知识点4 等腰三角形的判定定理的推论

子洲三中数学导学案
2011-2012学年第学期年级班组姓名编写者审核者使用时间2012年月日课题：课时：
知识点4 等腰三角形的判定定理的推论
推论1．
(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，
∴AB＝AC＝BC．
(3)推论1的证明：
在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝
180
2
A
-∠
＝60°
∴AB＝AC＝BC．
(或∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°，∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．)
√推论2．
(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝AC＝BC．
(3)推论2的证明：
在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴BC＝AC(等角对等边)．
又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC(等角对等边)．∴AB＝AC＝BC．
(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．
拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：
(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；
(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；
(3)根据推论2，证明三个角都相等．
√推论3．
(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。

，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
(2)用符号语言表示为：如图1－9所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∠A＝30°，∴BC＝
2
1
AB．
(3)推论3
的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或
2倍．
知识点5 反证法
先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．拓展反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：
(1)假设命题不成立；
(2)从假设出发推导出矛盾；
(3)否定假设，从而肯定命题的结论．
规律方法小结
1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．
2．类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．
3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．
探究交流
想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？
解析 有，作等腰三角形ABC 的顶角平分线AD ，如图1－2所示.
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=,)(),(21,)(公共边角平分线定义已知AD AD AC AB
∴△ABD ≌△ACD (SAS).
∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等) 课堂检测
基础知识应用题
1、如图1－10所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝3
2AC ，AE ＝
3
2AB ．求证BD ＝CE ．
2、如图1－12所示，已知点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．求证BD ＝CE ．
1、 如图1－13所示，已知∠CAE 是△ABC 的一个外角，∠1＝∠2，AD ∥BC ， 求证△ABC 是等腰三角形．
综合应用题
4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题．
学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三
角形ABC 的∠A 等于30°，求其余两角．
同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°．”王华同学说：“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……
假如你也在课堂上，你的意见如何?为什么? 探索创新题
5、已知等边三角形ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB ，AC ，BC 的距离分别是h 1，h 2，
h 3，△ABC 的高为h ，若点P 在边BC 上，如图1－17(1)所示，此时h 3＝0，可得结论：h 1+h 2+h 3
＝h ．
请直接应用上述信息解决下列问题：
点P 在△ABC 内，如图1－17(2)所示．点P 在△ABC 外，如图1－17(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?若成立，请给出证明；若不成立，h 1，h 2，h 3与h 之间又有怎样的关系?
请写出你的猜想，不需证明．。