矩阵方程的求解问题

矩阵方程的求解问题
白秀琴
（平顶山工业职业技术学院，基础部，河南 平顶山 467001）
摘要：主要考察了矩阵方程的求解问题，给出了一般矩阵方程当系数矩阵满足不同
条件时的两种求解方法。

关键词：矩阵；矩阵的逆；矩阵方程
矩阵是线性代数中的最重要的部分，它贯穿于线性代数的始终，可以说线性代数就是矩阵的代数，矩阵是处理高等数学很多问题的有力工具。

矩阵方程是矩阵运算的一部分，这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题。

掌握简单的矩阵方程的求法，对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助。

简单的矩阵方程有三种形式：.,,C AXB C XA C AX ===如果这里的A 、B 都是可逆矩阵，则求解时需要找出矩阵的逆，注意左乘和右乘的区别。

它们的解分别为：
.,,1
1
1
1
----===B
A
X CA
X C A X
例如，求解方程C AC =先考察A 是否可逆，如果A 可逆时，方程两边同时左乘1-A ，得,11C A AX A --=即,1C A X -=这里要注意只能左乘不能右乘，因为矩阵的乘法不满足交换律。

同样，对于方程,C XA =只能右乘1-A ，得,1
1
--=CA
XAA
即.1
-=CA
X 而对
于方程,C A X B =只能是左乘1-A 而右乘1-B ，得,1
1
1
1----=CB A ACBB
A 即
.1
1
--=CB
A X
看下面解矩阵方程例题： 例1：⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡3154
32
34
3
122
321
X 解：先求出1-A ，则,11
1
25323231
34
3122
3211
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---
-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡-则 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=3321
23315432
11
12
532
3231
3154
32
134
3122
321
X 例2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡21210134
3
122
321X
解：先求出1-A ，则,11
1
25323231
34
3122
3211
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---
-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡-则 ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-275
2512011
12532
3231
21210134
3122
321
2121011
X 例3：⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡3154
32
13
25
34
3
122
321
X 解：先求出1-A ，则,11
1
25323231
343
122
3211
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---
-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡- ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-532113
251
则 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---
-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡-=--532131543211
1
253232311325315432
34
3122
3211
1
X ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡--=13114873
53313321
2
3
例4：解矩阵方程,2
X A E AX +=+其中⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=16
1
020
101
A ，E 是三阶单位方阵。

解：移项，将矩阵方程化为标准形式：),)(()(2
E A E A E A X E A +-=-=-由于
E A -可逆，两边同时左乘1
)
(--E A ，得
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=+=+--=-26
1
030
102
))(()(1
E A E A E A E A X 注：如果按)()(2
1
E A E A X --=-计算，需要先求1
)(--E A ，再求E A -2，最后相乘，计算量大且易出错。

因此应先尽量化简矩阵方程，再计算求解。

当矩阵方程C AXB C XA C AX ===,,中的A 、B 不是方阵或者是不可逆的方阵
时，前面的方法就不能用了。

这时，我们需要用待定元素法来求矩阵方程。

设未知矩阵X 的元素为ij x ，即)(ij x X =，然后由所给的矩阵方程列出ij x 所满足的线性方程组，通过解线性方程组求出所有元素ij x ，从而得到所求矩阵)(ij x X =。

例5：解矩阵方程⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41
52102011X 解：利用元素法，先确定X 的行数等于左边矩阵的行数X ,3的列数等于积矩阵的列数2，则X 是23⨯的矩阵。

设⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=222
1
y y y x x x X ，则⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-41521020112121y y y x x x
即⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡++--41
52
222111
y y x x y y x x ，于是得方程组⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧=+=+=-=-4
21
2522211y y x x y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧-=-=-=-=y y x x y y x x 242152
2
211，所以⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢
⎢
⎣⎡----=y y y
x x x X 245212
，其中y x ,为任意实数。

例6：解矩阵方程,C AX =其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡--=03
1
334
213
A ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=75
7
7111793
C 由于0=A ，所以A 是不可逆矩阵，需要用元素法求解。

设,22
2
111
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=z y x z y x z y x
X 则⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--757
7111793
03
1
334213
22
2
111z y x z y x z y x
，即 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡++++-+-+-+-+-+-75
7
7111
793
3233343343342323231
11212
12121212
1z z y y x x z z z y y y x x x z z z y y y x x x 比较第一列元素得⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+-=+-7313343
2312121x x x x x x x x ，解得⎩⎨⎧-=-=9537121x x x x
同样，比较第二、三列元素可得对应方程组，分别解得
7537,
3535121
121
-=-=-=-=z z z z y y y y ，所以可得
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡------=7573
5359
53711111`
1z z y y x x X ，其中111,,z y x 是任意实数。

总之，对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。

如果可逆，则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵，如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵，则需要用待定元素法通过解方程确定未知矩阵。

参考文献：
[1]赵树塬。

线性代数[M]。

北京：中国人民大学出版社，1997
[2]李君文，线性代数理论与解题方法[M]。

长沙 ：湖南大学出版社，2002。