金钥匙学校(初三)寒假班数学讲义 1月29日

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第一讲 实 数 2010.1.29

【知识梳理】

一、实数的有关概念及实数的分类

(1)实数的分类

实数 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 无理数归纳起来有三类: ①开方开不尽的数,例如2、34等;

②特殊意义的数,如圆周率π;

③特殊结构的数,如0.010010001…,3.2121121112…. 不能认为写成分数形式数如22是分数,也不能认为加根号的数就是无理数,如9;要判断一个实数

属何种类型,主要根据其结果,而不是其形式.

(2)数轴

定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.

① 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素 ② 数轴上的点与实数一一对应.

(3)相反数

定义:实数a 的相反数是-a ,零的相反数是零.

① 两个互为相反数的数的特征是它们的和为零,

即a 、b 互为相反数 ⇔ a+b=0

② 在数轴上表示相反数的两点关于原点对称.

(4)绝对值

定义:实数a 的绝对值是数轴上表示实数a 的点与原点的距离。

① 若a 表示实数,由绝对值的定义有 |a|= ⎪⎩

⎪⎨⎧<=>)0a (a -)0a ( 0)0a (a 时当时当时当

② |a|≥0,即一个实数a 的绝对值是一个非负实数.

③ |a|=|b| ⇔ a=b 或a=-b

(5)倒数

定义:乘积是1的两个实数互为倒数,零没有倒数.注:一个数的倒数不会改变其符号.

(6)平方根、算术平方根与立方根

(1)若 a b =2

,则b 叫做a 的平方根。 b=±a (a ≥0)

(2)正的平方根a (a ≥0)叫a 的算术平方根。 b=a (a ≥0)

(3)若 a b =3,则b 叫做a 的立方根。 b= 3a (4)2a =|a|= ()()⎩

⎨⎧<-≥00a a a a 三个非负数:平方数a 2、绝对值|a|、算术根a

性质:若几个非负数的和为0,则每个非负数必定为0.

非负数及其性质在中考求值、计算、比较大小、解方程中有着重要的作用.

(7)科学计数法

把一个绝对值大于10的数记成a ×10n 的形式,其中1≤a <10,n 是整数,这种记数法叫做科学记数法.

(8)近似数与有效数字

一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时,从左边第一个不是0的数字

起,到精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字.

二、实数的运算与实数大小的比较

(1) 实数的运算

① 加、减、乘、除、乘方、开方,但开方运算不一定能进行,因为负数不能开偶次方.

② 有理数的运算法则、运算定律.

③ 运算顺序.

(2) 实数大小的比较

【题型归纳】

题型一 有理数的概念

1. 有理数2(1)-,3(1)-,21-, 1-,-(-1),11

--中,其中等于1的个数是

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

2. 对于有理数a 、b ,有以下几种说法,其中正确的说法个数是

① 若 0=+b a ,则a 与b 互为相反数 ② 若 0b <a +,则a 与b 异号

③ 任何有理数的平方都是正数. ④ 任何一个整数都有倒数

⑤ 一个正数与一个负数互为相反数 ⑥ 若b a =,则b a =

A .0个

B .1个

C .2个

D .3个 3. a 的相反数是-15

,则a 的倒数是_______. 4.如图所示,a 、b 是有理数,

则式子 b a b a b a --+++ 化简的结果为

___________ 5. 若 1+-b a 与42++b a 互为相反数,则 =+3)(b a _______

题型二 科学计数法与有效数字

1. 保护环境,人人有责,第五次全国人口普查结果显示,我国的总人口已达到1300000000人,如果每年每人平均少用10个塑料袋,那么我国一年少用的塑料袋的个数用科学记数法表示,正确的是( )

A. 13109.⨯

B. 10103.1⨯

C. 13109⨯

D. 0131010

.⨯ 2.2010年上海世博会开幕倒计时100天时,门票已销售约1800万张,据统计,某日门票预订网站的访问人次为201949,请用四舍五入法取近似值将访问人次保留两个有效数字,得

A.6108.1⨯ B.62.010⨯ C.52.010⨯ D.6

0.210⨯

3. 据测算,我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.50亿元,这个近似数精确到

位,有 个有效数字,它表明我国每天因土地沙漠化造成的经济损失

最少有 亿元,若一年按365天计算,我国一年因土地沙漠化造成的经济损失

为 元。(保留三个有效数字) 题型三 实数的分类

1. 下列实数 227、sin600、3π、3.14159、()

27-中无理数有( )个. 2. 下列实数

()05、()33、()22-、tan300、sin450、cos600这六个数中,有理数有( )个. 题型四 实数运算 1. -113-⎛⎫ ⎪⎝⎭

+(-2)2×(-1)0-│ 2. ;

0a

b

1112sin 452o -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭

4. 122(4)3-⎛⎫-- ⎪⎝⎭

5. .)41.12(45tan 32)31(01-++---

6. 02200860cos 16)21()

1(-+---

题型五 定义新运算

1. 对于实数d c b a ,,,规定一种运算: c a bc ad d

b -=, 如 21 =-20()21-⨯220-=⨯-,那么)3(2x - 255

4=-时,=x ( ) 2. 在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下:当a ≥b 时,a ⊕b =b 2;

当a <b 时,a ⊕b =a .则当x =2时,(1⊕x )-(3⊕x )的值为

A.-2 B.8 C.-3 D.3 题型六 规律探索题 1. 如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒, a ,b 是某行的前两个数, 当7a =时,b = . 2.自然数按一定规律排成下表,那么第200行的第5个数是

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

… … … … …. …. ….. ……….

题型七 开放探究题

1

2 2

3 4 3

4 7 7 4

5 11 14 11 5

· · · · · · · · ·

a b · · · · · · · ·

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