初中数学中点模型的构造与应用
一线三等角中点相似模型证明
一线三等角中点相似模型证明在初中数学学习中，一线三等角中点相似模型是一个重要的知识点。
它不仅是数学学科中的基础概念，也是日常生活中的实用知识型模型。
一线三等角中点相似模型包含了三个关键要素，即一线、三等角和中点相似。
其中，一线指在一个三角形中连接两个角的线段，三等角指三角形中三个角的度数相等，中点相似则是指两个图形中对应线段的长度相等。
理解这个模型需要我们首先了解一些基础概念。
在三角形中，连接一个角的两边的线段称为这个角的平分线，平分线的中点称为这个角的顶点角平分线中点。
而三角形中线则是一条连接两个角的中点的线段。
在一个三角形中，三个顶点连成一条线段即为三角形的一条边。
有了这些基础概念之后，我们可以开始理解一线三等角中点相似模型的证明过程。
在证明这个模型时，我们需要使用到的基本公式是：在一个三角形中，连接一个角的两边的长度的比等于另外一个角的两边的长度的比，那么这个角的平分线上任意一点到两边的距离之比等于这两边的长度之比。
首先，证明一线三等角中点相似模型的前提是三角形ABC和DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
我们需要构造中线DG与CB、EH与AC的交点K，LK为EF的平行线，并证明LK=AB/BG=AC/CH。
我们先考虑LK=AB/BG的证明。
因为LK∥EF，我们可以通过小学奥数中的对应角相等的定理，得出∠LBL～∠ABC，∠LKF～∠ACB。
由于LK是EF的平行线，所以LK=EF×BL/AC=AB/BG，得证。
接下来，我们需要证明LK=AC/CH。
由于AC是三角形ABC的中线，所以AC=2CH。
而LK=EF×BL/AC，因为∠LBL～∠ABC，所以BL=AC/AB。
代入LK中得LK=EF/AB×AC/CH=AC/CH，得证。
综上可知，LK=AB/BG=AC/CH，所以三角形ABC与DEF是相似的。
由于ABC与DEF相似，因此它们的相应线段比例相等。
因为CB与EF平行且有相同比例，在DG与EH交于K的情况下，由于ABC与DEF相似，所以三角形ABE与CDG也相似。
线段和角的模型-初中数学常见的模型方法专题
根据前面的结果解答即可．
【详解】解： 分别是 的中点，
分别是 的中点
又
∵ ，
∴ 在点 的右边，
如图示：
分别是 的中点，
又
只要满足点 在线段 所在直线上，点 分别是 的中点．那么 就等于 的一半
【点睛】本题主要是线段中点的运用，熟悉相关性质是解题的关键．
【点睛】考查了两点间的距离，利用了等分点等分线段的性质，线段的和差．
变式8
9.如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据图示知AM＝ AC，AC＝AB﹣BC；
①图中的点D，P，C，E都是动点；
②AD BE；
③AB=2DE；
④当AC=BC时，点P与点C重合．
其中正确的是____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】①由题意可知随着C的运动，D、P、E都在动，故正确；
②可以推得当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，AC<BC，故错误；
（2）由2平分两个点组成的线段，得到左边的点为2－距离的一半，从而可求得答案；
（3）设点C表示的数为x，分三种情况讨论：①点C在A的左侧，②点C在A和B之间，③点C在B的右侧．
（4）先求出每两条相邻折痕的距离，进一步得到最左端的折痕和最右端的折痕与数轴的交点表示的数，即可求得答案．
【详解】解：（1）（﹣1+5）÷2=4÷2=2．
③由题意及中点的性质可知正确；
几何综合-中点模型
1.2.1.2.中点模型学习目标：“几何综合”是一道集高难度初中数学平面几何知识为一体的综合性试题，在初中数学中处于核心地位，常出现在压轴题目中，本部分内容主要以中点模型为载体，发掘同类型题目解题方法，综合解决中点类问题 ，因此务必重视．本部分具体目标如下：能够识别中点的各类模型能运用中点模型解决相关问题如图，在中，是斜边的中线，是中位线，试证明．如图，已知矩形，延长至，使，为的中点，求证：．RtΔABC CD AB MN CD =MN ABCD CB E CE =AC F AE BF ⊥DF一二1.2.线段中点作为几何问题中常见的已知条件，遇到中点应如何合理添加辅助线呢？基础知识- 知识梳理 -一个中点：（1）普通三角形考虑倍长中线；（2）直角三角形考虑斜边中线；（3）等腰三角形考虑三线合一．两个及以上中点：考虑三角形中位线．题目中隐含的中点：（1）等腰三角形隐含条件：构造底边中点；（2）直角三角形隐含条件：构造斜边上中点；（3）平行四边形中隐含条件：平行、中点；（4）菱形中隐含条件：平行、中点、角分线、垂直；（5）矩形中隐含条件：平行、中点、垂直；（6）正方形中隐含条件：平行、中点、角分线、垂直．倍长中线- 知识梳理 -倍长中线（任意三角形）“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线常用于构造全等三角形．1.- 典型例题 -【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到，依据是__________；． ． ． ．（2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________________．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．【初步运用】如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长．【灵活运用】如图③，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．试猜想线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．ΔABC AB =12AC =6BC AD AD E DE =AD BE ΔADC ≌ΔEDB A SAS B SSS C AAS D HLAD AD ΔABC BE AC E AD F AE =EF EF =4EC =3BF ΔABC ∠A =90∘D BC DE ⊥DF DE AB E DF AC F EF BE CF EF2.在中，，为线段上一点，，为射线上一点，且，连接．（1）如图，若，，请补全图形并求的长；（2）如图，若，连接并延长，交于点，小明通过观察、实验提出猜想：．小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法：过作交的延长线于点，先证出，再证出是等腰三角形即可；想法：过作交于点，先证出，再证点为线段的中点即可．请你参考上面的想法，帮助小明证明．（一种方法即可）ΔABC AB =AC D BC DB =DA E AD AE =CD BE 1∠B =30∘AC =3–√DE 2BE =2CD CE AB F CE =2EF 1A AM //BC CF M ΔABE ≌ΔCAD ΔAEM 2D DN //AB CE N ΔABE ≌ΔCAD N CE CE =2EF1. - 随堂练习 -在中，点关于的对称点为，连接，，交于点．（1）如图，，求证：为的中点；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图，在点绕点旋转的过程中，点始终为的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法：过点作交于点，只需证三角形全等；想法：连接交于点，只需证为的中点；想法：连接，，只需证；请你参考上面的想法，证明为的中点．（一种方法即可）（3）如图，当时，，的延长线相交于点，求的值．▱ABCD B AD B ′AB ′CB ′CB ′AD F 1∠ABC =90∘F CB ′2B A F CB ′1B ′G //CD B ′AD G 2BB ′AD H H BB ′3BB ′BF ∠BC =B ′90∘⋯F CB ′3∠ABC =135∘AB ′CD E CE AF2.我们定义：在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称叫的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”．下面各图中，均是的“旋补三角形”， 均是的“旋补中线”．（1）如图，若为等边三角形，，则的长等于__________；（2）如图，若，求证：；（3）如图，若为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．ΔABC AB A α(<α<)0∘180∘AB ′AC A βAC ′B ′C ′α+β=180∘ΔAB ′C ′ΔABC ΔAB ′C ′B ′C ′AD ΔABC ΔAB ′C ′ΔABC AD ΔABC 1ΔABC BC =8AD 2∠BAC =90∘AD =BC 123ΔABC3.如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．（1）求证：；（2）延长交于点，求证：为的中点；（3）在（2）的条件下，若的边长为，直接写出的最大值．- 解题密码 -如果题目出现平行线中点，或已知三角形一边的中点求线段关系问题，可以考虑运用“倍长中线”解决相关问题．ΔABC P AC P A C BP A BP D AD A 60∘AE DE CE BD =CE ED BC F F BC ΔABC 1EF +三1.三线合一- 知识梳理 -三线合一（等腰三角形）在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合．- 典型例题 -如图，等边，其边长为，是中点，点，分别位于，边上，且．（1）直接写出与的数量关系；（2）若，，能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：的长是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由．ΔABC 1D BC E F AB AC ∠EDF =120∘DE DF BE DE CF AE +AF2.已知：和重合，，，现将绕点按逆时针方向旋转角，设旋转过程中射线和线段相交于点，连接．（1）当时， 过点，如图所示，判断和之间的位置关系，不必证明；（2）当时，在图中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图，对旋转角，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．RtΔB A ′C ′RtΔABC ∠B =∠ACB =A ′C ′90∘∠B =∠BAC =A ′C ′30∘RtΔB A ′C ′B α(⩽α⩽)60∘90∘C C ′AA ′D BD α=60∘B A ′C 1BD A A ′α=90∘23α(<α<)60∘90∘1.- 随堂练习 -如图， 在中，，，点是延长线上一点， 连结． 将绕着点顺时针旋转得到，延长交于．（1） 依据题意补全图；（2） 判断与的位置关系， 说明理由；（3） 连结，求的度数 ．要想求出的度数， 小明经过思考， 得到了以下几种想法：想法：在上取一点，使得，需要先证明，然后再证明是等腰直角三角形；想法：取的中点，连接，，只需要利用圆的性质证明；想法：将绕点逆时针旋转，得到，只需证明是等腰直角三角形 ．请你参考上面的想法， 帮助小明求解 ．（写出一种方法即可）RtΔABC ∠ACB =90∘AC =BC D AC BD ΔBCD C 90∘ΔACE AE BD F 1AE BD CF ∠CFA ∠CFA 1AF G AG =BF ΔAGC ≅ΔBFC ΔCFG 2AB O OC OF ∠CFA =∠ABC 3ΔACF C 90∘ΔBCG ΔFCG2.在正方形和正方形中，顶点，，在同一直线上，是的中点．（1）如图，若，，求的长；（2）如图，连接，．小宇观察图，提出猜想：，．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法：延长交于点，连接，，要证明结论成立只需证是等腰直角三角形；想法：连接，分别交于点，，要证明结论成立只需证；请你参考上面的想法，帮助小宇证明，．（一种方法即可）ABCD DEFG B D F H BF 1AB =1DG =2BH 2AH GH 2AH =GH AH ⊥GH 1AH EF M AG GM ΔGAM 2AC GE BF M N ΔAMH ≌ΔHNG ⋯AH =GH AH ⊥GH3.在中，，，点是边的中点，作射线，与边交于点，射线绕点顺时针旋转，与直线交于点．（1）依题意将图补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点运动的过程中，始终有．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法：由点是边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证；想法：利用等边三角形的对称性，作点关于线段的对称点，由与互补，可得与互补，由等角对等边，可证；想法：由等腰三角形三线合一，可得是的角平分线，由角平分线定理，构造点到，的高，利用全等三角形，可证；请你参考上面的想法，帮助小华证明；（选一种方法即可）（3）在点运动的过程中，直接写出，，之间的数量关系．ΔABC AB =AC ∠A =60∘D BC DE AB E DE D 120∘AC F 1E DE =DF 1D BC DE =DF 2E AD P ∠BAC ∠EDF ∠AED ∠AFD DE =DF 3AD ∠BAC D AB AC DE =DF ⋯DE =DF E BE CF AB四1. - 解题密码 -如果题目出现等腰底边中点，或者是三线中两线重合，可以考等腰三角形“三线合一”性质解决相关问题．斜边中线- 知识梳理 -斜边中线（直角三角形）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半．- 典型例题 -如图，在正方形中，连接，点为边的延长线上一点，点是线段的中点，过点作的垂线交于点，连接，．（1）根据题意补全图形，猜想与的数量关系并证明；（2）连接，判断，之间的数量关系并证明．+ABCD BD E CB F AE F AE BD M ME MC ∠MEC ∠MCE FB FB FM1. - 随堂练习 -在内侧作射线，自，分别向射线引垂线，垂足分别为，，为边中点，连接，．（1）依题意补全图；（2）求证：；（3）如图，若射线平分，且，求证：． - 解题密码 -如果题目出现直角斜边中点，则考虑直角三角形“斜边中线”解决相关问题．ΔABC AP B C AP D E M BC MD ME 1MD =ME 2AP ∠BAC AC >AB MD =(AC −AB )12+五1.中位线- 知识梳理 -中位线（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行且相等于第三边的一半．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．- 典型例题 -如图，在中，，是边上的高，点关于直线的对称点为点，连接．（1）①依题意补全图形；②若，求的大小（用含的式子表示）；（2）若，点是中点，连接，，求的长．ΔABC AB =AC >BC BD AC C BD E BE ∠BAC =α∠DBE αDE =2AE F BE AF BD =4AF2.1.如图，等边中，是上一点，过点作于点，作于点，是的中点，连接，．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段，与的数量关系，并加以证明；（3）求证：．- 随堂练习 -在中，，，为的中点，点为延长线上一点，连接，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．ΔABC P AB P PD ⊥AC D PE ⊥BC E M AB ME MD BE AD AB MD =ME ΔABC ∠ACB =90∘AC =BC D AB E AC DE D DF ⊥DE CB F BF =CE CE =AC DF AB2.在正方形中，点是射线上一个动点，连接，，点，分别为，的中点，连接交于点．（1）如图，当点与点重合时，的形状是____________________；（2）当点在线段的延长线上时，如图．①依题意补全图；②判断的形状并加以证明；（3）点于点关于直线对称，且点在线段上，连接，若点恰好在直线上，正方形的边长为，请写出求此时长的思路（可以不写出计算结果）．ABCD P CB PA PD M N BC AP MN PD Q 1P B ΔQPM P CB 22ΔQPM P ′P AB P ′BC AP ′Q AP ′ABCD 2BP3.在正方形中，点在射线上，连结，，，分别为，中点，连结交于点．（1）如图，当点与点重合时，求的度数；（2）当点在线段的延长线上时．①依题意补全图；②小聪通过观察、实验、提出猜想：在点运动过程中，始终有．小聪把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法：延长到点，使．要证，只需证；想法：取中点，连结，．要证只需证四边形是平行四边形；想 法：过作交于点，要证，只要证明；请你参考上面的想法，帮助小聪证明．（一种方法即可）- 解题密码 -如果题目中出现中位线，没有三角形，则考虑构造中位线所在的三角形；如果题目中有三角形和多个中点，则连接中点构造中位线；如果题目中有一个中点，可尝试取另外一边的中点来构造中位线．ABCD P AB PC PD M N AB PC MN PD Q 1P B ∠QMB P AB 2P QP =QM 1BA E AE =PB QP =QM ΔPDA ≌ΔECB 2PD E NE EA QP =QM NEAM 3N NE //CB PB E QP =QM ΔNEM ∽ΔDAP ⋯QP =QM1.在矩形中，将对角线绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接，．（1）若点在的延长线上，如图．①依题意补全图；②判断与的位置关系并加以证明；（2）若点在线段的下方，如果，，，请写出求长的思路．（可以不写出计算结果）ABCD CA C CE AE AE F BF DF E CB 11BF DF E BC ∠ACE =90∘∠ACB =28∘AC =6BF2.如图，正方形中，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，交对角线于点，连接．（1）根据题意补全图形；（2）判定与的位置关系并证明；（3）当，时，求线段的长．ABCD E BC AE AE A 90∘AF EF BD G AG AG EF AB =3BE =2BG3.（1）如图，在和中，，过，，三点可以作一个圆，此时为圆的直径，的中点为圆心．因为，利用圆的定义可知点也在此圆上，若连接，当时，利用圆的知识可知__________度；（2）如图，在中，，，于，点是中点，连接并延长交于点．于点，连接．①求证：；②借助（1）中求角的方法，写出求长的思路．（可以不写出计算的结果）1ΔACB ΔADB ∠C =∠D =90∘A B C AB AB O ∠D =90∘D DC ∠CAB =31∘∠CDB =2ΔACB ∠ACB =90∘AC =BC =3CE ⊥AB E F CE AF BC D CG ⊥AD G EG BD =2DC EG4.如图，四边形是正方形，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，为的中点，连接，．（1）如图，当时，请直接写出与的关系（不用证明）；（2）如图，当时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）当时，若，请直接写出点经过的路径长．简要复述中点模型的几类解题方法．ABCD AC ΔABC A αΔAEF CF O CF OE OD 1α=45∘OE OD 2<α<45∘90∘α=360∘AB =42–√O1.2.如图，在中，，，垂足为，是延长线上一点，连接．设是线段上一点，，是外一点，，连接并延长交于点，且是线段的中点．求证：．已知：如图，中，，为中点，，分别交于，交于，且．（1）如果，求证：；（2）如图，如果，（1）中结论还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．ΔABM ∠ABM =45∘AM ⊥BM M C BM AC D AM MD =MC E ΔABC EC =AC ED BC F F BC ∠BDF =∠CEF 1R t ΔABC ∠ACB =90∘D AB DE DF AC E BC F DE ⊥DF CA =CB A +B =E E 2F 2F 22CA <CB A +B =E E 2F 2F 23.已知中，是的平分线，且，过点作的垂线，交的延长线于点．（1）如图，若．①直接写出和的度数；②若，求和的长；（2）如图，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．ΔABC AD ∠BAC AD =AB C AD AD H 1∠BAC =60∘∠B ∠ACB AB =2AC AH 2AH AB +AC4.在中，，于点．（1）如图，当时，若平分，交于点，交于点．①求证：是等腰三角形；②求证：；（2）点在边上，连接．若，在图中补全图形，判断与之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解与关系的思路．ΔABC AB =BC BD ⊥AC D 1∠ABC =90∘CE ∠ACB AB E BD F ΔBEF BD =(BC +BF )12E AB CE BD =(BC +BE )122∠ACE ∠ABC ∠ACE ∠ABC。
初中数学常见模型之中点四大模型
巩固练习
1.（1）如图①，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分，过点 A 作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、 E，连接DE。求证：DE∥BC，
（2）如图②，BD、CE 分别是△ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？
（3） 如图③，BD 是△ABC 的内角平分，CE 是△ABC 的外角平分，其它条件不变。DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想BD 中，AB 与CD 相交于点O，AB=CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接 EF 分别交DC、AB 于点M、N，判断△OMN 的形 状，请直接写出结论；
问题二：如图②，在△ABC 中，AC>AB，点D 在AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点 G，若 ∠EFC=60°，连 接GD，判断△AGD 的形状并证明。
3.问题 1：如图①，△ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F， AE、BF 交于点M，连接DE、DF。若 DE =kDF ，则k 的值为 ；
问 题 2 ： 如 图 ② ， △ ABC 中 ， CB=CA ， 点 D 是 AB 边 的 中 点 ， 点 M 在 △ ABC 内 部 ， 且 ∠MAC=∠MBC。过点 M 分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接DE、DF。若 DE=DF；
模型实例
例 1:如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE
并延长 AC 于点F，AF=EF。求证：AC=BE
巩固练习
1.如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围
2.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM⊥DN，如果 求证：
【中考专题】中点模型（通关篇）—三种方法
【中考专题】中点模型（通关篇）—三种⽅法以微课堂⾼中版奥数国家级教练与四位⾼中特级教师联⼿打造，⾼中精品微课堂。
35篇原创内容公众号线段中点是⼏何部分⼀个⾮常重要的概念，和后⾯学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在⼏何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三⾓形三线合⼀；直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平⾏线间夹中点，延长中线交平⾏的应⽤。
建⽴模型模型⼀倍长中线如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种⽅法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进⽽得到AC=BE且AC//BE.模型⼆平⾏线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.平⾏线间夹中点.处理这种情况的⼀般⽅法是：延长过中点的线段和平⾏线我们把这种情况叫做平⾏线间夹中点相交.即“延长中线交平⾏”此时，易证△BEF≌△CED模型三中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另⼀边AC的中点，构造三⾓形中位线.如下图所⽰：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型运⽤例1、如图，在平⾏四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.分析：本题的证明⽅法有很多，⽐如利⽤“双平等腰”模型等（前⽂已对这种做法做过讲解，不再赘述.链接：课本例题引出的基本图形——双平等腰模型），这⾥主要讲⼀下平⾏线间夹中点的做法.根据平⾏四边形的性质可知，AB//CD，⼜点E是BC中点，构成了平⾏线间夹中点.当题中出现这些条件时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就⼀定会得到全等三⾓形，进⽽得到我们需要的结果.证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.∵四边形ABCD是平⾏四边形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE⼜∵点E是BC中点∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD, ⼜∵AD=2CD∴AD=DF,⼜因为点E是AF的中点∴DE⊥AF即∠AED=90°.反思：对于本题，还可以延长AE⾄点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE≌△FCE得到AB//CF,利⽤经过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF 是等腰三⾓形，利⽤等腰三⾓形三线合⼀得到结论.对于第⼆种⽅法，同学们可以⾃⼰尝试.例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上⼀点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满⾜平⾏线间夹中点，所以可将DG延长与BF 相交.证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是正⽅形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直⾓三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°∴△DAH是等腰直⾓三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG=DG且AG⊥DG.反思：若将正⽅形绕点C旋转任意⾓度，在旋转的过程中，上述结论还成⽴吗？试试看动画链接：/svg.html#posts/16428（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）(2)AG⊥DG，AG=√3DG如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是菱形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等边三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60°∴△DAH是等边三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30°∴AG=√3DG动画链接：/svg.html#posts/16429（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2)证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形CDEF是菱形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BE的中点，∴BG=EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2，∴∠ABC=∠ACD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∴∠BAC=∠HAD=α；∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2，∴tan∠DAG=tan(α/2)，∴DG=AGtan（α/2）．动画链接：/svg.html#posts/16430（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）反思：在本题的证明中，我们结合题⽬中给出的平⾏线间夹中点这⼀条件，将DG进⾏延长和BC相交，通过全等使问题得证.对于本题我们也可以采⽤倍长中线法进⾏证明.下⾯⽤倍长中线法对第⼀种情况加以证明.证明：如图，延长AG⾄点H，使GH=AG.连接EH，AD，DH.在△ABG和△HEG中BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG∴△ABG≌△HEG∴AB=HE，∠ABG=∠HEG∵AB=AC∴AC=HE∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45°⼜∠ACD=180°-45°-90°=45°∴∠ACD=∠HED在△ACD和△HED中AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE∴△ACD≌△HEDDA=DH，∠ADC=∠HDE∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC即∠ADH=∠CDE=90°所以△ADH是等腰直⾓三⾓形⼜因为点G是AH的中点所以DG=AG，DG⊥AG.上⾯我们⽤倍长中线证明了第⼀种情况，请你对第⼆三问加以证明.反思：在本题的证明过程中，容易犯的⼀个错误是，许多同学看到HE经过点C，就说∠HED=45°.⽽这⼀结论是需要证明的.⼩试⾝⼿如图1，在正⽅形ABCD的边AB上任取⼀点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所⽰，则线段EG和CG⼜有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.（3）将△BEF绕点B旋转⼀个任意⾓度α，如图4所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.前两问较简单，请同学们⾃⾏完成，这⾥只给出第三问的⼏种解法，仅供⼤家参考.解法⼀：如图，延长EG⾄点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHDEF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：因为EB⊥EF，⽽EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.⼜∠BMK=∠CMD.根据三⾓形的内⾓和，可得∠KBM=∠MDC.所以∠EBC=∠HDC.⼜EB=HD，BC=DC所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直⾓三⾓形，⼜因为点G是斜边EB的中点，所以CG⊥GE且CG=GE.⽹址链接：/svg.html#posts/16284（选中并打开⽹址看动态图）解法⼆：如图，延长CG⾄点N，是GN=CG.连接FN，EN，EC.以下过程可参照解法⼀⾃⾏完成解法三：延长FE⾄点P使得EP=EF，连接BP；延长DC⾄点Q，使得CQ=CD，连接BQ.连接FQ，DP。
第八章 中点四大模型(初中数学)
2图图1构造全等倍长类中线倍长中线EA F BD C D B A C DBA C F ED C BA FD BA C E 第八章 中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE=AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）。
如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE=FD ，易证：△FDB ≌△FDC （SAS ）。
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。
模型实例例1．如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接 BE 并延长AC 于点F ，AF=EF 。
求证：AC=BE 。
D BA C N M DBAC热搜精练1．如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围。
2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果2222BM CN DM DN +=+。
求证：()22214AD AB AC =+。
NM BA C 连接中线D AB CF D B A C E 模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线 合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三 角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。
模型实例例1．如图，在△ABC 中，AB=AC-5，BC=6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ， 求MN 的长度。
热搜精练1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE=AF 。
求证：∠EDB=∠FDC 。
图32图1图AEC FDBAE CFDB FDBACE 2．已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，D 为AB 边的中点，∠EDF=90°， ∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F 。
初中数学模型专题1：双中点模型
初中数学几何模型模型1 双中点模型模型展现类型：双中点型模型特点：点C 是线段AB 上任意一点，点的中点分别是线段BC AC P ,P 2,1 点C 是线段AB 延长线上任意一点，点的中点分别是线段BC AC P ,P 2,1 结论：AB p p 2121 双中点和型结论： P 1P 2=12AB证明:∵点P ₁,P ₂分别是线段AC,BC 的中点,∴P 1C =12AC,P 2C =12BC (中点的性质)，∵ P ₁P ₂=P ₁C+P ₂C,∴P 1P 2=12AC +12BC =12AB.双中点差型结论： P 1P 2=12AB证明:∵点P ₁,P ₂分别是线段AC,BC 的中点,∴P 1C =12AC,P 2C =12BC,∵ P ₁P ₂=P ₁C-P ₂C,∴P 1P 2=12AC −12BC =12AB.巧学巧记 简记：“一半，一半又一半”.基础模型怎么用1.找模型共线的三个点组成的三条线段中，已知两条线段的中点时，考虑用“双中点模型”2.用模型中点将线段平分，利用线段的 12倍关系转换，是解决问题的关键例1 如图,A,B,C三点在同一直线上,点P₁,P₂分别为线段AB,BC的中点,(双中点)且AB=6,BC=4,则线段P₁P₂的长为( )(中点组成的线段)A.2B.4C.5D.6思路点拨:已知双中点P₁，P₂，且点B在线段AC上，则用双中点和型即可求解.例2 如图,已知点C是线段AB上一点,AC<BC,点M和N分别是AB和BC的中点,MN=4,BC=10,( 双中点)则线段AB的长为( )(已知双中点产生的新线段长，逆向考虑模型的应用)A.18B.10C.8D.5思路点拨:已知双中点M，N，且点B在线段AC的延长线上，则用双中点差型即可求解.例3 已知线段AB=4，在线段AB所在直线上作线段BC，使得BC=2，若点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，则线段DE的长为( )(双中点)A.1B.2C.1或3D.1或2思路点拨:点C位置不确定，需分两种情况讨论：①点C在线段AB内；②点C在线段AB外.。
初中数学中点模型归纳总结
初中数学中点模型归纳总结中点模型是初中数学中一个重要的概念，常用于几何图形的证明和计算中。
通过对中点模型的归纳总结，可以更好地理解和运用这一概念。
本文将分别从数轴中点、线段中点和三角形中点三个方面进行归纳总结。
一、数轴中点数轴中点是指数轴上离两个点距离相等的点。
在数轴上，如果A、B两个点的坐标分别为a和b，那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = (a + b) / 2通过这个公式，我们可以很方便地求解两个点的中点坐标。
同时，我们还可以推广到三个点的情况：三点中点坐标 = (a + b + c) / 3这个公式也可以以类似的方式计算。
二、线段中点线段中点是指线段上距离两个端点相等的点。
在线段AB上，如果A、B两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)通过这个公式，我们可以计算出线段AB的中点坐标。
同样地，我们还可以推广到三维空间中的情况：三维空间中点坐标 = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3, (z1 + z2 +z3) / 3)这个公式在三维几何场景中也能帮助我们求解线段的中点坐标。
三、三角形中点三角形中点是指连接三角形三个顶点与对边中点的线段所构成的三个线段的交点。
三角形的三个中点分别是三边中点、三角形重心和三角形外心。
下面我们分别来介绍它们的特点和计算方法。
1. 三边中点：连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，分别记为M1、M2、M3。
这三个点构成的线段M1M2、M2M3和M3M1分别平分三角形的三条边，且交于三角形的重心G。
2. 三角形重心：三角形重心是连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，记为G。
三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
3. 三角形外心：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，记为O。
初中数学的中点模型地构造及的应用
中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC ≌∆EDB。
作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED ≌∆CFD。
作用：转移线段和角。
（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。
如下图，在Rt ∆ABC 中，A C B 90∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB ===（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。
在∆ABC 中:（1）AC=BC ；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=BD ，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。
（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。
初中数学八大几何模型归纳
初中数学几何模型总结归纳1.中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交ABCD E ABC DEFEDCBA【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连GABCDEFABCD E【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．图3图2图1ACDEFGDEFGCDEGABBFCBA【解答】（1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝HBEGCFAD（2）延长CG 交AB 于点I ，易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC 错误!未找到引用源。
，且GE ⊥GCF（3）EJ【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF .（1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG .GFE DC BAE H GF EDCBA【解答】（1）证明△ABE ≌△ADF 即可；（2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE . 【解答】取BD 中点可证，如图所示：JA BCDE F GH2.角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交边CD 于F 点，交AD 边于H ，延长BA 到G 点，使AG ＝CF ，连接GF .若BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则GF 的长为_______.HGFEDCBA【解答】延长FE 、AB 交于点I ，易得CE ＝CF ，BA ＝BE ，设CE ＝x ，则BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝，作AJ ⊥BC ，连接AC ，求得GF ＝AC ＝3JIAB CDEFGH3.手拉手模型【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AEDDC EBAOOABEC D 导角核心图形：八字形CBAO【例5】（2014重庆市A 卷）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE ，连接BE ．过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为________．FABCOEDDE CBA【例6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连接BE ，AG ⊥BE于F ，交BC 于点G ，求∠DFG ． GFE DCBAABC【答案】45°【例7】（2014重庆B 卷）如图，在边长为ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH ．若BH ＝8，则FG＝_____________．HGDE CBAFABE G【答案】4.邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCDEB【模型2】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90° 【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CDABCECB【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于F ，则DF 为_____.F ABCEDGG DE【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM ＝1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连结ON ，则ON 的长为__________. OMN DCBA【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为___________. GFEABCDEC【答案】45.半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝12∠BAD ， 点E 在直线BC 上，点F 在直线CD 上 【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系FEDCBA【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ． 【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② ABE ADF AEF S S S ∆∆∆+=；③AH ＝AB ；④2ECF C AB ∆=；⑤BM 2＋DN 2＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由AO ：AH ＝AO ：AB ＝1：可得到△ANM 和△AEF 相似比为1）⑦AMN MNFE S S ∆=四边形；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．H NM FEDCBA【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】BE ＋EF ＝DFFEDCB A【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BEAB C DEF【例11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q .若AQ ＝12，BP ＝3，则PG ＝__________.Q PGD FECBA【解答】连接AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型设AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得BP CE ＝BE CQ ， 3/（22x ）＝22x /（x ＋12），解得x ＝12 设PG ＝y ，由AG 2＋BP 2＝PG 2得32＋(12－3－x )2＝x 2，解得x ＝5【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 交于点G ，连接CG 与BD 交于点H ，若CG ＝1，则S 四边形BCDQ ＝__________．HGFED CB A【解答】346.一线三等角模型【条件】∠EDF ＝∠B ＝∠C ，且DE ＝DF 【结论】△BDE ≌△CFDFEDCBA【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB ＝3，GC ＝4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.GA B CDEF【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH ≌△FGI 则BC ＝BF ＋CF ＝HF －BH ＋FI －CI ＝GI －BH ＋HE －CI ＝733IH F ED C B A G7.弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形LK JIHGFECDB AHG FEDCBA【例14】如图，点E 为正方形ABCD 边AB 上一点，点F 在DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与FD 交于点G ，∠F AB 的平分线交FG 于点H ，过点D 作HA 的垂线交HA 的延长线于点I .若AH ＝3AI ，FH ＝22，则DG ＝__________．I H AGFEDCB【解答】1742【例15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连接BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．FE CGDBABC【解答】过点C 作CH ⊥AC 交AG 的延长线于点H ，易证8.最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马Q2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．【解答】3500600 ，点线为最短．【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE ＝DF，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为______________________．【解答】如图，取AB 中点P ，连接PH 、PD ，易证PH ≥PD -PH 即DH ≥15-．【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝24，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△EF B '，连接B D '，B D '最短为________________．【解答】4【例19】如图1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ．（1）若BE ＝2EC ，AB ＝13，求AD 的长；（2）求证：EG ＝BG ＋FC ；（3）如图2，若AF ＝25，EF ＝2，点M 是线段AG 上一动点，连接ME ，将△GME 沿ME 翻折到△ME G '，连接G D '，试求当G D '取得最小值时GM 的长．图1 图2 备用图【解答】（1）3（2）如图所示（3）当DG ′最小时D 、E 、G '三点共线解得43173-=+'=MN N G GMEH【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．【解答】25【练习2】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN21∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想，并给予证明。
初中数学常见辅助线的做法
初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。
是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
初中数学的中点模型地构造及的应用
（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在 ABC中，D 为 BC中点，延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 BE，则有：
ADC≌ EDB。作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问
（五）中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时， 常考虑构造中位线； 或出现一个
中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在 ABC中，D，E分别是 AB、 AC边中点，则有 DE BC ， DE = 1 BC 。 2
三、练习
（一）倍长中线法 1.（ 2014 秋 ?津南区校级期中） 已知：在△ ABC中， AD 是 BC边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE＝ AC，延长 BE交 AC于 F，求证： AF＝ EF．
精彩文案
实用标准文档
5.（ 2017?贵阳 ,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形 ABCD中， AB∥DC，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAD的平分线，试判断 AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法： 延长 AE交 DC的延长线于点 F，易证△ AEB≌△ FEC， 得到 AB＝FC，从而把 AB， AD， DC转化在一个三角形中即可判断． AB、AD、DC之间的等量关系为 ____________； （ 2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD中， AB∥ DC， AF 与 DC 的延长线交于 点 F，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAF的平分线，试探究 AB，AF，CF之间的等量 关系，并证明你的结论． （ 3）问题解决：如图③， AB∥CF， AE 与 BC 交于点 E，BE：EC＝ 2：3，点 D 在 线段 AE 上，且∠ EDF＝∠ BAE，试判断 AB、 DF、CF 之间的数量关系，并证明你 的结论．
数学北师大版九年级上册中点的妙用(中点模型)
学情分析
在本节课学习之前，学生已经学习了中点相关辅助线的知识，可以根据已有的经验和知识去理解和解决有关问题，已经掌握利用辅助线解题的基本技能，能够从观察图像，分析问题中发现一些数学规律，学生具有一定的表达能力和归纳总结的能力，因此在教学活动中教师做好引导作用，指引学生进行合作学习，自主探究继而让学生自己发现中点模型。
本节课整个教学过程以“课前热身—建立模型（一）—应用模型—发现问题—探究问题—建立模型（二）—真题再现—能力提升—课堂小结—课后练习”的思路贯穿，学生活动较多，学生积极性较高，学生对知识的掌握较好生带动组内成员学习，参与度很高，帮助了组内学困生，增强了这部分学生的自信心和表达能力，结合实物投影让学生展示学习成果，注重了学生的个性发展；教师充分尊重学生自主探索，合作交流学习的过程，通过问题的巧妙设计，引导学生探究问题，教师注重“精引”，引导学生“精练”，从而最终让学生达到了掌握中点模型知识的目的。
（3）DC的中点
学生思考继续建立中点模型
学生尝试总结归纳：
平行线间夹中点
延长中线与平行线相交，即“延长中线交平行”
在原由的图象中抽象出验证图形，让学生很好的过度到验证环节
虽然他们讲的不是很完整，但着对于他们运用数学语言进行抽象、概括是有益的，培养他们的数学表达能力.
总结模型用模型，加深对模型的认识和理解
学生再次利用今天学习的模型提升自我，先独立思考辅助线做法。
先找模型，发现题中没有平行线，但有中线DE。
方法1：倍长DF至N，连接BN、CN，构造“8字型相似”
方法二：构造平行线，作DN║BC，交BA延长线与N；
方法三：添平行线，作FM║AB，构造“A字型相似”
1_例说一个“中点三相似”模型的应用
／＿ＤＯＦ＝９０。，从而构造“中点三相似”模型求解，心中 有模型在。２ Ｊ，解题方法也就自然生成了． 简解：如图７，易得／＿ＤＯＦ＝９００，从而构造“中点
数学教育，２０１７（１１）：４７—５０． ［２］ 姜黄飞．心中有模型解法自然来［Ｊ］．数理化
学习：初中版，２０１６（７）：３９—４２． ［浙江省海盐滨海中学（３１４３００）］
三相似”模型，由模型得筹＝Ａ历Ｏ＝了２，得日Ｆ＝÷，所 以ＣＦ＝÷，所以ｔａｎ／ＣＤＦ＝历ＣＦ＝老，故选择Ｂ．
Ｂ
函”：囫。
Ｅ ｃ 口Ｅ Ｃ
图８
图９
・稿・
万方数据
证明：如图５，过ｃ作ＣＦ∥ＤＥ交ＢＤ的延长线于 点Ｆ，则［ＤＣＦ＝／ＣＤＥ＝／＿＿ＡＤＢ，又因为ＡＤ平分
／＿ＢＡＣ，所以／ＢＡＤ＝ＬＤＡＣ，又／＿＿ＡＤＢ＝／＿ＡＣＤ，所 以ＡＡＢＤ—ＡＡＤＣ，ＡＡＢＤ＝ＡＡＤＣ，所以ＡＡＢＤ— ＡＤＦＣ，所以ＡＡＢＤ—ＡＡＤＣ—ＡＤＦＣ，由模型得Ｄ 为ＢＧ中点，所以Ｅ为ＢＣ中点．
ＡＡＢＰ—ＡＥＣＢ，所以ＡＡＢＰ一△ＣＢＰ—ＡＥＣＢ，由 模型得Ｂ为ＡＥ中点，所以ＢＥ＝ＡＢ＝４，所以ＣＤ＝ＡＥ
Ｐ 曰
＋／ＡＣＰ，又厶４＝／ＣＰＤ，所 以／＿ＢＰＤ＝ＡＡＣＰ，所以
ＡＡＣＰ”ＡＢＰＤ，所以筹：彳
历ＣＰ，又Ｐ为ＡＢ中点，所以ＡＰ＝
＝８，从而ＣＤ的长是一个定值，长为８．
图１ 例２
如图４，ＡＡＢＣ中，ＡＤ平分Ａ＿ＢＡＣ，点Ｅ在
分析：由／＿ＢＰＣ＝￡ＢＰＡ，ＢＣ上曰Ｐ，又ＡＢ上ＭＮ，
所以可以构造“中点三相似”模型． 笔者称之为“中点三相似”模型．
二、证明 如图１，因为［ＢＰＣ＝［Ａ
简解：如图３，过ｃ作ＣＥ上ＡＢ交ＡＢ的延长线于点
专题7几何图形—7.11之中点结构-2021年鲁教版(五四制)九年级数学专题复习训练
中点结构【知识点睛】中点是初中数学几何问题中的常见特征．在实际解决问题时，应用与中点有关的定理，也可以看作是中点与其他几何特征进行的组合搭配．1.与中点有关的定理① ① ①等腰+中点 直角+中点 多个中点__________ ________________ 考虑__________2.与中点有关的构造（1）将中点看作是对称中心，构造中心对称图形平行夹中点 见中点，要倍长________________ 考虑________________（2）将中点看作线段间的比值关系，考虑相似或者面积转化；3.其他背景下的中点（1）坐标系中见到中点，考虑中点坐标公式；如图，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）圆背景下的中点，考虑圆中的相关定理；如：①圆中四组量关系定理；②垂径定理；③圆周角定理等；倍长中线（1）【条件】：在矩形ABCD中，BD=BE，DF=EF；【结论】：AF⊥CF；模型思路：存在平行线AD平行BE；平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF；（2）【条件】在平行四边形ABCD中，BC=2AB，AM=DM，CE⊥AB；【结论】∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB①CD，有中点AM=DM，延长EM，构造①AME①①DMF，连接CM构造等腰①EMC，等腰①MCF。
（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）【经典例题1】已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B 重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【解析】（1）AE①BF，QE=QF，理由是：如图1，①Q为AB中点，①AQ=BQ，①BF①CP，AE①CP，①BF①AE，①BFQ=①AEQ，在①BFQ和①AEQ中①①BFQ①①AEQ（AAS），①QE=QF，故答案为：AE①BF，QE=QF．（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，①AE①BF，①①QAD=①FBQ，在①FBQ和①DAQ中①①FBQ①①DAQ（A SA），①QF=QD，①AE①CP，①EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，①QE=QF=QD，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，①AE①BF，①①1=①D，在①AQE和①BQD中，①①AQE①①BQD（AAS），①QE=QD，①BF①CP，①FQ是斜边DE上的中线，①QE=QF．练习1-1已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．【解析】（1）BH⊥HE，BH＝HE；理由如下：延长EH交AB于M，如图1所示：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB∥CD∥EF，AB＝BC，CE＝FE，∠ABC＝90°，∴∠AMH＝∠FEH，∵H是AF的中点，∴AH＝FH，∴△AMH≌△FEH（AAS），∴AM＝FE＝CE，MH＝EH，∴BM＝BE，∵∠ABC＝90°，ME＝HE；∴BH⊥HE，BH＝12（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，EM＝EH；∴BH⊥EH，BH＝12（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，EM＝MH＝EH，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12在Rt△CBE中，BE＝2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，BE＝6√2．∴BH＝√22练习1-2（1）如图1，在线段AB上取一点C（BC＞AC），分别以AC、BC为边在同一侧作等边①ACD与等边①BCE，连结AE、BD，则ACE经过怎样的变换（平移、轴对称、旋转）能得到①DCB？请写出具体的变换过程；（不必写理由）【A】（2）如图2，在线段AB上取一点C（BC＞AC），如果以AC、BC为边在同一侧作正方形ACDG与正方形CBEF，连结EG，取EG的中点M，设DM的延长线交EF于N，并且DG=NE；请探究DM与FM的关系，并加以证明；【B】（3）在图2的基础上，将正方形CBEF绕点C顺时针旋转（如图3），使得A、C、E在同一条直线上，请你继续探究线段MD、MF的关系，并加以证明．【解析】（1）将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；理由如下：①①ACD和①BCE是等边三角形，①AC＝CD，CE＝CA，①ACD＝①BCE＝60°，①①ACE＝①DCB，在①ACE和①DCB中，，①①ACE①①DCB（SAS），①将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；（2）如图，相等且垂直．理由如下：①EF①GD，①①NEM＝①DGM，在①MGD和①MEN中，，①①MGD①①MEN（SAS），①DM＝NM，在Rt①DNF中，FM＝DN＝DM，①NE＝GD，GD＝CD，①NE＝CD，①FN＝FD，即FM①DM，①DM与FM相等且垂直．（3）MD与MF相等且垂直．理由如下：延长DM交CE于N，连接DF、FN，如图所示：根据（2）可以得到①MGD①①MNE，①DM＝NM，NE＝DG，①①DCF＝①FEN＝45°，DC＝DG＝NE，FC＝FE，①在①DCF和①NEF中，，①①DCF①①NEF（SAS），①DF＝FN，①DFC＝①NFE，①①DFN＝90°，即①FDN为等腰直角三角形，①DM＝NM，即FM为斜边DN的中线，①FM＝DM＝NM＝DN，且FM①DN，则FM＝DM，FM①DM．练习1-3如图，已知①BAD和①BCE均为等腰直角三角形，①BAD=①BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；（2）将图1中的①BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：①ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中①BCE 绕点B 旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【解析】（1）证明：如图1，①EN①AD ，①①MAD=①MNE ，①ADM=①NEM ．①点M 为DE 的中点，①DM=EM ．在①ADM 和①NEM 中，①MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①①ADM①①NEM ．①AM=MN ．①M 为AN 的中点．（2）证明：如图2，①①BAD 和①BCE 均为等腰直角三角形， ①AB=AD ，CB=CE ，①CBE=①CEB=45°． ①AD①NE ，①①DAE+①NEA=180°．①①DAE=90°，①①NEA=90°．①①NEC=135°．①A ，B ，E 三点在同一直线上， ①①ABC=180°-①CBE=135°．①①ABC=①NEC ．①①ADM①①NEM （已证），①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．（3）①ACN 仍为等腰直角三角形．证明：如图3，延长AB 交NE 于点F ，①AD①NE ，M 为中点，①易得①ADM①①NEM ，①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．①AD①NE ，①AF①NE ，在四边形BCEF 中，①①ACN=①BFE=90°①①FBC+①FEC=360°-180°=180°①①FBC+①ABC=180°①①ABC=①FEC在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．练习1-4图1，在①ABC中，①ACB=90①，点D、点E分别在AC、AB边上，连结DE、DB，使得①DEA=90①，若点O是线段BD的中点，连结OC、OE，则易得OC=OE；操作：现将①ADE绕A点逆时针旋转得到①AFG(点D. 点E分别与点F. 点G对应)，连结FB，若点O是线段FB的中点，连结OC、OG，探究线段OC、OG 之间的数量关系；(1)如图2，当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，当点G在线段CA上时，线段OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图4，在①ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化?请直接写出结论，不用说明理由.【解析】（1）当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG成立理由：如图2，延长GF，CO相较于点D，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ， （2）当点G 在线段CA 上时，线段OC=OG 是成立，理由：如图3，延长GF ，CO 相较于点D ，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC ，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ， （3）在①ADE 的旋转过程中，线段OC 、OG 之间的数量关系不发生了变化， 理由：如图4，连接CG ，延长GF 交BC 于M ，过点F 作FD①BC ，连接DG ，①①BCO=①FDO ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，BC=DF由题意知，①AFG①①ABC ，①AF/AB=FG/BC ，①AF/AB=FG/DF ，①①ACB=①AGF=90°，①点A ，C ，M ，G 四点共圆，①①CAG=①BMG ，①FD①BC ，①①GFD=①BMG ，①①CAG=①GFD ，①AF/AB=FG/DF ，①①GAC①①GFD ，①①CGD=①ACF=90°，①OC=OD ， ①OG=21CD=OC ． 点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出①BOC①①FOD ，难点是（3）中判断出①CGD=90°．练习1-5已知：点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是__________；（2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当∠OEF=30°时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．【解析】（1）①AE①PB ，CF①BP ，①①AEO=①CFO=90°，在①AEO 和①CFO 中，①AEO=①CFO①AOE=①COFAO=OC ，①①AOE①①COF ，①OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE-AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①EAO=①GCO，在①EOA和①GOC中，①EAO=①GCOAO=OC①AOE=①COG，①①EOA①①GOC，①EO=GO，AE=CG，在Rt①EFG中，①EO=OG，①OE=OF=GO，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=GF，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG+CG，①CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①AEO=①G，在①AOE和①COG中，①AEO=①G①AOE=①GOCAO=OC，①①AOE①①COG，①OE=OG，AE=CG，在Rt①EFG中，①OE=OG，①OE=OF=OG，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=FG，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG-CG，①CF=OE-AE．练习1-6如图1，在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（1）（2）【探究证明】把①ADE 绕点A 逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把①ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出线段AP 长度的最大值和最小值．图1 图2【答案】（1）AP ＝BE ，P A ①BE ；（2）（3）见解析． 【解析】（1）设P A 交BE 于点O ．①AD ＝AE ，AC ＝AB ，①DAC ＝①EAB ，①①DAC ①①EAB ，①BE ＝CD ，①ACD ＝①ABE ，①①DAC ＝90°，DP ＝PC ，①P A ＝CD ＝PC ＝PD ， ①P A ＝BE ，①C ＝①P AE ， ①①CAP +①BAO ＝90°，①①ABO +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ，（2）结论成立．121212理由：延长AP 至M ，使PM ＝P A ，连接MC ，延长P A 交BE 于O ．①P A ＝PM ，PD ＝PC ，①APD ＝①CPM ，①①APD ①①MPC ，①AD ＝CM ，①ADP ＝①MCP ，①AD ①CM ，①①DAC +①ACM ＝180°，①①BAC ＝①EAD ＝90°，①①EAB ＝①ACM ，①AB ＝AC ，AE ＝CM ，①①EAB ①①MCA ，①BE ＝BM ，①CAM ＝①ABE ，①P A ＝AM ，P A ＝BE ， ①①CAM +①BAO ＝90°，①①ABE +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ．（3）①AC ＝10，CM ＝4，①10﹣4≤AM ≤10+4，①6≤AM ≤14，①AM ＝2AP ，①3≤P A ≤7．①P A 的最大值为7，最小值为3．1212练习1如图，在矩形ABCD 中，①BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F .（1）若AB =2，AD =3，求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点，连接BG 和DG ，求证：DG =BG .【解析】（1）EC=CF=1 EF=2（2）连接CG ，易证△CGD ≌△CGB ，∴DG=BG练习小题1.如图所示，在①ABC 中，AD 是①BAC 的平分线，M 是BC 的中点，ME①AD 且交AC 的延长线于E ，CE=21CD ，求证：①ACB=2①B ．【解析】延长EM 交AB 于F ，过B 作BG①EF 交AD 的延长线于K ，交AE 的延长线于G ，设AK ，EF 交于H ，连接DG ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAH=①EAH ，①ME①AD ，①①AHF=①AHE ，在①AFH 与①AEH 中，①FAH=①EAH AH=AH ①AHF=①AHE ，①①AFH①①AEH ，①FH=EH ，①AH 垂直平分EF ，①AK 垂直平分BG ，①AB=AG ，①EF①BG ，BM=CM ， ①CE=21CG ， ①CE=21CD ，①CD=CG ，①①CDG=①CGD ，①①ACB=①CDG+①CGD=2①CGD ，在①ABD 与①AGD 中，AB=AG ①BAD=①GAD AD=AD ，①①ABD①①AGD ，①①ABC=①AGD ，①①ACB=2①B ．点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，90ABD CBE ∠=∠=︒，BA BD =，BC BE =，延长CB 交DE 于F .求证：EF DF =.【解析】3.已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AG HG =.求证：BH AC =.【解析】4.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC ＞2AD ．【解析】证明： 延长AD 到M ，使AD=DM ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∵AD=DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM=AC ，在△ABM 中，AB+BM>AM ，即AB+AC>2AD ．5.如图所示，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE OE =.【解析】法一：连接OD.∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点∴B ，C ，D ，E 四点共圆，且圆心为O∴OD=OE ，∠COD=2∠CBD ，∠BOE=2∠BCE∵∠BAC=120°∴∠CBD+∠BCE=60°∠COD+∠BOE=120°∴∠DOE=60°∴△DOE 是等边三角形∴DE=OE法二：如图，连接OD ，∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点，∴OD=OE=OB=OC ，∴∠CBA=∠BDO ，∠BCA=∠CEO ， 由三角形的外角性质得，∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA ，∠COD=∠CBA+∠BDO=2∠CBA ，∵∠BAC=120°，∴∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°，∴∠DOE=60°，∴△DOE 是等边三角形，∴DE=OE ．6.如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：2BAC BAD ∠=∠.【解析】延长FE ，截取EH=EG ，连接CH①E 是BC 中点，那么BE=CE①BEG=①CEH①①BEG①①CEH(SAS)①①BGE=①H ，那么①BGE=①FGA=①HBG=CH①CF=BG①CH=CF①①F=①H=①FGA①EF①AD①①F=①CAD ，①BAD=①FGA①①CAD=①BAD那么AD 平分①BAC7.如图，在四边形ABCD 中，①ABC =90°，AC =AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2，则BN 的长为____________． 【解析】28.如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，连接CF ，NMDC B A则下列结论：△BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．其中一定正确的是_________．【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD=2∠DCF ，故①正确； ②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，∴△AEF ≌△DMF （ASA ）， AB C DE F∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，∴∠ECF=∠CEF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．9.如图，在①ABC中，点D是BC的中点，若AB=5，AC=13，AD=6，则BC的长为____________．【解析】延长AD 到E ，使DE=AD=6，连接BE ，CE ．①CD=BD ，①四边形ABEC 是平行四边形，①AB①CE ，EB=CA=13；①52+122=132，①①CEA=90°，①①EAB=90°，=．10.如图，在①ABC 中，①ACB =60°，AC =1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分①ABC 的周长，则DE 的长是___________．【解析】23 ECB A11.如图，在四边形ABCD 中，AD ①BC ，①D =90°，AD =4，BC =3，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ．作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A． B ．4 C ．3 D【解析】10F EDC B A O。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)专题39 重要的几何模型之中点模型(二)(解析版)
专题39重要的几何模型之中点模型（二）中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。
本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt ABC△斜边上的中线，则：（1）12AD BCBD DC；（2）ABD△，ACD△为等腰三角形；（3）2ADB C，2ADC B．DCBAMMAB CDAB CD图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）AM MD；（2）2AMD ABD．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）【答案】3【分析】根据直角三角形的性质得到即可求出DE．【详解】解：∵∠ACB=90°，点【答案】252/12.5【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形的面积，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BAM ABM，A．3【答案】A【分析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知度最大，即可求解．BA．BE BC【答案】C【分析】由旋转的性质可得可证BCE是等边三角形，【详解】解：∵将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转一定角度后得到DEC ，∴AC CD ，BC CE ，AB DE ，60BCE ACD ，30ACB DCE ，∴BCE 是等边三角形，∴BE BC ，故A 正确，不符合题意；∵90ABC ，30ACB ，点F 是边AC 的中点，∴60BAC ，AF FC BF ，∴ABF △是等边三角形，∴AB AF BF CF DE ，在ABC 和CFD △中，AC DC BAC FCD AB CF，∴(SAS)ABC CFD ≌，∴BC DF ，90DFC ABC ，30CDF ACB ，故B 正确，不符合题意；∴BE BC DF ，BF DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，故D 正确，不符合题意；∵30GCF DCF DCE ，∴2CG GF ，∵30CDF ACB GCD ，∴2CG DG GF ，故C 不正确，符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，灵活运用各知识点是解题的关键．模型2：中位线模型三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
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中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：ADC≌EDB。
作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：BED≌CFD。
作用：转移线段和角。
（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。
如下图，在Rt ABC中，ACB 90，D为AB中点，则有：1CD AD BD AB2（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。
在中（:1）AC=；（2）CD平分ACB；（3）AD=，（4）CDAB“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。
（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。
如图，在ABC中，D，E分别是AB、AC边中点，则有DE BC，DE=1BC。
2三、练习（一）倍长中线法1.（2014秋?津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．2.（2017?湘潭）如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数3.（2017江西萍乡，15）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：CF＝AD；（2）若CA＝CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．4.（2014?鄂尔多斯）如图1，在?ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．且∠AEC＝2∠ABE．连接BF、AC．（1）求证：四边形ABFC的是矩形；（2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠△ABM，使点B恰好落在线段DF上的点B′处（如图2），AB＝13，AC＝12，求MF的长．5.（2017?贵阳,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为____________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC＝2：3，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．（二）倍长类中线法1.（2016秋?江都区期中）已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．2.（2017?重庆，24）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB 32，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．3.（2017?山西，17）已知：如图，在?ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF．（三）直角三角形斜边中线法1.（2016?乌鲁木齐，9）如上图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把这个直角三角形沿CE折叠后，使点B恰好落到斜边AC的中点O处，若BC＝3，则折痕CE的长为（）A. 3B.2 3C.3 3D.62.（2015?乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）A．（3，1） B.（1，- 3）C.（2 3，2）D.（2，-2 3）3.（2017?新疆，22）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积4.（2017?北京，22）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．5.（2015北京东城，23）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D 作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值（四）等腰三角形三线合一1.（2017?荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l 交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A.30°B.45°C.50°D.75°2.（2017?陕西，9）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P 是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为（）5 3A.5B.2C.5 2D.5 33.（2017?呼和浩特，18）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：BD＝CE；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．（五）中位线法1.（2015?郑州）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝12，BD＝8，CD＝6，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A.14B.18C.20D.222.（2013?乌鲁木齐，15）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．3.（2017?遵义）如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A.4.5B.5C.5.5D.64.（2017?天津，17）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．5.（2014春?硚口区期末）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．（1）求证：MD和NE互相平分；（2）若BD⊥AC，EM＝22，OD＋CD＝7，求△OCB的面积．6.（2017?云南，20）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．7.（2017?长春）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE 1BC（不需要证明）2【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：__________．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为______.8.（2015?巴东县模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H 分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB＝5，则当∠ABC＋∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．4。