非线性方程的5种数值解法及
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
计算方法21-非线性方程
区间,如此反复,直到求出满足精度要求的近似根.
具体步骤如下：
10
令 (a, b) (a0 , b0 )
取a0 , b0 中点 x0
a0 b0 2
将其二分，
这时有三种情况： 若 f x0 0 , 则 x x0 ; 否则， x f a f x 0 , 则 a , x0 , 令 a1 a , b1 x0 ; 若 0
1 1 b2 a2 (b1 a1 ) 2 (b a ) , 2 2 ba bk ak k 2
ak bk 区间 ak , bk 的中点 xk 形成一个序列 x0 , x1 ,, xk ,, 2
显然有 lim x k x .
k
13
实际计算中，对于给定的根的允许误差 0 ,
5
求方程根的近似值，需要解决的问题：
⑴ 根的存在性. ⑵ 根的隔离. 要判断方程有没有根，有几个； 找出有根区间，使得在较小的区间内
方程只有一个根，以得到根的近似值.
⑶ 根的精确化. 利用合适的数值计算方法，逐步 把根精确化，直至满足精度要求.
6
二、逐步搜索法
假设f(x)在有根区间[a,b]单值连续，且f(a)<0.
一般步骤：
取合适的步长
y
ba h , n
f(x) 0 a x* b x
从x0=a出发，按步长逐步向右跨进行搜索，
若发现f(xk)与f(a)异号，则确定一个缩小的有根区间
[ xk 1 , xk ], 其宽度等于步长h.
特别地，若f(xk)=0,则xk就是所求的根.
7
例 对方程f (x)=x3-x-1=0 搜索有根区间.
12
非线性方程组数值解法
非线性方程组数值解法随着科学技术的进步和发展，人们发现非线性方程组在科学研究中起着越来越重要的作用，成为解决复杂科学问题的有力工具。
解决非线性方程组的核心是采用有效的数值解法，它们可以帮助我们快速解决复杂的非线性问题。
一般来说，解决非线性方程组的数值解法可以分为三类：一类是积分方法，一类是有限元方法，另一类是迭代方法。
积分方法包括欧拉法和梯形法等；有限元方法则包括Galerkin方法、Ritz方法、Kirchhoff方法等；而迭代方法有Newton-Raphson方法、拟牛顿投影方法、拟牛顿变量步长方法、McKenna迭代法等。
积分方法按照方程组的方向将时间分解为若干步，并利用各步的积分求解出方程组的解。
它的优点是收敛性强，适用范围广，但缺点是计算量大，实际计算起来比较复杂。
有限元方法将非线性方程组转换成一组有限元方程，然后利用有限元解法求解出解析解。
它的优点是快速计算和分空间，可以解决含有空间变量的非线性问题，但缺点是收敛性一般，容易发散。
迭代方法首先采用初始值作为方程组的解，然后不断迭代求解，该方法的优点是可以用来求解非线性方程组的定点解，但也有缺点，如求解精度较低，耗时较长。
在实际应用中，解决非线性方程组数值解法需要考虑多方面因素，如准确性、可行性、处理效率和使用复杂度等，以选择合适的解法。
此外，还需要考虑非线性方程组的特殊性质，如线性方程组不可约或不可约变系数等，以决定是否可以采用一般的解法。
因此，解决非线性方程组的数值解法是一项复杂的工作，要求工程师必须运用知识和技术，有系统地考虑不同的解法，并在不同情况下进行取舍，才能获得最佳的结果。
总之，解决非线性方程组的数值解法具有复杂的理论和实际应用，为解决复杂科学问题提供了有力的工具，受到了越来越多的关注。
只有深入地研究各类数值解法，推动它们的发展，才能满足现实需求，建立科学有效的解决方案，最终实现理想的结果。
3-第三章 非线性方程的数值解法
到小数点后第三位小数，需要二分多少次？ 解：设 f ( x) x6 x 1，由于 f (1) f (2) 0, f ( x) 0(1 x 2)， 所以在区间 [1,2]内方程 f ( x) 0 有唯一实根。
ba 1 令 k 1 10 3 ，求得所需对分次数至少是10次。 2 2
x* xk ba k 1 2
时，停止计算。
§1 根的搜索与二分法
3 2 x 4 x 10 0 在 [1,2] 内的根的近似 例：用二分法求方程 1 2 值，要求绝对误差不超过 10 。 2 3 2 解： f ( x) x 4x 10 f ( x) 3x2 8x 0, x [1,2] 即 f ( x) 严格单调增加，又 f (1) f (2) 0 ，所以方程在[1,2]上有 唯一实根。 ba 1 2 令 2k 1 2 10 ，得到 k 6.64 ，取 k 7 ，即至少二分7次 。计算过程如下：
由 f ( x) 0 转化为 x ( x) 时，迭代函数 ( x) 不是唯一的， ( x) 不同，会产生不同的序列{xk } ，从而收敛情况也不 一样。
§2 迭代法及其迭代收敛的加速方法
几何意义： * x x ( x ) 求方程 的根 ，在几何上就是求直线 y x与曲线 y ( x) 交点 P* 的横坐标，如图所示。从图中可以看出， * ( x ) ( x ) x 当迭代函数 的导数 在根 处满足不同条件时，迭
特点：运算简单，方法可靠，对函数只要求在区间上连续 ；但收敛速度慢，不能用来求复数根及偶数重根。常用于为 其它求根方法提供较好的近似初始值。
§2 迭代法及其迭代收敛的加速方法
迭代法（逐次逼近）
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
第7章非线性方程组的数值解法
f 1 y f 2 2 y
2 y ( 1,1 ) 2
( 1,1 )
( y 3) ( 1, 1 )
( 1, 1 )
( x 1) ( 1 , 1 ) 2
( 1,1 )
f 1 f 2 2 2[ 2 * ( 3) ( 2 ) * ( 2 )] 4 f1 f2 g10 x ( 1,1) x ( 1,1) x f 1 f 2 g 2 2[ 2 * ( 3) 2 * ( 2 )] 20 20 y y f 1 y f 2 ( 1, 1 ) ( 1, 1 )
完
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 ( h k ) f ( x 0 , y0 ) 2! x y 1 n ( h k ) f ( x 0 , y0 ) n! x y 1 n 1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ) ( n 1)! x y
2
2
令
0
得 f 1 f 1 ( g10 x g 20 y ) f 1 ( g10 ( g f 1 g f 1 ) 2 ( g 10 20 10 x y f 2 g 20 x f 2 g 20 x f 2 ) f2 y f 2 2 ) ( x y
1
f 1 ( x 0 , y0 ) f ( x , y ) 2 0 0
从n到n+1的迭代格式为：
f 1 ( x n , y n ) xn 1 x n x y y f 2 ( xn , yn ) n 1 n x
非线性方程数值求解法总结
（一）非线性方程的迭代解法1.非线性方程的一般形式：f(x)=02.非线性方程的分类：⎩⎨⎧=为其他函数。
超越方程，次代数多项式；为代数方程，)()(0)(x f n x f x f 3.方程的根：若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程(4.1)的根，又称s 是函数f(x)的零点。
4.重根：若f(x)能分解为)()()(x s x x f m ϕ-= 则称s 是方程(4.1)的m 重根和f(x)的m 重零点。
当m=1时，s 称为方程(4.1)的单根和f(x)的单零点。
5.结论：(1)零点存在定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)•f(b)<0，那么在开区间（a,b ）内至少有一点ξ，使f(ξ)=0.(2)根的唯一性判别：一阶导数不变号且不为零(3)n 次代数方程在复数域上恰有n 个根(4)高于4次的代数方程没有求根公式6.方法：(1)搜索根方法：①作图法：②逐步搜索法：确定方程根的范围的步骤：步骤1 取含f(x)=0根的区间[a,b]，即f(a)•f(b)<0；步骤2 从a 开始，按某个预定的步长h ，不断地向右跨一步进行一次搜索， 即检查kh a x k +=上的函数)(k x f 值的符号。
若0)()(1<•-k k x f x f ，则可以确定一个有根区间],[1k k x x -.步骤3 继续向右搜索，直到找出[a,b]上的全部有根区间],[1k k x x -（k=1,2,…,n).(2)二分法①基本思想：含根区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列 {}k I ,在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。
②迭代终止的条件ε<)(k x fε2<-k k a b或者ε<-≤-2k k k a b s x(3)简单迭代法及其收敛性)(0)(x x x f ϕ=⇔=,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐 步精确化,最后得到满足精度要求的解。
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。
本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。
是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。
我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。
关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。
科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。
因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。
方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。
这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。
本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。
二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。
如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。
取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。
非线性方程与方程组数值解法
2.2 二分法
表2-2 计算结果
k
0 1 2 3 4 5 6 7
ak
1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203
bk
2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281
xk
1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
ab ；否则，回 2
5.2 二分法
说明：
x*
(ⅰ)上述计算步骤（2）和（3）每执行一次就把新的区间分成两份，根的范围也 缩小一半. 如果第 k 次二分后得到的区间记 为 [ak , bk ]，根的近似值记为 xk ，则 ba (a b ) 有 bk ak k ， xk k k ，那么当时 k ， bk ak 0，这说明如果二分过 2 2 程无限继续下去，这些区间必将收敛于一点，即为所求根. (ⅱ) 第
3
2 f ( x ) 3 x 1 0, x [1, 2] 解 已知 f (1) 1 0, f (2) 5 0 且 ，
则方程
f ( x) x 3 x 1 0
在区间
(1, 2)
内只有一个实根.
当 k 1 ， x1
bk ak 102 ，继续二分；
2.1 引言
通常隔离区间的确定方法为 （1）作 y f ( x) 的草图, 由 y f ( x)与横轴交点的大致位置来确定； 或 者将 f1 ( x) f 2 ( x) 改写成 f ( x) 0 ， 根据 y f1 ( x) 和 y f 2 ( x) 交点横坐标来确定
根的隔离区间.
当 k 2 ， x2
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
数值分析第七章 非线性方程与方程组的数值解法0607)
一、二分法
3. 二分法的一个例题
例2 求x3 x 1 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到
小数点后2位.
k ak
bk
xk
f(xk)符号
0 1.0
1.5
1.25
−
1 1.25
1.375
+
2
1.375 1.3125
−
3 1.3125
1.3438
+
4
1.3438 1.3281
+
5
1.3281 1.3203
续，并且
(x*) (x*) ( p1) (x*) 0， ( p) (x*) 0,
只要相邻两次 计算结果的偏
|
xk
x* |
Lk 1 L
|
x1
x0
|
.
(2.5)
差足够小即可
保证近似值xk 具有足够精度
|
xk
x* |
1 1 L
|
xk 1
xk
|
.
(2.6)
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 局部收敛性
- 定义1 设(x)有不动点x*，若对任意x0∈{ x*
的某个邻域R}，迭代公式(2.2)产生的序列 {xk}∈R，且收敛到x*，则称迭代法(2.2)局部 收敛.
2). 存在正数L<1，使对任意x,y∈[a, b]都有
| (x) ( y) | L | x y |;
则(x)在[a, b]上存在唯一的不动点x*.
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 全局收敛的充分条件
- 定理2 设(x) 满足定理1中两条件，则对任意
x0∈[a, b]，迭代法收敛，并有误差估计式
非线性方程的5种数值解法及其
①收敛速度比较慢； ②只能求解奇数重根,不 能求解偶数重根；
函数在有根区 间上连续,且在 区间端点处的 函数值异号；
①在整个有根 区间上,一介导 函数值不变号, 且恒不为0； ②选取的初始 值的一介,二介 导函数值号；
引言
论 文 结 构 框 架
相关领域研究回顾
相关理论知识
介绍了这5种方法的基本 原理及算法步骤 以方程 x 6 x 2 x 5 0 为例, 用matlab程序分别实现
3 2
及算法步骤
算例分析 综合分析比较
分析比较,归纳其应用 范围和优缺点
1 引言
• 在实际问题中,求解非线性方程根的精确值很困难, 大部 分的情况下,我们只需要求解出近似值即可.而数值解法, 就是用数值迭代的方法来求解近似值的一种方法. • 其中最早提出来的是二分法.
表1:最终的迭代结果比较
初始值
二分法
a 9 b 5
迭代次数
33
迭代时间
0.015秒
数值解
-5.80383649934083
netwon迭 代法
反函数法 求交法
x 0 6 .5
4
3 4
0.01秒
0.01秒 0.006秒
-5.80383649910152
-5.80383649910152 -5.80383649910152
6 .5
区间是 9 , 5 ,然后再选取初始值 x 0
和精确度
10
9
最后用matlab语言对这5种方法逐一实现,求解出该方程 根的近似值,并要求能得到每一步迭代的结果.(具体程序 见附录).
非线性方程(组)的解法
f ( x) f ( xk ) f ( xk )(x xk ) 一元函数 F ( x) F ( x k ) F ( xk )(x xk ) 0 x k为向量 F ( x k )(x x k ) F ( x k ) x x k F ( x k )1 F ( x k )
18
3.非线性方程组的迭代解法
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f1 ( x) f1 ( x1 , L , xn ) 或 F ( x) L 0 L f ( x) f ( x , L , x ) f ( x , x ,, x ) 0 n n n 1 n n 1 2
9
迭代法及收敛性
考虑方程 x ( x)。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x ( x) 中的右端得到 x1 ( x0 )，再以 为一个猜测值，
x1
代入 x ( x) 的右端得 x2 ( x1 ) ，反复迭代 得
1 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 f ( ) 2 其中在x和x0之间
0 f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) 0
16
Newton迭代法
有：
*
f ( x0 ) x x0 f ( x0 )
能为力时，数值方法则可以借助于计算机出色完成。
2
2.1二分法
概念：
有根区间：存先确定有限区间：依据零点定理。 设 f ( x) C[a, b]，且 f (a) f (b) 0 ，则 方程 f ( x) 0在区间 (a, b)上至少有一个根。 如果 f ' ( x) 在 (a, b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
非线性微分方程的数值求解方法
非线性微分方程的数值求解方法非线性微分方程是现代科学研究中的一个重要课题，其涉及机械、物理、化学、电子、生物、医学等众多领域。
然而，由于非线性微分方程普遍难以求解，因此，数值求解成为了解决问题的有效方法。
在本文中，我们将介绍非线性微分方程数值求解的常用方法和一些应用实例。
1. 常用方法1.1 有限差分法有限差分法是一种基于离散化技术的数值求解方法。
其具体操作是将非线性微分方程转化为一个差分方程，然后利用数值迭代的方法逐步计算出方程的解。
有限差分法是非线性微分方程数值求解的最基本方法，其优点是简单、易于实现，但由于离散化带来的误差限制了其应用范围。
1.2 有限元法有限元法是结构力学和流体力学中常用的一种数学方法，可以用于求解大量的非线性微分方程。
该方法将连续的物理问题转化为一系列离散的有限元问题，并利用数值技术实现数值计算。
相对于有限差分法，有限元法更加灵活、精确，能够模拟各种复杂的力学问题。
1.3 辛波特-欧拉法辛波特-欧拉法是非线性微分方程数值求解中的一种高精度方法。
其基本思想是将微分方程用欧拉法离散化，然后利用辛波特方法来提高精度。
该方法应用广泛，在计算机模拟、物理学、天文学等领域有着广泛的应用。
2. 应用实例2.1 生态学非线性微分方程在生态学中有着广泛的应用，其中最经典的例子是Lotka-Volterra方程。
这个模型描述了食物链中食草动物和食肉动物的数量变化。
利用有限元法、有限差分法等数值方法，可以对生态系统的发展、演变进行模拟，研究生态链条的稳定性、物种丰富度变化、环境扰动的影响等问题。
2.2 理论物理学非线性微分方程在理论物理学中也有着广泛的应用。
例如，把非线性微分方程用于研究非线性波方程和非线性光学方程，以及非线性薛定谔方程和非线性薛定谔场方程等等。
这些数值方法的应用可以有效地模拟和研究各种物理现象。
例如，研究自然灾害引起的气候变化、稳定器的效应、研究界面液晶显示器，以及研究光学调制中涉及的非线性现象等等。
数值分析-第三章小结
姓名 班级 学号第三章 非线性方程的数值解法一、学习体会本章主要介绍了非线性方程组的方程根的解法，求方程根的步骤，由于非线性方程组只有少数类型能解出根的解析表达式，只能用数值方法求出它的近似值。
求解非线性方程组的方法有作图法等，求根的方法有二分法、迭代法、牛顿法、割线法等。
在学习过程当中，我们要注意各种方法的特点与使用范围，针对不同场合下的非线性方程组，选择合适的方法有利于我们快速准确的得到所要求的结果。
二、知识梳理非线性方程的迭代解法1、对分法对分法的算法步骤如下：对k=0，1……，M 执行（1）计算k 2a kk x b +=； （2）()k f x ε<或者2k k b a ε-<则停止计算。
取s=k x ，否则转（3）； （3）若f(k a )f (k x )〈0，令k+1k+1k k a =b =a x ，，；若f(k a )f (k x )〉0则有k+1k+1k k a =b =b x ，，； （4）若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
2、简单迭代法及其收敛性定理1：设函数()[,]x C a b ϕ∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件:（1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ϕ∈；（2）当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ϕ≤<, 其中L 为一常数。
则有如下结论:（1）方程=()x x ϕ在区间[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101|-|||1|-|||1kk k k k L s x x x L L s x x x L-≤--≤-- 定理2 设=()s s ϕ，'()x ϕ在包含s 的某个开区间内连续。
如果|'()|<1s ϕ，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。
非线性方程的数值解法
非线性方程:f(x)=0 包括：代数方程（多项式）、超越方程（三角函数、指
数函数或对数函数）。
求解方法：直接求解法、间接求解法； 直接求解法一般为解析法，能够得到精确解，如二次方 程求根公式等。简单但不一定总有效。 间接求解法一般较复杂，可以利用计算机进行计算，其 结果为近似解，但误差可以控制。
L L2 | x * xk | | x k x k 1 | | x k 1 xk 2 | ...... 1 L 1 L 注：定理条件非必要条件，对某些问题在区间 [a, b]上不 k L 满足| φ ’(x) | L < 1 ，迭代也收敛。 | x1 x0 | 1 L
是
是 是
f (a) =0
否
否 f(a)f(m)>0 否 b=m
打印b, k
结束
打印a, k
k=K+1
应用： 3 f x x 2x 5, a, b 2,3, 0.01 ，求x=? 例、设 解： k ba a x b
0 1 2 3 4 5 6
23+ 2.5+ 1 22.5+ 2.25+ 0.5 22.25+ 2.125+ 0.25 22.125+ 2.06250.125 2.06252.125+ 2.093750.0625 2.09375 2.125+ 2.109375+ 0.03125 2.09375 2.109375 2.1015625 0.015625 0.02
L | x k x k 1 | ? ④ | x * xk | 1 L
3 简单迭代法
| x xk | L | x xk 1 | L | x * xk xk xk 1 | | xk xk |) 1 |来 L(| x * x可用 | | x x k k k 1 (1 L) | x x | L | x x | 控制收敛精度
非线性方程的数值解法
迭代法求解的问题
1、迭代的收敛性 2、迭代的收敛速度 以上问题与迭代形式 x=ϕ(x)有关 例：方程 x2 + x – 6 =0 ,初值x0=1 迭代形式： x =6-x2 结果发散 迭代形式： x =(6+3x-x2)/4
结果收敛
简单迭代法的几何解释
迭代法的收敛条件
设方程 f (x)=0的根为x=a, 即f (a)=0 迭代形式 x=ϕ(x)，则 a = ϕ (a)，xn+1 = ϕ (xn) xn+1-a = ϕ (xn)- ϕ (a)
f ′(x) 与 f ′ (x) 均存在,
x0, x∈[ a,b] ；
插 值 法 的 几 何 解 释
弦割法
Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’，相当于 个函数值， 个函数值， ，相当于2个函数值 比较费时。 比较费时。现用 f 的值近似 f ’，可少算一个函数值。 ，可少算一个函数值。
直接法：fslove函数 直接法：fslove函数
fsolve函数有多种调用格式可供选用，现 以最常见的格式为例说明。 b=fsolve (′F′,x0,options) 例：fsolve(‘sin(x)’,1.2) 其中F为函数名，x0为初值矩阵,options为 以向量表示的可选参数值
迭代法求解
第二节 初值估计
1. 物理法 根据数学方程 f(x)=0 的物理概念确定初值。 例：计算实际气体的压缩因子 Z = PV / R T 可将理想气体的压缩因子作为初值 优缺点：物理法估计初值简便而确切, 并 具有明确的物理概念。但在实际应用上有 一定的局限性, 并不能解决所有初值的估 计问题。
Z0 =1
ϕ′(x) ≤ q <1
4非线性方程的数值解法
16 − ������ 2
16 ������ + 1
������ 2 + ������ − 16 ������ − 2������ + 1 ������
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
迭代法的收敛性 • 设迭代函数������ ������ 在 ������, ������ 上具有连续的一阶导数，且
������������ 2
•
•
− = 0，无穷个根 ∄ ������ = 1 0,1 ������ = 0
1+ 5 1− 5 0, −1, , 2 2 1 2
1 2
������ 4 + 2������������ 2 − ������ + ������2 + ������ =迭代过程������������+1 = ������ ������������
������ ∗ 附近连续，且 ������′ ������ ∗ = ������′′ ������ ∗ = ⋯ = ������ ������−1 ������ ∗ = 0, ������ ������ ������ ∗ ≠ 0，则该迭代过程在根������ ∗ 附近具有������阶收敛速度 由于������′ ������ ∗ = 0 < 1，迭代过程������������+1 = ������ ������������ 具有局部 收敛性 将������ ������������ 在所求根������ ∗ 附近展开成������ ������������ = ������ ������ ∗ +
第四章 非线性方程的数值解法
蔡宏珂 caihk@ 41386233 气象楼103