2+3-1传感与检测技术的理论基础知识分享

差估计值。 均方根偏差估计值
s
n
(xi x)2
i1
n1
n
v2 i
i1
n1
评定单次测量值所出现误差的指标，即样本标准差
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无偏估计
参数的样本估计值的期望值 = 参数的真实值 无偏估计：设A’=g(x1, x2,..., xn)是未知参数A的一
个点估计量，若A’满足E(A’）= A，则称A’为A的 无偏估计量，否则为有偏估计量。 无偏估计就是系统误差为零的估计
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测量误差 measuring error
测量的目的是希望通过测量获取被测量的真 实值。但由于种种原因，例如，传感器本身 性能不十分优良，测量方法不十分完善，外 界干扰的影响等，都会造成被测参数的测量 值与真实值不一致，两者不一致程度用测量 误差表示。
测量误差就是测量值与真实值之间的差值。
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⒈ 测量误差的表示方法
量时， 绝对值和符号不可预知地随机 变化，但就误差的总体而言，具有一定
的统计规律性的误差称为随机误差。 随机误差 xi x
9
⑵ 系统误差：对同一被测量进行多次重复
测量时，如果误差按照一定的规律出现，
则把这种误差称为系统误差。
系统误差 x L
例如：标准量值的不准确及仪表刻度的 不准确而引起的误差。
⑶ 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差 为粗大误差（疏忽误差）。
当 t =±1时, Pa=0.6827, 即测量结果中随机误差出现 在-σ～+σ范围内的概率为68.27%。
而出现在-3σ～+3σ范围内的概率是99.73%, 因此可以
认为绝对值大于3σ的误差是小概率事件。
测量结果可表示为
xxx(pa0.6827) xx3x(pa0.9973)
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Pa与α关系
显著度
注 意
① 所用传感器、 测量仪表或组成元件是 否准确可靠；测量方法是否完善。
③ 传感器或仪表安装、调整或放置是
否正确合理。
④ 传感器或仪表工作场所的环境条件是
否符合规定条件。
⑤ 测量者的操作是否正确。
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2. 系统误差的发现与判别
发现系统误差一般比较困难，下面介绍几种 发现系统误差的一般方法。
（1）实验对比法：这种方法是通过改变产生系 统误差的条件从而进行不同条件的测量， 以发现系统误差。
实践表明，随机误差具有特征： 单峰性：绝对值小的随机误差出现的概率大
于绝对值大的随机误差出现的概率 有界性：随机误差的绝对值不会超出一定界
限 对称性：测量次数n很大时，绝对值相等、符
号相反的随机误差出现的概率相等。
当测量次数足够多时, 测量过程中产生的误差服 从正态分布规律。
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算术平均值 随机误差
⑷ 基本误差：指仪表在规定的标准条件下 所具有的误差。如传感器在 (220±5)v,(50±2)Hz,(25±2) ℃条件下所具有的误差。
⑸ 附加误差：指传感器或仪表的使用条件 偏离额定条件下出现的误差。
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2.测量误差出现的规律
误差分为三种: 随机误差、系统误差、粗大误差
⑴ 随机误差：对同一被测量进行多次重复测
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随机误差的统计和处理
statistics
判断：测量中，当系统误差已设法消除
或减小到可以忽略的程度时，如 果测量数据仍有不稳定的现象， 说明存在随机误差。
方法：用概率数理统计的方法来研究。
任务：从随机数据中求出最接近真值的
值，对数据精密度（可信赖的程 度）进行评定。
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1.随机误差的正态分布曲线 random error
传感与转换技术的 理论基础
知识要点
➢ 测量概论
测量、误差 的基本概念
误差
绝对误差、相对误差、引用误差 基本误差、附加误差、残余误差 随机误差、系统误差、粗大误差
➢测量数据的估计和处理
误差的判定准则 及其处理方法
计算方法
残余误差 均方根偏差(估计) 算术平均值的均方根偏差
2
带着思考来学习
测量误差
♫ 怎样用数学表达式描述误差？ ♫ 测量值的表达式如何书写？ ♫ 如何判断粗大误差？
P(av<b)= 1 be2va22dv
2 a
误差区间通常表示成σ的倍数, 如tσ
置信概率
P aP ( t v t )
1 2
te2 v 22dv
t
t——置信系数； ±tσ——误差范围
几个典型的 t 值及其相应的概率
t 0.6745
1
1.96
2 2.58 3
4
Pa 0.5 0.6827 0.95 0.9545 0.99 0.9973 0.99994
0.0064
9
237.6
0.08
0.0064
10
237.4
-0.12
0.014
x237.52 vi 0 vi2 0.816
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标准差估计值 算术平均值标准差
s
vi2 n1
0.8160.30 101
s 0.09
x
n
测量结果为： x = 237.52±0.09 ±σx (Pa=0.6827)
238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，
求：测量结果 。
解：
序号 测量值xi 残余误差vi
1
237.4
-0.12
x xt x
标差估计值
残余误差vi，v
2 i
2
237.2
-0.32
3
237.9
0.38
4
237.1
-0.42
5
237.1
0.58
6
237.5
-0.02
7
237.4
n 2 3 4 5 6 7 8 20 ∞
n/(n-1)
x / s 1.25 1.13 1.09 1.06 1.05 1.04 1.03 1.01 1.00
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残余误差v的概率密度
随机误差在(-∞, +∞) 出现的概率
随机误差在任意区间 出现的概率
yf(v) 1 e2v22
2
ydv10% 01
比较：
x = 237.52±0.27 ± 3σx (Pa=0.9973)
n
n
(xi L)2
i2
i1
n
i1 n
s
n
(xi x)2
i1
n1
n
v2 i
i1
n1
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系统误差的处理
systematic error
1. 从误差根源上消除系统误差
系统误差是在一定的测量条件下，测量值中 含有固定不变或按一定规律变化的误差。
238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，
求：测量结果 。
解：
序号 测量值xi
1
237.4
x xt x
标差估计值
残余误差vi，v i2
2
237.2
3
237.9
4
237.1
5
237.1
6
237.5
7
237.4
8
237.6
9
237.6
10
237.4
x237.52
24
例 有一组测量值237.4、237.2、237.9、237.1、
⑴ 绝对误差：绝对误差可用下式定义:
Δ= x-L
式中：Δ—— 绝对误差; x —— 测量值; L—— 真实值。
⑵ 相对误差：相对误差的定义:
δ=
L
×100
%
式中: δ—— 相对误差，一般用百分数给出
7
⑶ 引用误差：相对仪表满量程的一种误差
引用误差= —测—量—范—围—上绝—限对—-误测—差量—范—围—下—限—×100%
3
测量方法 measuring method
实现被测量与标准量比较得出比值的方 法件，、称测为量测仪直的量表接结方 、测果量法 被。 测通 量过 的测 变量 化方 进法行、分测类量。条
测量条件
直接测量、 间接测量与组合测量 等精度测量与不等精度测量 偏差式测量、零位式测量与微差式测量 静态测量与动态测量
对重复测得的一组测量值进行数据处理之前，首 先应将具有粗大误差的可疑数据找出来加以剔除。
1. 3σ准则 拉依达准则
3σ准则：如果一组测量数据中某个测量值的残 余误差的绝对值 |vi|>3σ时，则该测 量值为可疑值（坏值），应剔除。
通常把等于3σ的误差称为极限误差
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粗大误差的存在判定准则
2. 肖维勒准则
马利科夫判据:将残余误差前后各半分两组，
若“Σvi前”与“Σvi后”之差明显不为
零，则可能含有线性系统误差。
阿贝检验法则:检查残余误差是否偏离正态分 布，若偏离，则可能存在变化的系统误 差。
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3. 系统误差的消除
（1）在测量结果中进行修正：对于已知的 系统误差， 可以用修正值对测量结果 进行修正；对于变值系统误差，设法 找出误差的变化规律，用修正公式或 修正曲线对测量结果进行修正；对未 知系统误差, 则按随机误差进行处理。
均方根偏差估计值σs作为总体标准差σ 的估计值, 但不是σ的无偏估计, 而样本 方差σs2才是总体方差σ2的无偏估计 。
算术平均值
均方根偏差σ 标准偏差
1
1n
xn(x1x2xn)ni1xi
n
n
(xi L)2
2 i
limi1
limi1
n
n
n n
算术平均值是反映随机误差的分布中心 均方根偏差则反映随机误差的分散程度
测量者疏忽大意或环境条件的突然 变化会引起这类误差。对于粗大误差，应
设法判断是否存在，然后将其剔除。
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1.2 测量数据的估计和处理 estimation
测量数据中含有系统误差和随机误差，有 时还会含有粗大误差。它们的性质不同， 对测量结果的影响及处理方法也不同。
对于不同情况的测量数据，首先要加以分 析研究、判断情况、分别处理，再经综合 整理以得出合乎科学性的结果。
α=1-Pa
随机误差 在 ±tσ 范 围 内 出现的概率为 Pa ， 超 出 的 概 率称为显著度。 用α表示。
-tσ 0 +t σ
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今日要点
➢ 测量概论
基本概念、误差
➢测量数据的估计和处理
随机误差 系统误差 粗大误差
计算方法
算术平均值的均方根偏差 测量结果的表示方法
➢误差的计算方法
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例 有一组测量值237.4、237.2、237.9、237.1、
-0.12
v
2 i
0.014
x xt x
标差估计值
残余误差vi，v
2 i
2
237.2
-0.32
0.10
3
237.9
0.38
0.14
标准差估计值 4
237.1
-0.42
0.18
5
237.1
0.58
0.34
算术平均值标准差 6
237.5
-0.02
7
237.4
-0.12
0.00 0.014
8
237.6
0.08
（2）仔细检查仪表，正确调整和安装； （3）防止外界干扰影响。
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3. 系统误差的消除
（4）在测量系统中采用补偿措施找出系 统误差的规律，在测量过程中自动 消除系统误差。
（5）实时反馈修正：应用自动化测量技 术实时反馈修正的办法来消除复杂 的变化系统误差。
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粗大误差的存在及判定准则 parasitic error
2．正态分布的随机误差的数学特征
均方根偏差 标准差
n
n
(xi L)2
2 i
limi1
limi1
n
n
n n
均方根偏差则反映随机误差的分散程度
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实际测量时，由于真值L是无法确切知道的， 用测量值的算术平均值代替，各测量值与算术平 均值差值称为残余误差，即
残余误差 vi xi x
用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏
（2）残余误差观察法：这种方法是根据测量值 的残余误差的大小和符号的变化规律，直 接由误差数据或误差曲线图形判断有无变 化的系统误差。
29
图中把残余误差按测量值先后顺序排列
图（a）
残余误差排列后有 递减的变值系统误差
图（b）
可能有周期性系统误差
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（3）准则检查法：已有多种准则供人们检验测 量数据中是否含有系统误差。不过这些准 则都有一定的适用范围。
分布密度函数
正态分布曲线
xn 1(x1x2xn)n 1i n1xi
xLxx
yf()
1
2
e22
2
其中：
y —— 概率密度;
δ —— 随机误差（随机变量） x—— 被测量的算术平均值
σ —— 均方根偏差（标准偏差） 正态总体的平均值
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算术平均值是测量值中最可信赖的，可以作 为等精度多次测量的结果，反映随机误差的分 布中心。
|vi|>Zcσ时该测量值为可疑值, Zc与测量次数 n有关。
n 5 6 7 8 9 10 12 14 Zc 1.65 1.73 1.80 1.86 1.92 1.96 2.03 2.10
实际应用中Zc< 3，弥补了3σ的不足
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粗大误差的存在判定准则
3. 格莱布斯准则
|vi|>Gσ时该测量值为可疑值。G值与测量 次数n、置信概率Pa有关。
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算术平均值的均方根偏差
通常在有限次测量时，算术平均值不可能等于被 测量的真值L，它也是随机变动的。
设对被测量进行m组的“多次测量”，各组所得 的算术平均值也有一定的分散性，也是随机变量。
算术平均值的精度可由 算术平均值的均方根偏 差来评定。
s
x
n
在有限次7.6
0.08
9
237.6
0.08
10
237.4
-0.12
x237.52 vi 0
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例 有一组测量值237.4、237.2、237.9、237.1、
238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，
求：测量结果 。
解：
序号 测量值xi 残余误差vi
1
237.4