人工智能 第3章 谓词逻辑与归结原理

– 摩根律：～(A∨B) <=> ～A ∧ ～B
～(A ∧B) <=> ～A∨ ～B – 吸收律：A∨(A ∧B) <=> A A ∧(A∨B) <=> A – 同一律： A∨0 <=> A ；A ∧1 <=> A – 零律： A∨1 <=> 1； A ∧0 <=> 0 – 排中律： A∨～A <=> 1 – 矛盾律： A ∧ ～A <=> 0 – 蕴含等值式：A → B <=> ～A∨B –等价等值式：A B <=> ( A → B ) ∧ ( B → A ) – 假言易位式: A → B <=> ～B → ～A – 等价否定等值式： A B <=> ～A ～B – 归谬论： (A → B) ∧ (A → ～B) <=> ～A
• 解： • （1） x(P(f(x))∧Q(x,f(x)))的真值为 => (P(f(2))∧Q(2,f(2)))∨(P(f(3))∧Q(3,f(3))) => (P(3)∧Q(2,3))∨(P(2)∧Q(3,2)) => (1∧1)∨(0∧1) = 1 • （2） xyR(x,y)的真值为 => (R(2,2)∨R(2,3)) ∧ (R(3,3)∨R(3,2)) => (1∧1) = 1
r，是得过数学一等奖。t，是得过物理一等奖。
则有命题公式公式：p ∧ ( r ∨t ) → q。
几个概念
• 命题公式的解释 • 真值表 • 公式的分类
– 若A无成假赋值，则称A为重言式或永真式 – 若A无成真赋值，则称A为矛盾式或永假式 – 若A至少有一个成真赋值，则称A为可满足的
等值式
若等价式A B 是重言式，则称A和B等值，记作A <=> B
例3.5 例3.6
• 归结式
消除互补对，求新子句→得到归结式。 如子句：C1, C2 归结式：C12 = C1’∨ C2’ C1, C2为C12的亲本子句。 注意：C1∧C2 → C12 ， 反之不一定成立。 • 归结式的性质 :归结式是亲本子句的逻辑结论。
归结法证明过程
• 归结方法推理过程步骤：
（永假式）
• 归wenku.baidu.com原理
依赖于一个单一的规则： 如p∨q和~q∨r都为真，则p∨r为真。
基本思想：将待证明逻辑公式的结论，通过等值
公式转换成附加前提，再证明该逻辑公式是不可 满足的。
• 子句 • 建立子句集
合取范式：命题、命题和的与， 如： P∧（P∨Q）∧（～P∨Q） 子句集S：合取范式形式下的子命题（元 素）的集合 例：命题公式：P∧（P∨Q）∧（～P∨Q） 子句集 S：S = {P, P∨Q, ～P∨Q}
归结 推理
命题 逻辑
谓词 逻辑
Herbrand 定理
数理 逻辑
命题逻辑 归结
基本 概念
谓词逻辑 归结原理
Skolem标准形、 子句集
合一和置换、 控制策略
第3章 谓词逻辑与归结原理
• • • • 命题逻辑 谓词逻辑基础 谓词逻辑归结原理 Herbrand定理
命题例子
• 命题：能判断真假（不是既真又假）的陈述句。 简单陈述句描述事实、事物的状态、关系等性质。 例如： 1． 2． 3． 4． 1+1=2 雪是黑色的。 北京是中国的首都。 到冥王星去渡假。
• 等值演算 • 置换规则 • 联结词的优先顺序
范
式
– 简单合取范式 – 简单析取范式 – 合取范式：仅由有限个简单析取式组成的合取式。 – 析取范式：仅由有限个简单合取式组成的析取式。 – 主合取范式 – 主析取范式
• 范式存在定理 • 求合取范式的基本步骤 例3.1 例3.2
命题逻辑的意义
其中： “小王”、“工程师”、“我”、“花”、“8”、
“小丽”、“小华”都是个体词，而“是个工程师”、“是 个自然数”、“去买”、“是朋友”都是谓词。 显然前两个谓词表示的是事物的性质，第三个谓词“去买” 表示的一个动作也表示了主、宾两个个体词的关系，最后一 个谓词“是朋友”表示两个个体词之间的关系。
将陈述句转化成命题公式
如：设“下雨”为p，“骑车上班”为q，， 1．“只要不下雨，我骑自行车上班”。～p 是 q 的充分条件， 因而，可得命题公式： ～p → q 2．“只有不下雨，我才骑自行车上班”。～p 是 q的必要条件， 因而，可得命题公式：q → ～p
1、认真分析蕴含式的前件和后件的关系 2、注意同一命题的各种等价说法
第3章 谓词逻辑与归结原理
• • • • 命题逻辑 谓词逻辑基础 谓词逻辑归结原理 Herbrand定理
谓词逻辑基础
• 一阶谓词逻辑中，简单命题被分解成个体 词和谓词两部分。 • 基本概念
– 个体词：表示主语的词 – 谓词：刻画个体性质或个体之间关系的词 – 量词：表示数量的词
例子
小王是个工程师。 8是个自然数。 我去买花。 小丽和小华是朋友。
命题逻辑的推理规则
• • • • 逻辑结论 推理规则 常用推理定律 证明中常用的推理规则
例3.3
例3.4
命题逻辑的归结法
• 归谬法 例：
命题： A1、A2、A3 和 B
求证： A1 ∧ A2 ∧ A3成立，则B成立，
即：A1 ∧ A2 ∧ A3 → B
反证法：证明A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ ～B 是矛盾式
例如： 1． 快点走吧！ 2． 到那去？ 3． x+y>10
命题公式
• 基本联结词
否定、合取、析取、蕴含、等价
• 命题公式的联结词的组合仍然是命题公式 – 合取式：p与q，记做p ∧ q – 析取式：p或q，记做p ∨ q – 蕴含式：如果p则q，记做p q – 等价式：p当且仅当q，记做p q
量词否定等值式：
～( x ） P（x） <=> （ y ） ～P（y） ～( x ） P（x） <=> （ y ） ～ P（y）
量词分配等值式：
( x ）( P（x）∧ Q（x）) <=> （ x ） P（x） ∧ （ x ） Q（x） ( x ）( P（x）∨ Q（x）) <=> （ x ） P（x） ∨ （ x ） Q（x）
(P → Q) ∧～(～Q → ～P) （2）分别将公式前项化为合取范式：
P → Q ＝ ～P ∨ Q 结论求～后的后项化为合取范式： ～(～Q → ～P)＝ ～(Q∨～P) ＝ ～Q ∧ P 两项合并后化为合取范式： （～P ∨ Q）∧～Q ∧ P （3）则子句集为： { ～P∨Q，～Q，P}
子句集为： { ～P∨Q，～Q，P} （4）对子句集中的子句进行归结可得： • 1. ～P∨Q • 2. ～Q • 3. P • 4. Q， （1，3归结） • 5. ， （2，4归结） 由上可得原公式成立。
推理的一般形式
• 已知：实事一，实事二，… 如果实事一，那么结论一； 如果实事二，那么结论二；… • 得到：结论一，结论二，… • 如果将实事和规则抽象出来，不涉及具体内容， 借助一些符号来表示，推理过程可形式化为： P：某已知实事 P→Q：如果P，则Q 结论：Q
第3章 谓词逻辑与归结原理
经典逻辑： 命题逻辑、谓词逻辑 逻辑 非经典逻辑： 不确定性推理、非单调性推理
• 基本等值式
– 交换律：A ∨B <=> B ∨A A ∧ B <=> B ∧ A – 结合律： (A∨B) ∨ C<=> A∨(B∨C)
(A ∧ B) ∧ C<=> A ∧(B ∧C)
– 分配律： A∨(B ∧ C) <=> (A∨B) ∧(A ∨C) A ∧(B ∨ C) <=> (A ∧B) ∨(A ∧C) –双重否定律： A <=> ~~A –等幂律： A <=> A ∨ A； A <=> A ∧ A
给出事件的命题公式的基本步骤： 符号化、适当联结词 • 1． “如果我进城我就去看你，除非我很累。” 设：p，我进城，q，去看你，r，我很累。 则有命题公式：～r → (p → q)。
• 2．“应届高中生，得过数学或物理竞赛的一等 奖，保送上北京大学。” 设：p，应届高中生，q，保送上北京大学上学，
基本定义
– 个体常量：a,b,c – 个体变量：x,y,z – 个体域：D – 谓词常量：P,Q,R – 谓词变量：P(x),Q(x,y),R(x,b) – n元谓词：P(x1,x2,…,xn) – 一阶谓词 – 任意量词： – 存在量词：
例子
• 例如：（1）所有的人都是要死的。 • （2）有的人活到一百岁以上。 在个体域D为人类集合时，可符号化为： （1）xP(x)，其中P(x)表示x是要死的。 （2）xQ(x), 其中Q(x)表示x活到一百岁以上。 在个体域D是全总个体域时， 引入特殊谓词R(x)表示x是人，可符号化为： （1）x（R(x) → P(x)）, 其中，R(x)表示x是人；P(x)表示x是要死的。 （2）x（R(x) ∧ Q(x)）， 其中，R(x)表示x是人；Q(x)表示x活到一百岁以上。
• 给计算机、智能体建模的过程就是对知识进行描 述，应用知识进行推理得到结论，并将结论用人 能够接受理解的形式显示的过程。 • 知识可以用公式表示为对特征值的约定。 • 知识用特征描述后可以用于推理。 • 命题逻辑有数理逻辑作为坚实的理论支柱，同时 又是谓词逻辑的基础，对于人工智能知识表示与 推理研究有着重要的意义。
1、建立待归结命题公式，根据反证法将所求证的问 题转化为命题公式，求证其是矛盾式 2、求取合取范式 3、建立子句集 4、对子句集中的子句使用归结推理规则 归结式作为新子句参加归结 归结式为空子句□ ，停止 S是不可满足的（矛盾），原命题成立。 • （证明完毕）
命题逻辑归结例题
• 例题3.7：证明公式：(P → Q) → (～Q → ～P) • 证明： （1）根据归结原理，将待证明公式转化成待归结命题 公式：
• 解释是一个集合的概念
解释的例子
• 例3.8，给定解释I如下：
个体域DI=｛2，3｝； 函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2； 谓词P(x)为P(2)=0,P(3)=1； Q(x,y)为Q(i,j)=1,i,j=2,3； R(x,y)为 R(2,2)=R(3,3)=1,R(2,3)=R(3,2)=0。 求（1）在解释I下，x(P(f(x))∧Q(x,f(x)))的真值。 （2）在解释I下， xyR(x,y)的真值。
• 智力题：五个房子，五个人，五种宠物， 五种饮料，五种香烟 • 1、有5栋5种颜色的房子 2、每一位房子的主人国籍都不同 3、这5个人只喝一个牌子的饮料，只抽一 个牌子的香烟，只养一种宠物 4、没有人有相同的宠物，抽相同牌子的香 烟，喝相同的饮料 • 谁养鱼？
• 已知条件：
1、英国人住在红房子里 2、瑞典人养了一条狗 3、丹麦人喝茶 4、绿房子在白房子左边 5、绿房子主人喝咖啡 6、抽PALLMALL烟的人养了一只鸟 7、黄房子主人抽DUNHILL烟 8、住在中间那间房子的人喝牛奶 9、挪威人住在第一间房子 10、抽混合烟的人住在养猫人的旁边 11、养马人住在DUNHILL烟的人旁边 12、抽BLUEMASTER烟的人喝啤酒 13、德国人抽PRINCE烟 14、挪威人住在蓝房子旁边 15、抽混合烟的人的邻居喝矿泉水
使用量词时需注意的事项
一阶谓词公式
• • • • • • 原子公式 谓词公式 指导变量 辖域 约束出现 自由出现
谓词公式： x（P(x)→yQ(x,y)）
• 换名规则：将量词辖域中出现的某个约束 出现的个体变量及相应的指导变量，改成 另一个此辖域中未曾出现过的个体变量符 号，公式中其余部分不变。 • 替代规则：对某自由出现的个体变量用与 原公式中所有个体变量符号不同的变量符 号去替代，且处处替代。
约束出现的变量取值关系与量词的性质有关。
• 谓词公式是永真的 • 谓词公式是不可满足的 • 谓词逻辑的归结推理方法，即归结原理， 就是将对谓词公式的正确性推理证明转换 成为该谓词公式的不可满足性证明
谓词演算等值公式
约束变项换名规则：
(Qx ） P（x） <=> （Qy ） P（y） (Qx ） P（x,z） <=>（Qy ） P（y,z）
• 换名规则、替代规则在谓词逻辑归结的子句集求 取过程中不可缺少，只有进行适当的换名和替代 才能够正确得到前束范式和Skolem标准型。
谓词公式的解释
• 对谓词公式中的各种变量制定特殊的常量 去替代，就构成了一个谓词的解释。 • 在使用一个解释I，解释一个谓词公式A时， 将A中的个体常量用I中特定常量代替，函数 和谓词用I中特定函数和谓词代替。