【举一反三】四级奥数第讲巧妙求和(一)

【例题2】 有一等差数列： 3，7，11，15，……， 这个等差数列的第 100项是多少？
【思路导航】 容易看出这是一个等差数列，求第 100项。
首项是 3，公差是 4，项数是 100。 根据“第n项＝首项＋（项数－ 1）×公差”，
第100项＝ 3＋（ 100－1）× 4 ＝399
【举一反三 2】 （1）求1，4，7，10，……这个等差数列的第 30项。
项数是？
2，4，6，8，10，……40。
——等差数列
名称
含义
等差数列
从第二项开始，后项与其相邻的前 项之差都相等的数列称为等差数列
公差 后项与前项的差称为公首差项是？
末项是？
2，5，8，11，14，17，20
项数是？ 公差是？
请你写一个等差数列
3，6，9，12，……，93，96 首项是__3__，末项是_9_6__ ，公差是__3__ ， 项数是_3__2_，第21项是__6_3__，总和是__1_5_8_4__。
项数＝（末项－首项）÷公差＋ 1
？
总和＝（首项 +末项）×项数÷ 2
通项公式 第n项=首项+（项数－1）×公差
求和公式 总和=（首项＋末项）×项数÷ 2
【例题1】 有一个数列： 4，10，16，22.…， 52.
这个数列共有多少项？
【思路导航】
容易看出这是一个等差数列，要求项数
首项是 4，末项是 52，公差是 6
答题格式
写出首项、末项、 公差
项数=（末项－首项）÷公差＋ 1
1＋ 2＋ 3＋…＋99＋100 ＋100＋99＋98＋…＋ 2＋1 ＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(99＋2)+(100+1) ，
其中每个小括号内的两个数的和都是 101。一共有 100 个101相加，所得的和就是所求数列的和的 2倍，再除 以2.就是所求数列的和。
1+2+3 +…+99+100 = （1+100 ）× 100÷2 =5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等 差数列都可以用下面的公式求和：
写明公式
= （ 52－4）÷ 6＋1 =9 （项）
将数据带入公式
即这个数列共有9项。
算出结果
【举一反三 1】 （1）有一个等差数列： 2，5，8，11，…，101.这 个等差数列共有多少项？
首项是 2，末项是 101，公差是 3 项数=（末项－首项）÷公差＋ 1
= （101－2）÷3＋1 =34 （项） 即这个数列共有 34项。
等差数列总和 =（首项+末项）×项数÷ 2 这个公式也叫做 等差数列求和公式 。
【举一反三 3】计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50 ＝（1+50）×50÷2 ＝1275
【例题4】求等差数列 2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】 这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
总和=（首项+末项）×项数÷ 2 首项是 2，末项是 50，公差是 2，项数是？ 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
总和＝（首项 +末项）×项数÷ 2 ＝（5+200）×40÷2 ＝4100
【例题 5】 如果一个等差数列的第 4项为21，第6项为33，那么
它的第 8项是多少？
【思路导航】 第8项比第 6项多 2个公差， 第6项比第 4项多 2个公差， 所以 33－21＝12相当于 2个公差。 第8项等于第 6项的数 33加上 2个公差。 第8项是33＋（33－21）＝45。
公式①：项数 =（末项－首项）÷公差＋ 1 项数=（96－3）÷3＋1 =32
公式②：第 n项=首项+（项数－ 1）×公差 第21项=3+（21－1）×3 =63
公式③：总和 =（首项＋末项）×项数÷ 2 总和=（3+96）×32÷2 =1584
——重要公式
名称
Байду номын сангаас
含义
项数公式 项数=（末项－首项）÷公差＋ 1
小学 四年级 举一反三
认识一个老朋友
你还记得什么是数列吗？ 对于数列你知道些什么？ 能举个数列的例子吗？
——数列
名称
含义
数列 按照一定顺序排列的一串数叫做数列
项
数列中的每一个数称为一项。其中， 第一项称为 首项，最后一项称为 末项。
项数 数列中数的个数称为项数
首项是？
3，7，11，15，19，23，27，31。 末项是？
首项是 1，公差是 3，项数是 30。 根据“第n项＝首项＋（项数－ 1）×公差”， 第30项＝1＋（30－1）×3 ＝88
【例题3】有这样一个数列： 1.2.3.4，…，99，100。请 求出这个数列所有项的和。
【思路导航】 如果我们把 1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…， 3，2，1相加，则：
【综合练习】
1、已知等差数列 11，16，21，26，…，1001。 这个等差数列共有多少项？
首项是 11，末项是 1001，公差是 5 项数=（末项－首项）÷公差＋ 1
= （1001－11）÷5＋1 =199 （项） 即这个数列共有 199项。
2、已知等差数列的首项是 11，末项是101， 总和是 504，这个数列共有多少项？
项数=（末项－首项）÷公差 +1 = （50－2）÷2+1 =25
【例题4】求等差数列 2，4，6，…，48，50的和。 首项 =2，末项 =50，项数 =25
总和＝（首项 +末项）×项数÷ 2 ＝（2+50）×25÷2 ＝650
【举一反三 4】计算下面各题。
（1）5+10+15+20+…+195+200 首项是 5，末项是 200，公差是 5， 项数＝（末项－首项）÷公差 +1 ＝（200－5）÷5+1 ＝40