集中量数和差异量数

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第四章集中量数

•定义：表示一组数据集中趋势的指标，或表示一组数据的典型情况。•分类：

• 1.算术平均数• 2.中数• 3.众数

• 4.加权平均数• 5.几何平均数•

6.调和平均数

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一、算术平均数（样本用X ，M ；总体用U ）

•（一）计算方法

•（二）平均数的优缺点

优点：（1）反应灵敏。（2）确定严密。•（3）简明易解。（4）计算简单。

•缺点：（1）易受极端数据的影响。•（2）数据模糊不清时，无法计算。•

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二、加权平均数

•计算公式：

∑∑=

i

i

i w

W

X W M •W 是权数，X 是原始分数

计算加权平均数

省区代码

人数 平均分数

1 627 98

2 268 60

3 400 82

4 670 96

5 411 80

6 314 65

7 610 96

8 500 88 ∑

3800 665

某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样人数和平均数见下表，求该项调查的总平均数

•解：A ：若果不加权，仅用八个省份的平均分数

之和除以8，便可得到

97.863800

3304963800

88

5006026898627==⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=

W M 13.838

665

==

W M B ：A ，B 两种方法计算得到的平均值差异较大。哪个正确？为什么？答：用A 方法计算的平均数不正确，实质上是假定每个省区的取样人数相等，这不符合实际情况

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加权平均数的应用

•选拔考试时，不同科目的考试分数最终合成总分时，可根据每个科目的重要性，赋予不同的权重。•一题多解时，可赋予不同权重。

•难易度不同的几次考试，计算总成绩时可赋予不同权重。

•同一个题目让不同年龄的学生做时，应考虑权重。•由各小组平均分计算总平均数是应用加权平均数的特例。

三、中数与众数

中数（M d ）

是按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数。该数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数。

求中数的方法

1.数据中无重复

数值的情况

（1）数据个数为奇数

（2）数据个数为偶数

2.数据中有重复数据的情况

（1）重复值没有位于中间

（2）重复数目位于中间，数据的个数为奇数

（3）重复数目位于中间，数据的个数为偶数

d N 1

2

M =X +•求中数的方法

•首先将数据按其取值大小排序，找出位于中间的那个数就是中数。1、一组数据中无重复数值（1）数据个数为奇数，则中数为位置的那个数。即例二：求数列4，6，7，8，12的中数.

解：=3，数列中排在第3的数据为7，故M d=7

N 1

2+N 12

+（2）数据个数为偶数，则中数为居于中间位置两

个数的平均数，即第与第位置的两个数据相加除以2。即•例3：有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求中数。

•解：数列中第位置的数是7，处于第位置的数是8，故Md=N

N 12

2

d X X

M =

2

++N

2N (+1)2

N

2N

(+1)

25.72

8

7=+2、中数附近有重复数时

①当重复数目位于数据中间，数据的个数为奇数时例：求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17的中数。③当重复数目位于数列中间，数据的个数为偶数时，计算方法与数据的个数为奇数时基本相同

例：求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17，18的中数。

•解：

14

12

12.5

13.5

12.83

13.16

12.66

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中数的优缺点

•1、优点：

•计算简单，容易理解，不受极端数值的影响•2、缺点：

•（1）中数的计算不是每个数据都加入，其大小不受制于全体数据。

•（2）反应不够灵敏，极端值的变化对中数不产生影响。•（3）中数受抽样影响较大，不如平均数稳定。•（4）计算时需要对数据先排列大小。

•（5）中数乘以总数与数据的总和不相等（除非：中数＝平均数）。

•（6）中数不能作进一步代数运算。•3、使用条件：

•（1）当一组观测结果中出现两个极端数目时。

•（2）当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时，只能取中数作为集中趋势的代表值。

•

（3）当需要快速估计一组数据的代表值时，也常用中数。

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三、众数

•（一）求众数的基本方法–即出现次数最多的数据。

•（二）众数的应用

•需要快速而粗略的寻求一组数据的代表值时。•当次数分布中有两极端数据时。

X 224342222Y

5

4

4

5

4

5

5

4

5

众数、中位数和平均数的关系

负偏分布均值中位数众数

对称分布均值= 中位数=众数

正偏分布

众数中位数均值

1.正态分布

2.偏态分布

M

Mo Md ==M

Md Mo 23-=16

第二节差异量数

•差异量数：指一组数据的离中趋势,其大小可用来表示平均数的代表性。•类别：• 1.方差•2.标准差• 3.四分位差•4.百分位差• 5.平均差• 6.全距

最好的差异量数1718

•全距：

•公式：R=X max -X min

平均差：公式：

n

X X

D A i

∑-=

|

|..