多元函数的导数与微分

表示 PP0 (关于 l 的方向)的斜率. 当 t ® 0, x ® x0 , 割线转化为切线.
¶f 它关于 l 方向的斜率是方向导数 ¶ l .
x0
目录 上页 下页 返回 结束
例3.1 设二元函数
求 f 在点(0,0)沿方向 解：当cos q ¹ 0 时，有
? f (0,0) f (t cos q, t sin q) f (0,0) = lim t® 0 ¶l t cos q × sin 2 q sin 2 q = lim = ; 2 2 4 t ® 0 cos q + t sin q cos q
是自变量为t 的一元函数，记作
F (t ) = f ( x0 + tel ).
因此，f (x)在x0 处沿方向l 的变化率就是函数F(t)在t=0 处的导数，即
F (t ) - F (0) lim t® 0 t
f ( x0 + tel ) - f ( x0 ) = lim . t® 0 t
目录
上页
下页
目录 上页
y0
( x0 , y0 )
y
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
下页
返回
结束
注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然
的方向导数.
当 cos q = 0 时，由于
f (t cos q, t sin q) - f (0,0) = 0,
¶ f (0,0) = 0. 从而 ¶l
目录 上页 下页 返回 结束
偏导数的定义
定义3.2 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的邻域
U ( x0 , y0 ) 内定义，若 f 在点( x0 , y0 ) 处沿 x 轴( y 轴)
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z
M0 Tx
Ty
z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 O M 0Tx 对 x 轴的斜率. x0 f d f ( x0 , y) x x0 x y y0 y y y0 d y
是曲线 斜率.
第三节 多元数量值函数的导数与微分
一、方向导数 与偏导数 二、全微分 三、梯度及其与方向导数的关系 四、高阶偏导数及高阶全微分 五、多元复合函数的偏导数和全微分 六、由一个方程确定的隐函数的微分法
目录 上页 下页 返回
第五章
结束
3.1、方向导数与偏导数
引例: 设 x0 Î R 2 , 是平面上某一向量，
¶ f (3) 若方向导数 ¶l > 0(< 0), 则 f 在 x0 处
x0
沿 l 方向增加(减少).
目录
上页
下页
返回
结束
方向导数的几何意义 过直线 L : x = x0 + tel 作平行于z 轴的平面II， 平面与曲面相交的曲线为C. (1) 当t >0, P0 P 的方向与l 的方向相对应，
正向的方向导数存在，则称此方向为 f 在点 ( x0 , y0 ) 处对x ( y )的偏导数. f 对x的偏导数，记为
zx
即:
( x0 , y 0 )
;
x0 x x
x0
同理给出 f 对 y 的偏导数的记号和定义式.
目录 上页 下页 返回 结束
二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 y y0
其中 ( x, y) ? D,( x D x, y) ? D,( x, y D y) ? D. f 对 x 的偏导函数简记为 f 对 y 的偏导函数简记为
抖 f f x , zx , , 抖 x 抖 f f y , zy , , 抖 y
返回
结束
一、方向导数的定义
定义: 设 x0 Î R 2 ,
l
是平面上一向量，与l 同向的
在
单位向量为 e . 二元函数 内让自变量x 由 x0 沿与 el 平行的直线变到
从而对应的函数值有改变量 f ( x0 + tel ) - f ( x0 ).
f ( x0 + tel ) - f ( x0 ) lim t® 0 t
若
存在，则称此极限值为 f 在
¶f 记作 ¶l
沿 l 方向的方向导数。
¶ f ( x0 ) , 即 , 或 ¶l x0 ¶f f ( x0 + tel ) - f ( x0 ) = lim . ¶ l x0 t® 0 t
目录 上页 下页 返回 结束
关于方向导数的几点说明
(1) 定义中的 t 的绝对值是两点 x0 与x0 + tel 之间的距离d . (2) 方向导数实际上是函数 f 在x0 沿 l 方向 关于距离的变化率.
0 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例3.2 求 z x 3x y y 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1 先求后代 x y z z y (1, 2) x (1
方向的变化率. 解： 过点
l
,
是一个二元函数. 现讨论 f 在点x0 处沿l 作与l 平行的直线 L, 它的方程为
f (x)在点x0 处沿方向l 的变化率，就是当点x 在直线 L 上变化时f (x)在点x0 处的变化率.
目录 上页 下页 返回 结束
在 x0 与 el 固定的情况下，当点x 在直线L 上变化时，函数
解法2
2
2
z
2 x 6x 4 y 2
先代后求
z x (1, 2)
z
x 1 1 3 y
y
2
z y (1, 2)
目录 上页 下页 返回 结束
偏导函数的定义
定义： 设函数 z f ( x, y )在区域 D 内有定义， 则 f 对 x 及 y 的偏导函数分别定义为 及
f ( x0 + tel ) - f ( x0 ) t
表示曲线C的割线 P0 P 与向量 l
夹角的正切值, 即 P0 P (关于 l 的方向)的斜率.
目录
上页
下页
返回
结束
方向导数的几何意义
(2) 当t <0, P0 P 的方向与l 的方向相反，
f ( x0 + tel ) - f ( x0 ) f ( x0 ) - f ( x0 + tel ) =t t