1(1
11+++n n ．
5．（本题满分15分）
城市许多街道相互垂直或平行，有时不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ．对两点M （1x ，1y ）和N （2x ，2y ），用以下方式定义两点间距离：d （M ，N ）＝|1x 2x -|+|1y 2y -|．已知点A 的坐标是（―2，1），l 是过点（0，3）且平行于x 轴的一条直线，P 为直线l 上一点． （1）d （O ，A ）＝ ； （2）若d （A ，P ）＝3，求点P 的坐标；
（3）设原点O 为快递揽收点，A 为快递仓储点，直线l 是一条
公路，今欲在公路l 上修建一个快递中转中心P ，快递小哥们从点O 处出发，按照“直角拐弯”的方式，将市民送来的快递运送到P 处，再将从外地送来的快递运送到A 处．要使快递小哥的路程最短，请确定快递中转中心P 的位置，并求出最短路程．
如图，线段AB =a ，∠ABG=60°，点P 为射线BG 上的一个动点，以AP 为边作菱形APCD ，使∠APC =60°，且点C 、D 落在∠ABG 内部，过点A 、P 、C 的⊙O 与线段AB 相交于点M ，CM 交AP 于点N ． （1）求证：CM ∥BG ； （2）求线段CM 的长； （3）求线段MN 的最大值．
7．（本题满分15分）
已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上两个动点，且∠EAF =45°，EM ⊥AC ，FN ⊥AC ，点M 、N 为垂足，AE 、AF 交BD 于点G 、H ．当BG =3时，GH =5． （1）求正方形ABCD 的边长；
（2）设AM =x ，AN =y ，求y 与x 的函数关系式及x 的取值范围．
8．（本题满分20分）
已知：△ABC 的内切圆O 与BC 相切于点D ，且BD =p ，CD =q ． （1）若pq AC AB 2=⋅，试判断△ABC 的形状，并说明理由． （2）如图，若∠A =60°，用含p 、q 的代数式表示△ABC 的面积；
A
B
C D
E
G M N
F H
已知A （1，3）、B （3，-1）为平面直角坐标系xOy 内两点． （1）过原点O 作直线l ，设点A 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ．
①1d =2d ，求l 的函数表达式；
②若点A 、B 在直线求l 两侧，且1d +2d 最大，求l 的函数表达式；
（2）若二次函数13)2(2+--+-=a a x y 的顶点E 在△OAB 内（包括边界），点A 、B 到点E
的最短距离分别为1d 、2d ，求1d 2d -的值．
10．（本题满分20分）
已知一次函数b kx y +=与二次函数2ax y =（a <0）的图像相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴负半轴相交于点C ．
（1）若∠AOB =90°，点A 的横坐标为1-，BC =9AC ，求点B 的坐标；
（2）过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ．延长BD 、AO 相交于点Q ，求证：DQ =CO ； （3）在y 轴上是否存在一点P ，使CP 平分∠APB ?如果存在，说明点P 与点C 的位置关系；
如果不存在，请说明理由．
019年泰州市初中数学青年教师解题比赛试题答案
1．（本题满分10分）若0=++c b a ，则a c b -=+，b a c -=+，c b a -=+，所以1-=+=c
b a
k 若0≠++c b a ，方法一：有b a a c c b c b a k +++++++=
=2
1
=；方法二：有a c b k =+)(①，
b a
c k =+)(②，c b a k =+)(③，①+②+③得：c b a c b a k ++=++)(2，所以2
1
=
k ，故k 的值为1-或
2
1． 2．（本题满分10分）（1）k ≤
49；（2）满足k ≤4
9的最大整数为2，此时方程①为0232=+-x x ，解得两根为1=x 和2．把1=x 和2分别代入方程②解得2
3
=m 和1，而方程②为一元二次方程，有1-m ≠0即m ≠1，所以2
3=m ． 3．（本题满分10分）（1）在图②的网格中建立如图所示的直角坐标系；（2）在该坐标系中描出点A ′（2，1）、B ′（6，6），C ′（8，2）；分别连接A ′B ′、B ′C ′、C′A ′；
（3）在图①中，作∠BAE =∠A ′，∠ABF =∠B ′，射线AE 与BF 相交于点C ．
则C 点就是藏宝地．
4．（本题满分15分）（1）2261511++
=3011；（2）22)1(111+++n n =)
1(11++n n （n 为正整数）．证明如下：22)1(1
11+++n n =222222)1()1()1(+++++n n n n n n =222)1(1)1(2)]1([+++++n n n n n n
=222)1(]1)1([+++n n n n =)1(1)1(+++n n n n =)
1(1
1++
n n ． （3）原式=2111⨯+
+3211⨯++4
311⨯++…+)1(1
1++n n =21111-++31211-++41311-++…+1111+-+n n =1+n 1
1
+-n =122++n n n ．
5．（本题满分15分）（1）3；（2）设P （a ，3），则d （A ，P ）＝|a +2|+|3-1|=3，解得a =-1或-3，∴P （-1，3）或（-3，3）；
（3）d （O ，P ）+ d （A ，P ）＝|a -0|+|3-0|+|a +2|+||3-1|=|a +2|+|a |+5=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤≤--≤+-)0(72)02(7)
2(32a a a a a ，
显然，当2-≤a 时32+-a 的最小值为7，当0≥a 时72+a 的最小值也为7，故d （O ，P ）+ d （A ，P ）最小值为7，此时-2≤a ≤0，即快递中转中心P 建于公路l 上横坐标在-2与0之间（包括-2与0）的所有位置都满足要求．
6．（本题满分15分）（1）证明略；（2）连接PM ，证△CPM ≌△APB ，从而有CM =AB =a ；（3）设PB =MB =x ，易证△AMN ∽△CMP ，
所以PM MN CM AM =，所以x MN a x a =
-， 所以MN =)(1x a x a -=a a x a x x a 4
1
)21(1122+--=+-，
故MN 最大为a 4
1
．
7．（本题满分15分）
（1）如图①，因为∠BAD =90°，AD =AB ，故将△ADH 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP 位置，连接PG ，易证∠PBG =90°，所以2
22BG PB PG +=；
可证△APG ≌△AHG ，有PG =HG ，所以222HD BG GH +=， 而当BG =3时，GH =5，故此时HD =4．即BD =12，所以正方形的边长为26．
（2）如图②，易证△AEM ∽△AFD ，△ABE ∽△ANF ， 所以
AF AE AD AM =，AF AE AN AB =，所以AN
AB
AD AM =， 有AB AD AN AM ⋅=⋅=
72262
=）（，即72=xy ， 所以x
y 72
=（126<≤x ）．
8．（本题满分20分）
（1）设AB =c ，AC =b ，⊙O 与AB 、AC 相切于点F 、E ， 由条件知：pq ab 2=，由AE =AF 得p c q b -=-，所以p q c b -=-，所以22)()(p q c b -=-，所以222222q pq p c bc b +-=+-， 所以222222q bc pq p c b ++-=+=2242q pq pq p ++-=2)(q p + 即222BC AC AB =+，所以△ABC 为直角三角形．
F
q A
B D
G
P
H
（2）如图②，设⊙O 的半径为r ，与AB 、AC 相切于点F 、E ，连接AO 、BO 、CO 、OD 、OE 、OF ，作CH ⊥AB ，易证OF ⊥AB ，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，则AF =AE =r 3，BF =BD =p ，CE =CD =q ，所以CH =
AC 23=)3(2
3q r +， 而ABC S ∆=ABO S ∆+BCO S ∆+ACO S ∆，
所以)3(2
3
)3(21q r p r +⋅+=r q r q p p r ⋅+++++)33(21，
整理得：pq r q p r 3)(32=++，
所以ABC S ∆=r q r q p p r ⋅+++++)33(2
1=pq r q p r 3)(32=++．
9．（本题满分20分）（1）如图①，满足条件的直线l 有两条，一条是与AB 平行，一条是经过AB 的中点P ，表达式为x y 2-=或x y 2
1
=
； （2）如图②，作AG ⊥l ，BH ⊥l ，过点A 作l ′∥直线l ，延长BG 交l ′于点G ，则1d +2d =BG ，根据垂线段最短有1d +2d =BP ≤AB ，显然当l ′⊥AB 时1d +2d 最大，此时直线l 恰好经过AB 的中点，故直线l 的表达式为x y 2
1
=
； （3）二次函数图像的顶点为S （2+-a ，13+-a ），设x a =+-2，y a =+-13，有53-=x y ，即S 是直线53-=x y 上的动点．点S 在△OAB 内，故S 在直线53-=x y 与AB 、OB 交点间的线段上，AB 的表达式为52+-=x y ，OB 的表达式为x y 3
1
-=，从而有53-=x y 与AB 的
交点M （2，1），N （23，21-）且MN ⊥OB ，故2d =BN =
1021
，2d =AB 2
1=5，所以1d 2d -=5102
1
-
．
①
② ③
10．（本题满分20分）设直线AB 表达式为d kx y +=，A 、B 的坐标分别为（1x ，21ax ）、
（2x ，2
2ax ）.（1）作AE ⊥x 轴、BF ⊥x 轴，E 、F 为垂足，易证△AOE ∽△OBF ， 所以
FB
EO
OF AE =得21ax -)(22ax -⋅=1x -2x ，从而2a 1x 2x =1-，由题意11-=x ，92=x ，所以9
12=
a ，因为a <0，所以3
1
-=a ，所以二次函数为23
1x y -=，当92=x 时32-=y ，故点B （9，3-）．
（2）如图②，在d kx y +=中，令x =0，有y =d ，则CO =|d |；直线AO 的关系式为x x ax
y 12
1==x ax 1，
令2x x =得21x ax y Q =，联列直线AB 与抛物线的关系式得⎩⎨⎧+==d
kx y ax y 2
，有02=--d kx ax ，所
以1x 2x =a d -，所以DQ =|Q y |=|21x ax |=|)(a
d
a -|=|d |．故有DQ =CO ．
（3）如图③，设点P 的坐标为（0，m ），作AG ⊥y 轴、BH ⊥y 轴，G 、H 为垂足，由题意知：点C 的坐标为（0，d ），
则tan ∠APC - tan ∠BPC =AG PG BH PH -=12
1x ax m --22
2x ax m --=2
12121)
)((x x x ax m x x -+-， 联列2ax y =与d kx y +=有02=--d kx ax ，则a k x x =
+21，a
d
x x -=21， 所以tan ∠APC -tan ∠BPC =a
d a d
a m a
k --⋅--)]
([=)(d m d k +， 欲∠APC =∠BPC ，而k 为任意实数，只有0=+d m ，即d m -=， 此时点P 与点C 关于原点对称．。