有关柯西准则的一些试题

故
sin x
x
存在极限
<
ε 2
+
ε 2
=
ε
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性
3
例7.证明: 当x→+∞时, sin x 极限不存在
证明 ：
取x1
=
2nπ
,
x2
=
2nπ
+
π 2
,
对∀X > 0, n足够大时 x1 > X , x2 > X ,
但是
故 sin x 极限不存在
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性
当 n﹥N 时, 对任意 p ∈ Z + , 都有
由柯西收敛准则可知,
收敛
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性
例2 证明: 任一无限十进小数
α = 0. b1b2 "bn " (0<α <1)
的不足近似值所组成的数列
b1 10
,
b1 10
+
b2 102
,
",
x2 ∈ 有
I
,
(2) 在(0, 1]上非一致连续.
f ( x1)− f ( x2) <ε,
证明 (1) 对 ∀ε >0, ∀x1, x2 ∈[a,1], 要使
1 x1
−
1 x2
=
x1 − x2 x1 x2
≤
1 a2
x1 − x2
< ε,
只要 x1 − x2 < a2ε, 取 δ = a2ε, 于是
+"+
1 10 p−1
=
1 10n
(1
−
(0.1)
p
)
<
1 10n
<
1 n
.
=
9 10n+1
⋅
1−(0.1) 1−0.1
p
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 11
例2 证明: 任一无限十进小数
α = 0. b1b2 "bn " (0<α <1)
的不足近似值所组成的数列
b1 10
,
b1 10
+
b2 102
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 6
1
柯西列：对于数列 如果对于任意给定的 总存在正整数 使当 n，m > N 时, 总有
则称 为柯西列。
等价定义: 对于数列 如果对于任意给定的 总存在正整数 使当 n > N 时, 对任意的正数 p
总有
则称 为柯西列。
例1 证明数列 证明 ：
收敛
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性
(1) yn ≤ xn ≤ zn (n = 1, 2, 3 )
(2)
lim
n→∞
yn
= a,
lim
n→∞
zn
=
a,
则数列xn的极限存在,且 lim n→∞
xn
=
a.
2、单调有界准则
单调有界数列必有极限.
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性
一、数列的柯西收敛准则
回顾:
lim
n→∞
xn
=
a
⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N + , 当n > N时，总有 xn − a < ε .
证明
取
ε
0
=
1 2
,
对任意正整数N,
取n = 2m, 取正整数m0 > N,
n0 = 2m0 , 则 an0 − am0
故数列{an}发散.
>
n0 − m0 n0
=
1 2
= ε 0,
定理1′(柯西准则) 数列 {an} 发散的充分必要条件存
在某ε0 > 0, 对任意正整数N, 都存在某正整数 第m一0节, n、0数>列N的,柯西使准则得与函a数n0 的−一a致m0连≥续性ε 0. 16
b1 10
+
b2 102
+"+
bn 10n
,
"
收敛. 其中 证明 令
abin(=i =1b101,+2,
", b2 102
9) 是 +"+
0,1,", 9
bn 10n
,
有
中的数.
an+ p −an
=
bn+1 10n+1
+
bn+2 10n+2
+"+
Baidu Nhomakorabea
bn+ p 10n+ p
( ) ≤
9 10n+1
1
+
1 10
第一节、数列的柯西收敛准则 与函数的一致连续性
一、数列极限柯西准则 二、函数极限柯西准则 三 、函数的一致连续性
四、小结
五、作业
lim
n→∞
xn
=
a
⇔
当 n > N 时, 总有
定义只能用来验证 在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？
1、夹逼准则
若数列 xn , yn 及 zn 满足下列条件:
总存在x1, x2 ,
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性
例6.用柯西收敛准则证明:
当x→+∞时,
sin x
x
存在极限
证明
：∵
sin x1 x1
−
sin x2 x2
≤
1 x1
+
1 x2
对ε
>
0，取X= 2 , ε
则当x1 ,x2
>
2 时， ε
sin x1 x1
−
sin x2 x2
≤
1 x1
+
1 x2
•定理的几何解释
柯西准则说明: 收敛数列各项的值越到后边, 彼此
越是接近, 以至项数充分大的任何两项之差的绝对值可小
于预先给定的任意小正数, 或形象地说, 收敛数列的各项
越到后面越是挤在一起. x1 x5 x2x4
x3
柯西收敛准则表明，数列收敛等价于 数列中项数充分大 (即n充分大)的任意两项的距离能够任意小. 柯西收敛准 则的优点在于 它不需要借助数列以外的任何数，只须根据 数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性.
证明 必要性
若 {an }
收敛于a,
设
lim
n→∞
an
=
a.
则对∀ε > 0, ∃N ∈ N +, 当n> N, m > N 时， 有
an
−a
<
ε 2
,
am
−a
<
ε 2
,
故 an −am = an−a +a−am ≤ an −a + am −a
充分性的证明从略.
<
ε 2
+
ε 2
=
ε
.
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 5
,
",
b1 10
+
b2 102
+"+
bn 10n
,
"
收故证敛对a.n任+令其p意−中aεann>=b0i(<,1bi01n1=+取.1,12bN0,22"=+,⎡⎢⎣"91ε ⎤⎥⎦)+,
是 0,1,", 9
bn 10n
,
有
当n > N时,
中的数. 对任意正
整数p, 有 an+ p −an < ε.
m0, n0 > N , 使得 an0 −am0 ≥ε 0.
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 15
例5
设
an
=
1
+
1 2
+
"
+
1 n
,
n
=
1,
2,
"
,
利用柯西准则,
证明: 数列{an}发散.
分析 不妨设n > m,
an − am
=
1 m+
1
+
1 m+
2
+"
+
1 n
>
n
−m n
=
1 2
= ε 0,
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 22
如图, 当ε给定后, 在点x0附近, 函数图象变化比较 “慢”,对应的δ较大; 在点x1附近, 函数图象变化比较 “快”, 对y 应的δ较小.
{ 2ε f (x1)
y = f (x)
{ 2ε f (x0)
O
δ( x0 ) x0
δ( x1)
x1
x
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 23
二、函数极限的柯西准则
lim
n→∞
xn xn
= =
a f
⇔ (n)
lim f (n) = a ⇔
n→∞
当 n，m > N 时,
总有 当 n , m > N 时,
总有
lim f ( x) = A ⇔
x→+∞
当x1, x2 > X时，
总有
lim f ( x) = A ⇔
x→ x0
当0 < x1 − x0 < δ ,
对任意正整数
故数列 { xn}收敛.
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 13
2
例4 若 xn+1 − xn < cn, 且 sn = c1 + c2 +"+ cn, 而数列 {sn}收敛, 则数列{ xn} 也收敛.
证明 由已知数列{sn}收敛, 由柯西收敛准则得, 对∀ε >0, ∃N ∈ N +, 当n> N 时, ∀p ∈ N +, 有
0 < x2 − x0 < δ 时，总有
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性
lim f ( x) = A ⇔
x→ x0
当0 < x1 − x0 < δ ,
0 < x2 − x0 < δ 时，总有
lim f ( x)不存在 ⇔
x→ x0
尽管
0< 0<
x1 − x0 x2 − x0
<δ, < δ，
但是
函数f (x)在区间Ｉ上一致连续 函数f (x)在区间Ｉ上连续
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 25
一致连续的否定就是 非一致连续. 两者对比如下：
函数f (x)在区间I上 一致连续 ∀ε >0, ∃δ >0, ∀x1, x2 ∈ I, 当 | x1 − x2 |<δ 时, 有
f ( x1)− f ( x2) <ε,
设函数f (x)在区间I上连续, 当给定ε后, 相应于无穷多个x0, 有无穷多个 δ(x0)> 0, 在这无穷多个 δ(x0) 中是否存在一个公共的δ > 0 , 使得对任意的x0, x ∈ I, 只要| x − x0 |<δ, 就有
| f (x)− f (x0)|<ε 呢?
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 24
2．一致连续的定义 定义 设f (x)为定义在区间Ｉ上的函数, 若对任给的 ε >0, 存在一个 δ = δ(ε)> 0, 使得对任何 x1, x2 ∈ I, 只要| x1 − x2 |< δ, 就有
f ( x1)− f ( x2) <ε, 则称函数f (x)在区间Ｉ上一致连续.
在一致连续定义中, δ = δ(ε) 与 x1, x2 ∈ I 无关. 由一致连续定义 可知:
{an}是一个柯西数列. 数列{an} 收敛 ⇔ ∀ε >0, ∃N ∈ N +, ∀m, n> N ,
有 am −an <ε .
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 4
定理1（柯西收敛准则）数列{an} 收敛的充分必要条件是 对 ∀ε > 0, ∃N , 当n, m > N 时, 有 an −am <ε .
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 14
定理1（柯西收敛准则）数列{an} 收敛的充分必要条件 对 ∀ε > 0, ∃N , 当n, m > N 时, 有 an −am <ε .
也可以给出数列发散的柯西准则: 定理1′(柯西准则) 数列 {an}发散的充分必要条件 存在某ε0 > 0, 对任意正整数N, 都存在某正整数
由柯西柯西收敛准则知: 数列 {an}收敛.
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 12
∑ 例3 利用柯西收敛准则证明:
收敛.
数列{
xn } = ⎧⎪⎨⎪⎪⎩
n k=1
sin k 2k
⎫⎪⎬⎪⎪⎭
证明 对任意正整数n, p, 有
xn+ p − xn
=
sin(n + 1) 2n+1
+
sin(n + 2n+2
2)
+"+
sin(n + 2n+ p
p)
( ) ≤
1 2n+1
+
1 2n+2
+"+
1 2n+ p
=
1 2n+1
1+
1 2
+
1 22
+"+
1 2 p−1
( ) =
1 2n
⋅
1−
1 2p
<
1 2n
<
1 n
.
对任意 ε >0,
p, 有
取
N
=
⎡⎢⎣
1 ε
⎤⎥⎦
,
当n > N时,
xn+ p − xn <ε .
三 、函数的一致连续性
1. 一致连续概念的引入 设f (x)在某一区间Ｉ上连续，按照定义，也就是 f (x)在区间Ｉ内每一点都连续. 即对任意固定的点 x0 ∈ I, 对 ∀ε >0, ∃δ > 0, 当 x ∈U(x0, δ) 时, 有
| f (x)− f (x0)|<ε. 在上述定义中, δ = δ(ε, x0).
非一致连续 ∃ε0 >0, ∀δ > 0, ∃x1, x2 ∈ I, 尽管| x1 − x2 |< δ,
f ( x1)− f ( x2) ≥ε0.
但有
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 26
4
例8 (1)
证明: 函数 在[a, 1](0 <
f a
<(x1))=上1x一致连续;当一∀ε致>| x连01,−续∃xδ:2>|<0δ, ∀时x1,,
∃x1,
x2
∈
I,
( ) (2) 在(0,
(2) ∃ε0 =
∃x1
=
1 n
1 2
,
1]上非一致连续.
>0, 对 ∀δ > 0, 取
对∀ε >0, 取δ = a2ε, ∀x1, x2 ∈[a,1], 当 x1 − x2 <δ 时, 有
1 x1
−
1 x2
< ε,
故函数
f
(
x)
=
1 x
在区间[a, 1] 上一致连续.
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 27
例8 (1)
证明: 在[a,
函数 f ( 1](0< a
x) <
=1)上1x 一致连∃续非ε0;一>0致, 连∀δ续>:0,
sn+ p−1 − sn−1 = cn + cn+1 +"+ cn+ p−1 <ε , 于是有 xn+ p − xn = xn+ p − xn+ p−1 +xn+ p−1 −"− xn+1+xn+1 − xn
≤ xn+1 − xn + xn+2 − xn+1 +"+ xn+ p − xn+ p−1 < cn +cn+1+"+ cn+ p−1 <ε 故数列{ xn}收敛.
1. 柯西(Cauchy)列： 如果数列 {an}具有以下特性：
∀ε > 0, ∃N ∈ N +, ∀n, m > N , 有 an −am <ε ,
则称数列{an} 是一个基本数列或柯西( Cauchy)列.
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 3
2. Cauchy收敛准则： 定理 数列{an}收敛的充要条件是：