斐波那契数列的几条性质及其证明

斐波那契数列的几条性质及其证明

斐波那契数列也叫兔子数列，它的前几项是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，递推公式是：n a =1-n a +2-n a ，其中1a =2a =1。

1、斐波那契数列前n 项的和等于第n +2项的值减去1。

即：1a +2a +…+1-n a +n a =2+n a -1

证明：左边=2a +1a +2a +…+1-n a +n a -2a

=（2a +1a ）+2a +…+1-n a +n a -2a

根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：上式 =（3a +2a ）+…+1-n a +n a -2a 以此类推最后得：左边=1+n a +n a -2a =2+n a -2a =2+n a -1。等式得证。

2、斐波那契数列前n 项的平方和等于第n 项和第n +1项的值乘积。 即：21a +22a +……+2n a =n a 1+n a

证明：根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得，

左边=21a +2a （3a -1a ）+3a （4a -2a ）+……+n a （1+n a -1-n a ）

=21a +2a 3a - 1a 2a +3a 4a -2a 3a +……+n a 1+n a -1-n a n a

因为2

1a =1a 2a ，所以合并同类项后得，

左边=n a 1+n a 。等式得证。

3、斐波那契数列前n 项相邻两项乘积之和，当n 是奇数时等于第n +1项的值的平方，当n 是偶数时等于第n 项和第n +2项的值之积。

即：1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a 当n 是奇数时等于21+n a ，当n 是偶数时等于n a 2+n a 。 证明：（1）、当n 是奇数时，1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a =2

1+n a

左边=1a 2a +2a （4a -2a ）+3a 4a +4a （6a -4a ）+……+1-n a （1+n a -1-n a ）+n a 1+n a =1a 2a +2a 4a -2a 2a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+1-n a 1+n a -1-n a 1-n a +n a 1+n a 因为1a 2a =2a 2a ，所以

上式=2a 4a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+1-n a 1+n a -1-n a 1-n a +n a 1+n a =（2a +3a ）4a -4a 4a +（4a +5a ）6a -6a 6a +……-1-n a 1-n a +（1-n a +n a ）1+n a

根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：

上式 =4a 4a -4a 4a +6a 6a -6a 6a +……+1-n a 1-n a -1-n a 1-n a +1+n a 1+n a

=21+n a

等式得证。

（2）、当n 是偶数时，1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a =n a 2+n a

左边=1a 2a +2a （4a -2a ）+3a 4a +4a （6a -4a ）+……+n a （2+n a -n a ）

=1a 2a +2a 4a -2a 2a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+n a 2+n a -n a n a

因为1a 2a =2a 2a ，所以

上式=2a 4a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+n a 2+n a -n a n a

=（2a +3a ）4a -4a 4a +（4a +5a ）6a -6a 6a +……-n a n a +n a 2+n a 根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：

上式 =4a 4a -4a 4a +6a 6a -6a 6a +……-n a n a +n a 2+n a

=n a 2+n a

等式得证。

4、斐波那契数列中的某一项的值的3倍等于这一项两边隔一项的两项的值之和。 即：3n a =2-n a +2+n a 。

证明：根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：

左边=n a +n a +n a =2-n a +1-n a +n a +n a =2-n a +1+n a +n a =2-n a +2+n a 。

等式得证。

二〇二〇年三月十五日