无标度网络拓扑的统计研究
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作为一种系统理论， 无标度网络的提出， 为其他 学科研究提供了 很多有益启示： （ １ ） 病毒传播。改变以往传染病模型认为病毒 的扩散取决于传染强度的阂值的观念， 发现无标度 网中 不存在这个阂 值， “ 所有病毒都可以在无标度网 络中传播和长期存在， 即使传染力很低的病毒也是
Ａ ｉ ｌ ｏ 等对无标度网络随度指数Ｙ的变化而演 化的 情况 进 行了 详细的 研 究〔 １ ０ ］ ， 他们证明： ① 存在
阑 值ｙ ｏ ＝ ３ ． ４ ７ ８ ７ ５ 。 当ｙ ‘ ＞ ｙ 。 时， 网 络 “ 几 乎 ” ③ 没
气毓气
＝１ 一 Ｇ ｏ （ ｖ ＂ ） ， 二１ 一 Ｆ Ｏ （ ｕ ． ） ，
点的 概率② ， 即， 二 Ｇ ， （ ｖ ） 。 记ｕ 为任意边不被Ｓ Ｃ Ｃ 此 ， ， ［ ！ ！ ］ 。 的点所指的概率， 同样。二Ｆ ， （ ｕ ） 。解出这两个方 如 （ ２ ） 混沌 同 步 。 汪小帆 等证明 ［ １ ２ １ ， 当 无 标 度网 程的最小非负解， ． ， ｕ， 则Ｓ ； ａ ， Ｓ －Ｓ 。 可计算如下： 的藕合强度大于某一正临界值时， 无论规模如何都
亿网页和１ ４ ． ６ ６ 亿超链接， 得到凡 二 ４ ９ ％， 并提出
了 著名的 基于 连通性的Ｂ ｏ ｗ － Ｔ ｉ ｅ 结构〔 ． ］ 。 Ｎ ｅ ｗ ｍ ａ ｎ 等按（ ２ ） 式计算的理论结果Ｓ ； ． － ５ ３ ％， 与Ｂ ｒ ｏ ｄ ｅ ｒ 等
的实验结果较接近［ １ ５ １ 。
２ ． ３ 无标度网络的演化
＠ ２ ０ ０ ７ Ｓ ｃ ｉ ． Ｔ ｅ ｃ ｈ Ｅ ｎ ｇ ｎ ｇ ．
无标度网络拓扑的统计研究
王
羽
孙 颖１
（西北大学 信息学院， 西安 ７ １ ０ １ ２ ７ ； 西北工业大学 理学院‘ ； 西安７ １ ０ ０ ７ ２ ）
摘 要 近年来， 无标度网络已成为系统科学研究的热点， 出现了一些通用的形式化分析方法。从概率论的角度， 分析了无
Ｇ ｏ （ ｘ ）
１ 对无标度性的解释
１ ９ ９ ８ 年， Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ｂ ｓ ｉ 等发现真实网 络的度分布既
非正态分布又非指数分布， 而是幂律分布ｐ ｋ ＝
Ｃ ｋ 一 ， ， 其 中 、 二 １ ， ２ ， ． ． ． ； 。 二 兴（ “ ， ） 是 Ｋ ｉ ｅ ｍ ａ ｎ ｎ
Biblioteka Baidu会出现同步现象。 例如， 尽管不同路由器独立地发 （ ２ ） 布路由 消息， 但它们最终会达到同步状态， 造成网络
拥塞。 （ ３ ） 贪心搜索。小世界性表明， 在任意两个节
① Ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｇ ｌ ｙ Ｃ ｏ ｎ ｎ ｅ ｃ ｔ ｅ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ 。 文 献【 １ ０ ］ 指出 ， 当 度指数 ，＜ ３ ． ４ ７ ８ ７ ５ 时， 大 规 模Ｓ Ｆ 随 机网 络 存在唯 一Ｓ Ｃ Ｃ 的 概 率 几 乎为１ ， ② 否则， 若 其 邻边指向Ｓ Ｃ Ｃ 中的点， 则该边与邻 边都在Ｓ Ｃ Ｃ
论预测在形式上相吻合。
２ ． ２ Ｗｅ ｂ的结构
通性 越来 越强。 ③ 当０＜ Ｙ＜１ 时， 网 络“ 几乎” 是
完全图。
研究有向图时， 需要同时考虑出度与人度。以
｛ Ｐ ； ｋ Ｉ ｊ ， ｋ ＝ ０ ， １ ， ． ． ． ｝ 表 示人 度为． １ 、 出 度 为ｋ 的 联合 概
４ ０ ０ ０ ［ ８ ］
１ ５ ０ ０ ０ ０ １ １
７ ． ４ ７ ７ ． ６ １ ２ ． ７ ２ ２ ． １
ＷＷ Ｗ
２ ｘ １ ０ ８ １ ６
表１ 显示了两个典型复杂系统 Ｉ ｎ ｔ ｅ ｎ ｒ ｅ ｔ 和Ｗ ｅ ｂ 的拓扑指
标度的 形成机制 及其对复 杂系统宏观结构的影响， 介绍了 国际 上最有影响的一些成果和研究， 并简述了无标度网络的应用前
景。
关键词 复杂网 络 Ｂ Ａ无标度网络 幕律 拓扑结构 最大等级法 中图法分类号 ０ １ ８ ９ ． １ ３ ； 文献标识码 Ａ
无标度网 络是利用节点的 度分布来研究复杂系 统拓扑结构的理论。１ ９ ９ ８年， Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ｆ ｋ ｓ ｉ 等在研究
Ｉ ｎ （ Ｎ ／ ｚ ， ） ｌ＝１＋ Ｉ ｎ （ ｚ ２ ／ ｚ ， ）
（ １ ）
研 究 方向： 分布 式网 络， 网 络 安全 。 ， Ｆ ｍ ａ ｉ ｌ ： ｗ ａ ｎ ｇ ｙ ｕ ． ｓ ｉ ｎ ｌ ｅ ＠ ｐ ｍ ａ ７ ． 二。 ，
１ ５ １ ８
科 学 技 术 与 工 程 表１ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ｅ ｔ 和 Ｗｅ ｂ 的几个拓扑指标。Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎ 表示把子域着作节点， ｒ ｏ ｕ ｔ ｅ ｒ 表示把路由器看作节点
人度、 出度、 指向任意边、 任意边所指的概率的母函 数分别为 Ｆ ． （ ｓ ） 二 Ｄ（ ｓ ， １ ） ， Ｇ ｏ （ ｔ ）二 Ｄ （ １ ， ｔ ） ，
率 分 布 ， 其 母 函 数 为 Ｄ （ ｓ ， ｔ ） ＝ 艺 ＂ Ｊ ｉ ｋ ｉ ｓ ｔ ｋ 。 那 么 ， 也就是上文的 Ｓ Ｃ Ｃ ．
中。
Ｕ ， ｖ ＝１ 一 Ｄ （ ｕ ｀ ， １ ） 一 Ｄ （ ｌ ， ｖ ＇ ） ＋ Ｄ （ Ｂ ｒ ｏ ｄ ｅ ｒ 等利用搜索引擎 Ａ ｌ ｔ ａ Ｖ ｉ ｓ ｔ ａ 分析了２ ． ０ ３ ５
③ “ 几乎” 的 意 思是， 随机事件序列Ｉ Ａ 川 依概率收敛为１ ， ｌ ｉ ｍ ｎ． ． Ｐ Ｉ Ａ ｎ 卜１ ，
成 机制［ ［ ４ １ 。它基于两点假设： 动态增长和马太效
应。 这两个假设都是必要条件： 取消第一个后， 度分 布呈指数速度衰减； 取消第二个后， 度分布随时间逐 渐演变为正态分布。Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ４ ｓ ｉ 等根据模型， 用５ 个 初始节点迭代了２ ０ ０ ０ ０ （ 】 步， 得到度指数ｙ ＝ ２ ． ９ 的
２ ０ ０ ６ 年１ １ 月２ ７日 收到。 第 一 作者简介： 王 羽（ １ ９ ８ ２ －） ， 女， 计算 机软件与理论专 业研究生。
以 ｋ ） （ １ ） 。 设ｌ 为网 络的 平均路径长度， 连通图中 任
意点的前 ｌ 个连接层包含了所有节点， 因 此 １ ＋
Ｉ
叉‘＝ Ｎ 。 当Ｎ》ｚ １ ， ｚ ２ 》 ： ： 时， 整 理 得
第一层邻接点数 目的期望（ 不论人向方式、 出向方 式） 。
Ｗ ｅ ｂ 有最大强连通块Ｓ Ｃ Ｃ Ｄ 。以Ｓ ｊ ， Ｓ ． ＂ Ｓ 。 表
示网络中指向Ｓ Ｃ Ｃ 部分、 被Ｓ Ｃ Ｃ 所指部分和Ｓ Ｃ Ｃ 本 身的规模所占的比例。记， 为任意边不指向Ｓ Ｃ Ｃ中 节点的概率， 它等于该边所指的边都不指向Ｓ Ｃ Ｃ中
自Ｂ Ａ模型出现以来， 学者们越来越重视度分
布的两极分化这一关键因素。胡海波等甚至借宏观 经济学中刻画收入差异程度的 Ｇ ｉ ｎ ｉ 系数， 建立了一
它是判定整数型大样本幂律随机量的充要条件。我 们以平均相对误差为主要评价指标， 在相同条件下
拓扑指标 网络规模
Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎ ３ ０ １ ５一 ４ ３ ８ ９
ｒ ｏ ｕ ｔ ｅ ｒ
７卷
实验值 ｌ ｏ ｒ ，
理论值
出 度 指 数人 度 指 数
７ ． ｗ ， 抽 ２ ． １一２ ． ２
Ｋ
１ ｐ ，
参考文献
３ ０ 一 ４ ０ ［ ６ ］ ６ ０ ［ ７ ］
无标度网络。
Ｗ ｅ ｂ 的拓扑特点时， 提出这一理论［ １ ｌ 。实验证 实 ［ ２ ） ， 无 标 度网 络具 有“ 小世 界 效 应” 。 因 此， ’ 与正
则网格、 随机图、 小世界网络等模型相比， 它更贴近 真实网络， 已成为近年来系统科学研究的热点。
２ 无标度性的宏观作用
讨论网络的宏观性质需要有一个形式化框架。 Ｎ ｅ ｗ ｍ ａ ｎ 与“ 小世界网 络” 的两位创始人利用母函数 法， 建立了处理具有任意度分布的随机图的统一途 径汇 ， 〕 。 ２ 。 １ 平均路径长度 …｝ ， 其母函数为 任意给定度分布｛ ｐ ｋ Ｉ ｋ 二 ０ ， １ ，
＿ ， 、 １ ａ Ｄ 尹， （ｓ） ＝ — Ｉ
Ｇ ， （ ｔ ） ｚ ａ ｔ ！ 。 二 Ｉ ’
１ ａ Ｄ
名ａ ｓ
Ｎ ｅ ｗ ｍ ａ ｎ 等用母函数法也算得相同的Ｙ ｏ 。 从表 １ 可知， Ｗ ｅ ｂ 的 度指数小于３ ， 因此它存在主连通块，
３ 无标度网络的启示
（ ｋ ＋ １ ） ｐ ｋ ． ，
‘、 ７Ｉ
为， ＊
其 母 函 数 为Ｇ ， （ ｘ ） 二 艺。 ＊ 二 ‘ ＝
Ｅ如 。．
Ｇ ＇ 卜） ． ． ． ， ＿ ． Ｉ ． ‘、、 ， ＿ ， 、 ， 一． 。二 云哭 于 令 。任选一点， 经过 ｋ 一 １ 条边到达第 ｋ 层连 Ｇ ＇ ｏ ｛ １ ） ”一 ￣ ， ． ’ 一‘ ” 一 朴￣“￣／ ． ‘ ” ’ “ ‘
的 极 少数 点却有１ ０ ０ （ 〕 以 上的 度［ ３ １ ０
Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ｆ ｌ ｓ ｉ 等提出了 一个模型 解释无标度网络生
通点， 这一层所包含的节点数目的期望为ｚ ｋ 二
ｄ＿ ， 。， ，，、 、 、． 。 ，， ＿ 、＿ ｔ 。 － ， 月、 ＿ ＿ Ｇ Ｏ （ Ｇ ， （ ． ． ． Ｇ ， （ ｘ ） ） ） １ 二 二 ： ＝Ｇ ＇ ｏ （ １ ） Ｇ Ｉ ． ． １ ）＝ 山 ’ 。 、 一 ’ 、 一 ’ 、 ” 产 产 产’ ‘ ’ 互一 一”、 ‘ ／’ １ ・ （ 、 一 ２一
④ 图‘二（ Ｖ ， Ｅ） 上的 强 连 通块Ｇ ＇ ＝（ Ｖ ＇ ， Ｅ ＇ ） ， 如果
有Ｉ Ｅ ＇ Ｉ二０（ Ｉ ｖ ｉ ） ， 则称 Ｇ ＇ 为‘的主连通块。
８期
王 羽， 等； 无标度网络拓扑的统计研究
１ ５ １ ９
点间寻找短的路径（ 网络规模的对数级大小） 是有
达１ ０ ． ６ ５ ％， 而频数法只有 ５ ． ５ １ ％０
有主 连 通 块④ ； 当Ｙ ＜ Ｙ 。 时， 网 络“ 几乎” 只 有 唯 一的
主 连通块。 ② 当１ ＜ Ｙ＜ Ｙ 。 时， 随着Ｙ 的 减小， 次连 通块的 规模从ｏ （ １ ｇ川） 缩小为Ｏ （ １ ） ， 网 络的连
标。 其中， 系 数Ｋ 较 大， 实际 值ｌ ‘比 理论 值ｌ ，略 高。 Ａ ｌ ｂ ｅ ｔ ｒ 等测 定［ ［ ９ ］ ， Ｗ ｅ ｂ 的 平 均路径长 度为ｌ 二 ０ ． ３ ５ 十 ２ ． ０ ６ １ ｇ Ｎ ， 与 理
希望的， 这对Ｐ ２ Ｐ 文件搜索很有启发性。Ｋ ｌ ｅ ｉ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ 在文献【 １ ８ 」 中， 我们设计了一种高精度的方 研究了带扰动的二维网格上的贪心搜索算法， 找到 法— 最大等级法， 可以弥补顺序法的不足， 并证明
一 种 对 数 平 方 级 的 算 法 〔 ” 〕 。
４ 进一步的研究方向
第７ 卷 第８ 期 ２ ０ ０ ７ 年４ 月
１ ６ ７ １ － １ ８ １ ９ （ ２ ０ ０ ７ ） ０ ８ － １ ５ １ ７ － ０ ４
科 学 技 术 与 工 程
Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ａ ｎ ｄ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
Ｖ ｏ ｌ ７ Ｎ ｏ ． ８ Ａ ｐ ｒ ． ２ ０ ０ ７
－ ｚ ｅ ｔ ａ 函 数， ， ＞ １ ［ ） ’ ＇ ， Ｓ Ｆ 网 络 是 严 重 两 极 分 化 的 。
例如， Ｗ ｅ ｂ 基本上是由 少数度很高的节点串连起来 的， ８ ０ ％的页面的 度不到４ ， 而占 总数不到万分之一
Ｉ ｐ ｋ ｘ ｋ 。 任 意 边 与 另 外人 条 边 相 邻 的 概 率
Ａ ｉ ｌ ｏ 等对无标度网络随度指数Ｙ的变化而演 化的 情况 进 行了 详细的 研 究〔 １ ０ ］ ， 他们证明： ① 存在
阑 值ｙ ｏ ＝ ３ ． ４ ７ ８ ７ ５ 。 当ｙ ‘ ＞ ｙ 。 时， 网 络 “ 几 乎 ” ③ 没
气毓气
＝１ 一 Ｇ ｏ （ ｖ ＂ ） ， 二１ 一 Ｆ Ｏ （ ｕ ． ） ，
点的 概率② ， 即， 二 Ｇ ， （ ｖ ） 。 记ｕ 为任意边不被Ｓ Ｃ Ｃ 此 ， ， ［ ！ ！ ］ 。 的点所指的概率， 同样。二Ｆ ， （ ｕ ） 。解出这两个方 如 （ ２ ） 混沌 同 步 。 汪小帆 等证明 ［ １ ２ １ ， 当 无 标 度网 程的最小非负解， ． ， ｕ， 则Ｓ ； ａ ， Ｓ －Ｓ 。 可计算如下： 的藕合强度大于某一正临界值时， 无论规模如何都
亿网页和１ ４ ． ６ ６ 亿超链接， 得到凡 二 ４ ９ ％， 并提出
了 著名的 基于 连通性的Ｂ ｏ ｗ － Ｔ ｉ ｅ 结构〔 ． ］ 。 Ｎ ｅ ｗ ｍ ａ ｎ 等按（ ２ ） 式计算的理论结果Ｓ ； ． － ５ ３ ％， 与Ｂ ｒ ｏ ｄ ｅ ｒ 等
的实验结果较接近［ １ ５ １ 。
２ ． ３ 无标度网络的演化
＠ ２ ０ ０ ７ Ｓ ｃ ｉ ． Ｔ ｅ ｃ ｈ Ｅ ｎ ｇ ｎ ｇ ．
无标度网络拓扑的统计研究
王
羽
孙 颖１
（西北大学 信息学院， 西安 ７ １ ０ １ ２ ７ ； 西北工业大学 理学院‘ ； 西安７ １ ０ ０ ７ ２ ）
摘 要 近年来， 无标度网络已成为系统科学研究的热点， 出现了一些通用的形式化分析方法。从概率论的角度， 分析了无
Ｇ ｏ （ ｘ ）
１ 对无标度性的解释
１ ９ ９ ８ 年， Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ｂ ｓ ｉ 等发现真实网 络的度分布既
非正态分布又非指数分布， 而是幂律分布ｐ ｋ ＝
Ｃ ｋ 一 ， ， 其 中 、 二 １ ， ２ ， ． ． ． ； 。 二 兴（ “ ， ） 是 Ｋ ｉ ｅ ｍ ａ ｎ ｎ
Biblioteka Baidu会出现同步现象。 例如， 尽管不同路由器独立地发 （ ２ ） 布路由 消息， 但它们最终会达到同步状态， 造成网络
拥塞。 （ ３ ） 贪心搜索。小世界性表明， 在任意两个节
① Ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｇ ｌ ｙ Ｃ ｏ ｎ ｎ ｅ ｃ ｔ ｅ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ 。 文 献【 １ ０ ］ 指出 ， 当 度指数 ，＜ ３ ． ４ ７ ８ ７ ５ 时， 大 规 模Ｓ Ｆ 随 机网 络 存在唯 一Ｓ Ｃ Ｃ 的 概 率 几 乎为１ ， ② 否则， 若 其 邻边指向Ｓ Ｃ Ｃ 中的点， 则该边与邻 边都在Ｓ Ｃ Ｃ
论预测在形式上相吻合。
２ ． ２ Ｗｅ ｂ的结构
通性 越来 越强。 ③ 当０＜ Ｙ＜１ 时， 网 络“ 几乎” 是
完全图。
研究有向图时， 需要同时考虑出度与人度。以
｛ Ｐ ； ｋ Ｉ ｊ ， ｋ ＝ ０ ， １ ， ． ． ． ｝ 表 示人 度为． １ 、 出 度 为ｋ 的 联合 概
４ ０ ０ ０ ［ ８ ］
１ ５ ０ ０ ０ ０ １ １
７ ． ４ ７ ７ ． ６ １ ２ ． ７ ２ ２ ． １
ＷＷ Ｗ
２ ｘ １ ０ ８ １ ６
表１ 显示了两个典型复杂系统 Ｉ ｎ ｔ ｅ ｎ ｒ ｅ ｔ 和Ｗ ｅ ｂ 的拓扑指
标度的 形成机制 及其对复 杂系统宏观结构的影响， 介绍了 国际 上最有影响的一些成果和研究， 并简述了无标度网络的应用前
景。
关键词 复杂网 络 Ｂ Ａ无标度网络 幕律 拓扑结构 最大等级法 中图法分类号 ０ １ ８ ９ ． １ ３ ； 文献标识码 Ａ
无标度网 络是利用节点的 度分布来研究复杂系 统拓扑结构的理论。１ ９ ９ ８年， Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ｆ ｋ ｓ ｉ 等在研究
Ｉ ｎ （ Ｎ ／ ｚ ， ） ｌ＝１＋ Ｉ ｎ （ ｚ ２ ／ ｚ ， ）
（ １ ）
研 究 方向： 分布 式网 络， 网 络 安全 。 ， Ｆ ｍ ａ ｉ ｌ ： ｗ ａ ｎ ｇ ｙ ｕ ． ｓ ｉ ｎ ｌ ｅ ＠ ｐ ｍ ａ ７ ． 二。 ，
１ ５ １ ８
科 学 技 术 与 工 程 表１ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ｅ ｔ 和 Ｗｅ ｂ 的几个拓扑指标。Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎ 表示把子域着作节点， ｒ ｏ ｕ ｔ ｅ ｒ 表示把路由器看作节点
人度、 出度、 指向任意边、 任意边所指的概率的母函 数分别为 Ｆ ． （ ｓ ） 二 Ｄ（ ｓ ， １ ） ， Ｇ ｏ （ ｔ ）二 Ｄ （ １ ， ｔ ） ，
率 分 布 ， 其 母 函 数 为 Ｄ （ ｓ ， ｔ ） ＝ 艺 ＂ Ｊ ｉ ｋ ｉ ｓ ｔ ｋ 。 那 么 ， 也就是上文的 Ｓ Ｃ Ｃ ．
中。
Ｕ ， ｖ ＝１ 一 Ｄ （ ｕ ｀ ， １ ） 一 Ｄ （ ｌ ， ｖ ＇ ） ＋ Ｄ （ Ｂ ｒ ｏ ｄ ｅ ｒ 等利用搜索引擎 Ａ ｌ ｔ ａ Ｖ ｉ ｓ ｔ ａ 分析了２ ． ０ ３ ５
③ “ 几乎” 的 意 思是， 随机事件序列Ｉ Ａ 川 依概率收敛为１ ， ｌ ｉ ｍ ｎ． ． Ｐ Ｉ Ａ ｎ 卜１ ，
成 机制［ ［ ４ １ 。它基于两点假设： 动态增长和马太效
应。 这两个假设都是必要条件： 取消第一个后， 度分 布呈指数速度衰减； 取消第二个后， 度分布随时间逐 渐演变为正态分布。Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ４ ｓ ｉ 等根据模型， 用５ 个 初始节点迭代了２ ０ ０ ０ ０ （ 】 步， 得到度指数ｙ ＝ ２ ． ９ 的
２ ０ ０ ６ 年１ １ 月２ ７日 收到。 第 一 作者简介： 王 羽（ １ ９ ８ ２ －） ， 女， 计算 机软件与理论专 业研究生。
以 ｋ ） （ １ ） 。 设ｌ 为网 络的 平均路径长度， 连通图中 任
意点的前 ｌ 个连接层包含了所有节点， 因 此 １ ＋
Ｉ
叉‘＝ Ｎ 。 当Ｎ》ｚ １ ， ｚ ２ 》 ： ： 时， 整 理 得
第一层邻接点数 目的期望（ 不论人向方式、 出向方 式） 。
Ｗ ｅ ｂ 有最大强连通块Ｓ Ｃ Ｃ Ｄ 。以Ｓ ｊ ， Ｓ ． ＂ Ｓ 。 表
示网络中指向Ｓ Ｃ Ｃ 部分、 被Ｓ Ｃ Ｃ 所指部分和Ｓ Ｃ Ｃ 本 身的规模所占的比例。记， 为任意边不指向Ｓ Ｃ Ｃ中 节点的概率， 它等于该边所指的边都不指向Ｓ Ｃ Ｃ中
自Ｂ Ａ模型出现以来， 学者们越来越重视度分
布的两极分化这一关键因素。胡海波等甚至借宏观 经济学中刻画收入差异程度的 Ｇ ｉ ｎ ｉ 系数， 建立了一
它是判定整数型大样本幂律随机量的充要条件。我 们以平均相对误差为主要评价指标， 在相同条件下
拓扑指标 网络规模
Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎ ３ ０ １ ５一 ４ ３ ８ ９
ｒ ｏ ｕ ｔ ｅ ｒ
７卷
实验值 ｌ ｏ ｒ ，
理论值
出 度 指 数人 度 指 数
７ ． ｗ ， 抽 ２ ． １一２ ． ２
Ｋ
１ ｐ ，
参考文献
３ ０ 一 ４ ０ ［ ６ ］ ６ ０ ［ ７ ］
无标度网络。
Ｗ ｅ ｂ 的拓扑特点时， 提出这一理论［ １ ｌ 。实验证 实 ［ ２ ） ， 无 标 度网 络具 有“ 小世 界 效 应” 。 因 此， ’ 与正
则网格、 随机图、 小世界网络等模型相比， 它更贴近 真实网络， 已成为近年来系统科学研究的热点。
２ 无标度性的宏观作用
讨论网络的宏观性质需要有一个形式化框架。 Ｎ ｅ ｗ ｍ ａ ｎ 与“ 小世界网 络” 的两位创始人利用母函数 法， 建立了处理具有任意度分布的随机图的统一途 径汇 ， 〕 。 ２ 。 １ 平均路径长度 …｝ ， 其母函数为 任意给定度分布｛ ｐ ｋ Ｉ ｋ 二 ０ ， １ ，
＿ ， 、 １ ａ Ｄ 尹， （ｓ） ＝ — Ｉ
Ｇ ， （ ｔ ） ｚ ａ ｔ ！ 。 二 Ｉ ’
１ ａ Ｄ
名ａ ｓ
Ｎ ｅ ｗ ｍ ａ ｎ 等用母函数法也算得相同的Ｙ ｏ 。 从表 １ 可知， Ｗ ｅ ｂ 的 度指数小于３ ， 因此它存在主连通块，
３ 无标度网络的启示
（ ｋ ＋ １ ） ｐ ｋ ． ，
‘、 ７Ｉ
为， ＊
其 母 函 数 为Ｇ ， （ ｘ ） 二 艺。 ＊ 二 ‘ ＝
Ｅ如 。．
Ｇ ＇ 卜） ． ． ． ， ＿ ． Ｉ ． ‘、、 ， ＿ ， 、 ， 一． 。二 云哭 于 令 。任选一点， 经过 ｋ 一 １ 条边到达第 ｋ 层连 Ｇ ＇ ｏ ｛ １ ） ”一 ￣ ， ． ’ 一‘ ” 一 朴￣“￣／ ． ‘ ” ’ “ ‘
的 极 少数 点却有１ ０ ０ （ 〕 以 上的 度［ ３ １ ０
Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ｆ ｌ ｓ ｉ 等提出了 一个模型 解释无标度网络生
通点， 这一层所包含的节点数目的期望为ｚ ｋ 二
ｄ＿ ， 。， ，，、 、 、． 。 ，， ＿ 、＿ ｔ 。 － ， 月、 ＿ ＿ Ｇ Ｏ （ Ｇ ， （ ． ． ． Ｇ ， （ ｘ ） ） ） １ 二 二 ： ＝Ｇ ＇ ｏ （ １ ） Ｇ Ｉ ． ． １ ）＝ 山 ’ 。 、 一 ’ 、 一 ’ 、 ” 产 产 产’ ‘ ’ 互一 一”、 ‘ ／’ １ ・ （ 、 一 ２一
④ 图‘二（ Ｖ ， Ｅ） 上的 强 连 通块Ｇ ＇ ＝（ Ｖ ＇ ， Ｅ ＇ ） ， 如果
有Ｉ Ｅ ＇ Ｉ二０（ Ｉ ｖ ｉ ） ， 则称 Ｇ ＇ 为‘的主连通块。
８期
王 羽， 等； 无标度网络拓扑的统计研究
１ ５ １ ９
点间寻找短的路径（ 网络规模的对数级大小） 是有
达１ ０ ． ６ ５ ％， 而频数法只有 ５ ． ５ １ ％０
有主 连 通 块④ ； 当Ｙ ＜ Ｙ 。 时， 网 络“ 几乎” 只 有 唯 一的
主 连通块。 ② 当１ ＜ Ｙ＜ Ｙ 。 时， 随着Ｙ 的 减小， 次连 通块的 规模从ｏ （ １ ｇ川） 缩小为Ｏ （ １ ） ， 网 络的连
标。 其中， 系 数Ｋ 较 大， 实际 值ｌ ‘比 理论 值ｌ ，略 高。 Ａ ｌ ｂ ｅ ｔ ｒ 等测 定［ ［ ９ ］ ， Ｗ ｅ ｂ 的 平 均路径长 度为ｌ 二 ０ ． ３ ５ 十 ２ ． ０ ６ １ ｇ Ｎ ， 与 理
希望的， 这对Ｐ ２ Ｐ 文件搜索很有启发性。Ｋ ｌ ｅ ｉ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ 在文献【 １ ８ 」 中， 我们设计了一种高精度的方 研究了带扰动的二维网格上的贪心搜索算法， 找到 法— 最大等级法， 可以弥补顺序法的不足， 并证明
一 种 对 数 平 方 级 的 算 法 〔 ” 〕 。
４ 进一步的研究方向
第７ 卷 第８ 期 ２ ０ ０ ７ 年４ 月
１ ６ ７ １ － １ ８ １ ９ （ ２ ０ ０ ７ ） ０ ８ － １ ５ １ ７ － ０ ４
科 学 技 术 与 工 程
Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ａ ｎ ｄ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
Ｖ ｏ ｌ ７ Ｎ ｏ ． ８ Ａ ｐ ｒ ． ２ ０ ０ ７
－ ｚ ｅ ｔ ａ 函 数， ， ＞ １ ［ ） ’ ＇ ， Ｓ Ｆ 网 络 是 严 重 两 极 分 化 的 。
例如， Ｗ ｅ ｂ 基本上是由 少数度很高的节点串连起来 的， ８ ０ ％的页面的 度不到４ ， 而占 总数不到万分之一
Ｉ ｐ ｋ ｘ ｋ 。 任 意 边 与 另 外人 条 边 相 邻 的 概 率