2018年江苏高考数学卷第20题别解

由三个步骤的对比可以看到，两种思路的解题思想和用到的知识点大致相同，不同之处就在于两种思路的解题步骤相反，并且思路１给出了具体的犫，而思路２是在假设犫存在的条件下验证存在狓０使犳（狓）＝犵（狓）和犳′（狓）＝犵′（狓）都成立．从思维角度来看，思路２是正向思考，更容易理解一些．
４　总结与启示
一个中学数学题的好解法应该逻辑结构明显，反映问题的深层结构，思维方式和中学生一致或相近，
能达到严谨性和通俗性的统一．难题不能因为难而给出晦涩难懂的解答，
更不能把简单题或中档题的解答写得晦涩难懂．作为关注度极高的高考题的解答应该写得严谨，但要接地气．本文对２０１８年的１９题做了剖析，改进了高考题解答，说明对解题进行反思，即使是高考题的标准解答也有改进空间．
２０１８年江苏高考数学卷第２０题别解
张　青　（江苏省苏州中学　２１５００６
）题目　设｛犪狀｝是首项为犪１、公差为犱的等差数列，｛犫狀｝是首项为犫１、公比为狇的等比数列．（１）设犪１＝０，犫１＝１，狇＝２，若狘犪狀－犫狀狘≤犫１对狀＝１，２，３，４均成立，求犱的取值范围；（２）若犪１＝犫１＞０，犿∈犖 ，狇∈（１，犿
槡２］，证明：存在犱∈犚，使得狘犪狀－犫狀狘≤犫
１对狀＝２，３，…，犿＋１均成立，并求犱的取值范围（用犫１，犿，狇表示）
．解　（１
）略．（２）由条件知，犪狀＝犫１＋（狀－１）犱，犫狀＝犫１狇狀－１
，代入不等式狘犪狀－犫狀狘≤犫
１，解得狇狀－１－２狀－１犫１≤犱≤狇狀－１狀－１犫１．易知狇狀－１
－２
狀－１犫１≤０
，狇
狀－１
狀－１
犫１＞０
，故取犱＝０满足要求．下证当２≤狀≤犿＋１时，狇狀－１
－２
狀－１
｛
｝
单调递
增，狇狀－１狀－１｛｝
单调递减．
①设犳（
狓）＝狇狓－１
－２
狓－１，２≤狓≤犿＋１，则犳′（狓）＝狇狓－１（狓－１）ｌｎ狇－（狇狓－１
－２
）（狓－１）２
＝２－狇狓－１［１－（狓－１）ｌｎ狇］（狓－１）２≥２－狇
狓－１
（狓－１）２．由狇∈（１，犿
槡２］，２≤狓≤犿＋１，狇狓－１≤狇犿
≤２，
且等号仅在个别点处成立，所以犳（狓）在［２，犿＋１］上单调递增，从而狇狀－１
－２狀－１｛｝
当２≤狀≤犿＋１时单调递增，故当２≤狀≤犿＋１时
狇狀－１－２狀－１
｛｝
的最大值是狇犿－２
犿
．
②方法１　考虑犵（狓）＝狇狓狓
，
狓∈［１，犿］．由于犵′（狓）＝狇狓狓ｌｎ狇－狇狓狓２＝
狇狓
（狓ｌｎ狇－１
）狓２
，狓∈［１，犿］，及ｌｎ狇≤ｌｎ２１
犿＜
１犿≤１
狓
，
所以犵′（狓）＜０，
从而犵（狓）在［１，犿］上单调递减，从而数列狇
狀－１狀－１
｛｝
当２≤狀≤犿＋１时递减，其最小值
为狇犿
犿
．方法２　由于
犿
犿－１
（）犿
＝１＋
１
犿－１
（）犿
＝１
＋Ｃ１犿
１犿－１＋Ｃ２犿
１犿－１（）２＋…＋Ｃ犿犿
１
犿－１（）
犿
＞１＋Ｃ１
犿·１犿－１
＞２，所以狇≤犿槡２＜犿犿－１≤
狀
狀－１，狀＝２，３，…，犿，即（狀－１）狇－狀＜０．故狇狀
狀
－狇狀－１
狀－１＝狇狀－１狇狀－１狀－１
（）
＝狇狀－１
·（狀－１）狇－狀狀（狀－１）＜０，即当２≤狀≤犿＋１时，数列狇
狀－１
狀－１
｛｝
单调递
减，因此数列
狇
狀－１
狀－１
｛｝
的最小值为狇犿犿．
·８１· 中学数学月刊 ２０１８年第８期。