平均数、众数和中位数 知识讲解

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平均数、众数和中位数
【学习目标】
1. 理解平均数的意义,能计算中位数、众数、加权平均数,了解它们是数据集中趋势的描述;
2. 能解释统计的结果,根据结果作出简单的判断和预测;
3. 知道可以通过样本的平均数来估计总体的平均数,并用它们去解决实际问题. 【要点梳理】 要点一、平均数 1.算术平均数
一般地,有n 个数12n x ,x ,x ,
…,我们把12n 1
(x x +x )n
++…叫做这n 个数的算术平均数,简称平均数.记作x (读做“x 拔”). 要点诠释:
(1)平均数表示一组数据的“平均水平”,反映了一组数据的集中趋势.
(2)平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系,其中任一数据的变动都会引起平均数的变动,所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数
在一组数据中,数据重复出现的次数f 叫做这个数据的权.按照这种方法求出的平均数,叫做加权平均数.
加权平均数的计算公式为:若数据1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,3x 出现3f 次……k x 出现k f 次,这组数据的平均数为x ,则x =1
n
(1f 1x +2f 2x +3f 3x +…+k f k x )(其中n=1f +2f +3f +…+k f )
“权”越大,对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 要点诠释:
(1)k f 越大,表示k x 的个数越多,“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
(2)加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式,是平均数的简便运算. 要点二、众数和中位数 1.众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 要点诠释:
(1)一组数据的众数一定出现在这组数据中;一组数据的众数可能不止一个. (2)众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 2.中位数
将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数. 要点诠释:
(1)一组数据的中位数是唯一的;一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. (2)由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半. 要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系:平均数、中位数、众数都是数据的代表,它们从不同侧面反映了数据的集中程度.
区别:平均数容易受极端值的影响;中位数与数据排列位置有关,个别数据的波动对中位数没影响;众数主要研究各数据出现的频数,当一组数据中不少数据多次重复出现时,可用众数来描述.
在一组存在极端值的数据中,用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.
要点四、用样本估计总体
在考察总体的平均水平时,往往都是通过抽取样本,用样本的平均水平近似估计得到总体的平均水平.
要点诠释:
(1)如果总体数量太多,或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性,都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
(2)用样本估计总体时,样本容量越大,样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要,又要考虑实现的可能性和所付出的代价.
【典型例题】
类型一、平均数、众数和中位数
1、某选手在青歌赛中的得分如下(单位:分):99.60,99.45,99.60,99.70,98.80,99.60,99.83,则这位选手得分的众数和中位数分别是()
A.99.60,99.70 B.99.60,99.60
C.99.60,98.80 D.99.70,99.60
【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可.
【答案】B;
【解析】解:数据99.60出现3次,次数最多,所以众数是99.60;数据按从小到大排列:99.45,99.60,99.60,99.60,99.70,99.80,99.83,中位数是99.60.故选B.
【总结升华】本题考查了中位数,众数的意义.找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求;如果是偶数个,则找中间两位数的平均数.众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.
举一反三:
【高清课堂数据的分析例8】
【变式1】若数据3.2,3.4,3.2,x,3.9,3.7的中位数是3.5,则其众数是________,平均数是________.
【答案】3.2;3.5;
解:由题意
3.4
3.5, 3.6
2
x
x
+
==,所以众数是3.2,平均数是3.5.
【变式2】某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是()
A.6.2小时 B.6.4小时 C.6.5小时 D.7小时
【答案】B;
解:根据题意得:
(5×10+6×15+7×20+8×5)÷50 =(50+90+140+40)÷50 =320÷50 =6.4(小时).
故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时.
类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题
2、某校欲招聘一名数学教师,学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试,各
测试项目 测试成绩
甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力
64
72
84
(1)如果根据三项测试的平均成绩,谁将被录用,说明理由;
(2)根据实际需要,学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩,谁将被录用,说明理由. 【思路点拨】(1)运用求平均数公式
()1231
n x x x x n
⋅⋅⋅++++即可求出三人的平均成绩,比较得出结果;(2)将三人的成绩按比例求出测试成绩,比较得出结果. 【答案与解析】
解:(1)甲的平均成绩为:(85+70+64)÷3=73,
乙的平均成绩为:(73+71+72)÷3=72, 丙的平均成绩为:(73+65+84)÷3=74, ∴ 候选人丙将被录用.
(2)甲的测试成绩为:(85×5+70×3+64×2)÷(5+3+2)=76.3,
乙的测试成绩为:(73×5+71×3+72×2)÷(5+3+2)=72.2, 丙的测试成绩为:(73×5+65×3+84×2)÷(5+3+2)=72.8,
∴ 候选人甲将被录用.
【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”,反映了各个数据在这组数据中的重要程度,按加权平均数来录用. 举一反三:
【高清课堂 数据的分析 例10】
【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为:测验一得89分,测验二得78分,测验
三得85分,期中考试得90分,期末考试得87分,如果按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分,那么小王该学期的总评成绩应该为多少?
【答案】
解:小王平时测试的平均成绩897885
843
x ++=
=(分).
所以8410%9030%8760%
87.610%30%60%
⨯+⨯+⨯=++(分).
答:小王该学期的总评成绩应该为87.6分.
3、(2016•呼和浩特)在一次男子马拉松长跑比赛中,随机抽得12名选手所用的时间(单位:分钟)得到如下样本数据:140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148 (1)计算该样本数据的中位数和平均数;
(2)如果一名选手的成绩是147分钟,请你依据样本数据中位数,推断他的成绩如何?【思路点拨】(1)根据中位数和平均数的概念求解;
(2)根据(1)求得的中位数,与147进行比较,然后推断该选手的成绩.【答案与解析】
解:(1)将这组数据按照从小到大的顺序排列为:125,134,140,143,146,148,152,155,162,164,168,175,
则中位数为:=150,
平均数为:=151;
(2)由(1)可得,中位数为150,可以估计在这次马拉松比赛中,大约有一半选手的成绩快于150分钟,有一半选手的成绩慢于150分钟,这名选手的成绩为147分钟,快于中位数150分钟,可以推断他的成绩估计比一半以上选手的成绩好.
【总结升华】此题主要考查了中位数和平均数的概念:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
举一反三:
【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导,对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计,并绘制了统计图表如图所示的统计图.
零花钱数额(元) 5 10 15 20
学生个数(个)a15 20 5
请根据图表中的信息,回答以下问题.
(1)求a的值;
(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数.
【答案】
解:(1) a=50-15-20-5=10.
(2)众数是15.
平均数为1
50
(5×10+10×15+15×20+20×5)=12.
类型三、用样本估计总体
4、我国是世界上严重缺水的国家之一.为了倡导“节约用水从我做起”,小刚在他所在班的50名同学中,随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位:t),并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图.
(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数;
(2)根据样本数据,估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有多少户.
【思路点拨】(1)根据条形统计图,即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量.再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解;(2)首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t 的用户所占的百分比,再进一步估计总体. 【答案与解析】
解:(1)观察条形图,可知这组样本数据的平均数是
62 6.54717.5281
6.810
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=.
∴ 这组样本数据的平均数为6.8.
∴ 在这组样本数据中,6.5出现了4次,出现的次数最多. ∴ 这组数据的众数是6.5.
∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是 6.5,有
6.5 6.5
6.52
+=. ∴ 这组数据的中位数是6.5.
(2)∵ 10户中月均用水量不超过7t 的有7户,有7
503510

=. ∴ 根据样本数据,可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有35户.
【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.掌握平均数、中位数和众数的计算方法. 举一反三: 【变式】(清河区二模)4月23日是“世界读书日”,向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查,共发放100份调查问卷,并全部收回.根据调查问卷,将课外阅读情况整理后,制成表格如下: 月阅读册数(本) 1 2 3 4 5 被调查的学生数(人) 20 50 15 10 5 请你根据以上信息,解答下列问题:
(1)被调查的学生月平均阅读册数为 本;
(2)被调查的学生月阅读册数的中位数是;
(3)在平均数、中位数这两个统计量中,更能反映被调查学生月阅读的一般水平;
(4)若向阳中学共有学生1600人,求四月份该校学生共阅读课外书籍多少本?
【答案】
解:(1)平均阅读册数为:=2.3(本);
(2)∵共有100名学生,
∴第50和51为同学的阅读量的平均数为中位数:=2;
(3)在平均数、中位数这两个统计量中,中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平;
(4)2.3×1600=3680(本).。

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