高中数学学业水平考试试题(附答案)

高中数学学业水平考试试题
(满分：100 时量：120分钟)
一、选择题：本大题共20小题，每小题2分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1、如果集合{}
1->=x x P ，那么
A ．P ⊆0
B ．{}P ∈0
C ．P ∈∅
D ．{}P ⊆0
2、6
5cos
π的值等于 A ．23 B ．2
3- C ．21 D ．21- 3、数列0，0，0，0…，0，…
A ．是等差数列但不是等比数列
B ．是等比数列但不是等差数列
C ．既是等差数列又是等比数列
D ．既不是等差数列又不是等比数列
4、下列函数中与y=x 是同一个函数的是
A ．2
)(x y = B ．x
x y 2
= C ．33x y = D ．2x y =
5、点（0，5）到直线y=2x 的距离是
A ．25
B ．5
C ．23
D ．2
5
6、直线x+2y+3=0的斜率和在y 轴上的截距分别是 A ．21-
和－3 B ．21和－3 C ．21-和23 D ．21-和2
3-
7、已知下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线平行 ②垂直于同一条直线的两个平面平行
③垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行 ④垂直于同一平面的两条直线平行
其中真命题有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8、若x f x
=)10(，则f （3）等于 A ．lg3 B ．log 310 C ．103 D ．310
9、函数x y -=112
的值域为 A ．{}
0>y y B ．{}10≠>y y y 且
C ．R
D ．{}0≠∈y R y y 且
10、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为 A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90°
11、满足a=4，b=3和A=45°的△ABC 的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个
12、若log 2a+log 2b=6，则a+b 的最小值为 A ．62 B ．6 C ．28 D ．16
13、关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是 A ．0≤a ≤1 B ．a ≤1 C ．a ＜1 D ．a ≤1且a ≠0
14、83)x
12
x (-的展开式中的常数项为
A ．–28
B ．–7
C ．7
D ．28
15、平行于底面的平面截棱锥所得截面的面积与底面面积之比为1:2，则此截面把侧棱分成的两线段的长度比为
A ．1:2
B ．1:2
C ．)12(-:1
D ．1:4
16、点A 分有向线段所成的比为2
1-
，则点B 分有向线段所成的比为
A ．
2
1 B ．
2 C ．1 D ．–1
17、将函数)6
x 2
1cos(y π+=的图象经过怎样的平移，可以得到函数x 2
1cos y =的图象
A ．向左平移
6π个单位 B ．向左平移3
π个单位
C ．向右平移3π个单位
D ．向左平移
12
π个单位 18、若不等式02
<++b ax x 的解为1＜x ＜2，则不等
式ax 2+bx+1＜0的解为 A ．1＜x ＜3
B ．x ＞1或x ＜–
31 C ．–
3
1＜x ＜1 D ．x ＜–1或x ＞3
1 19、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法种数为 A ．144
B ．24
C ．36
D ．120
20、圆心在曲线x 2=2y(x>0)上，并且与抛物线x 2=2y 的准线及y 轴都相切的圆的方程是
A ．04
1y 2x y x 22=---+ B ．01222=+-++y x y x
C ．01222=+--+y x y x
D ．04
1y x 2y x 22=+--+
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上。

21、不等式0129>---x x 的解集为 。

22、球的表面积扩大到原来的2倍，则球的体积扩大到原来的 倍。

23、一个口袋内装有大小相等的2个白球和3个黑球，从中摸出2个球，则摸到2个黑球的概率为 。

24、经过圆42
2
=+y x 上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 中点轨迹的普通
方程为 。

25、变量x ，y 满足约束条件：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≤01y 1y x x y 则2x+y 的最大值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共45分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

26、已知α、β为锐角，且10
10sin ,55sin =β=
α，求α+β的值。

（8分）
27、已知a=(3,4),b=(2,–1)。

求使得（a+xb ）与（a –b ）垂直的实数x 。

（8分）
28、某人存入银行a 元钱，三个月后本利和为b 元钱，若每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），求：
①银行的月利率； ②一年后的本利和。

（6分）
29、已知函数)1a ,0a (x
1x 1log )x (f a
≠>-+= ①求f(x)的定义域；
②判断f(x)的奇偶性，并予以证明； ③求使f(x)>0的x 的取值范围。

（8分）
30、如图，已知矩形ABCD 和矩形CDEF 所在平面互相垂直，AD=DE=1。

①如果AB=2，P 为AB 中点，求点P 到平面CDEF 的距离及二面角D —EC —P 的正切值。

②设AB=a ，问在线段AB 上是否存在点P 使得EP ⊥PC ，并说明理由。

（8分）
31、已知椭圆1y 2
x 22=+及点B （0，–2），过点B 作 直线m 与椭圆交于C 、D 两点。

①试确定直线m 的斜率k 的取值范围。

②若直线m 经过椭圆的左焦点F 1，椭圆的右焦点为F 2。

求△CDF 2的面积。

（7分）
参考答案
一、选择题
二、填空题
21、31021<<x 22、22 23、10
3
24、1422=+y x 25、3 三、解答题
26解：∵α、β为锐角，且10
10
sin ,55sin ==
βα ∴552cos =
α 10
10
3cos =β 1分 ∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ 2分
=
2
2505050506=- 3分 又∵0
1800<+<βα 4分 ∴0
45=+βα 5分 27：
即（3+2x ）+5（4-x ）=0 4分 解得：3
23
=
x 5分 28解：设银行的月利率为r ，则第n 月后本利和为a （1+r ）n 1分
①∵a(1+r)3=b
∴3
1b
r a
= 3分 ②34
412
)()1(a
b a b a r a =⋅=+ 5分
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D B A C B D B A B C B D B C C C C B A D
答：银行的月利率为1r =-34
a
b
6分
29解：①由对数函数的定义域知
011>-+x
x
解得： －1<x<1
故函数f(x)的定义域为（－１，1） 2分 ②x x
x f a
+-=-11log )( 1
)11(
log --+=x x a x
x
a
-+-=11log =－f(x)
所以，函数f(x)是奇函数 4分 ③1log 11log 011log a a a
x
x
x x >-+⇔>-+ 当a>1时，由对数函数的单调性知
111>-+x
x
解得：0<x<1 5分 当0<a<1时，由对数函数的单调性知1110<-+<
x
x
解得：－1<x<0 7分
30解：①过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则PQ=AD=1
∵平面ABCD ⊥平面CDEF ∴PQ ⊥平面CDEF
∴点P 到平面CDEF 的距离为1。

1分 过P 作PR ⊥EC 于R ，连结QR ，则QR ⊥EC
∴∠PRQ 为二面角D —EC —P 的平面角 2分
∵5
5=
QR △PQR 中，PQ ⊥QR ∴tan ∠PRQ=
5=QR
PQ
4分 ②假定线段AB 上存在点P 使得EP ⊥PC 连结PD ，由ED ⊥平面ABCD 知
EP ⊥PC ⇔PD ⊥PC 5分 设∠BCP=θ，则 BP=tan θ AP=cot θ
∵AB=AP+PB
∴tan θ+cot θ=a 6分 ∵tan θ+cot θ ≥2
∴当a ≥2时存在点P 使EP ⊥PC 7分 当0<a<2时不存在点P 使EP ⊥PC 8分 （31）解：
①设直线m 的方程为y=kx －2 1分 代入椭圆方程得：1)2(2
122
=-+kx x 整理得：
068)12(22=+-+kx x k 2分
由△>0，即
0)12(64)8(22>+⨯⨯--k k 3分
得：2
32
>
k 即：2
626-<>
k k 或 5分 ②将左焦点坐标（－1，0）代入y=kx －2得
k=－2 6分 代入椭圆方程，整理得 9x 2+16x+6=0 解得：91081+-=
x 910
82--=x ∴9
10212=
-x x ∴9
10
41212=-⋅=-x x k y y 8分 又∵|F 1F 2|=2 ∴9
1042112212=-⋅=
∆y y F F S CDF 9分。