第3章-平面力系的平衡

RB
r P
测量几何图形中 Fmin
r F
也可解得
Fmin P sin θ 10kN
3.1.2 解析法
物体在平面汇交力系作用下平衡的必要和充分条件
是合力等r 于零。 FR 0
FR ( Fxi )2 ( Fyi )2 0
解析条件是各力在x轴和y轴上投影的代数和分别为零。
即
F 0

R Mo

0
主矢和力系对任意点的主矩分别为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2
M O M O (Fi )
3.3 平面一般力系的平衡条件
因为 FR ( Fx )2 ( Fy )2
M O M O (Fi )
平面任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 Mo 0
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图. 用解析法，建图示坐标系
Fx 0
F F cos 60 F cos30 0
BA
1
2
且 F1 F2 P
解得： FBA 7.32kN
例 已知： 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设 为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
12
三、平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系:平面力系中的各力两两组成力偶，叫平面力偶系。 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
m2 F2d2
又m1 P1d
m2 P2d
RA P1 P2' RB P1' P2
Fy 0


MA 0
各力不得与投影轴垂直
说明：对于平 面平行力系， 利用平衡方程 可求解两个未 知数。
MA 0 MB 0
A、B两点连线不得与各力平行
例 已知：P1=200KN，P2-700KN,尺寸如图: 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3
（2）P3=180KN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
a
2P 12kN
平面平行力系的平衡方程
Fx 0 0 0 0 0
Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
F y 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的平衡方程为两个，有两种形式
RR
F1
例题1：已知桁架节点受力如图所示，求力 解：设定比例尺，画力多边形图。
T1、T2。
16KN

T2
3KN
20
40
T1
8KN
T1 9.09KN
T2 3.03KN
20
T1
T2
8KN
40
3KN
16KN
例2 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m， 求：
内力：是刚体系内部各刚体之间的相 互作用力，内力不影响刚体系整体的 平衡，因而在研究刚体系整体的平衡 时，不必考虑内力。
外力和内力是相对的概念，是对一定 的考察对象而言的。
求解平衡问题时，可以根据需要选择 研究对象。
每次选择研究对象，根据平衡力系的种 类，相应的独立平衡方程数是确定。如：
平面任意力系→三个独立平衡方程
支座A、B处的约束反力。
解 分析梁AB的受力，画梁AB的受力图。
列方程 ：
M
A

0
: RB

a＋qa

a 2

M

P

2a

0
3 M B 0 :qa 2 a M RA a P a 0
解得 ：
3M
RA
qa 2
a
P 24kN
1M
RB
qa 2
力和中间铰B处两梁之间的相互作用力。
分析：⑴研究对象的选取有三种情况
⑵刚体数量为2，独立的平衡方 程数为6 ，可解6个未知量
解：取梁BC为研究对象
MB 0: X 0: Y 0:
P 1 Rc cos 2 0 X B Rc sin 0 YB P Rc cos 0
平面汇交力系的平衡方程：
Fx 0 Fy 0
说明：并不一定取直角坐标轴作为投影轴，只须两个投影轴 不重合即可。根据具体情况，适当选取投影轴，往往可以简 化计算，但是无论怎样选取投影轴，平面汇交力系的独立平 衡方程的数目不会超过两个。
例 已知： 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
r
解： 1. 水平拉力F=5kN时，求碾子对地面正压力 FA、和
r
障碍物的压力 RB。
按比例量得
r
RB
r FA
r RB r rP FA r
F
FA 11.3KN
由已知尺寸求得
RB 10KN
另由图中
θ arccos R h 30o R
RB sin θ F
解得
FA RB cos θ P
M A 2q 2YB 304(kNm) X A X B 10(kN) YB 2q YB 20(kN)
例 井架如图所示，它由AC和BC两个 桁架通过中间铰C连接而成，两个桁 架的重量均为G，在左边的桁架上有
一水平风压力P。尺寸l，H，h和a均 为已知，求铰链A、B、C三点处的约
YA P Q T sin 2.1kN
T 1 ( l P Qa)
1
(1.251.2 103 7.5103 2)
l sin 2
2.5 sin 300
13.2 103 N 13.2kN
平面任意力系平衡方程的三种形式
(1)一般式 (2)二矩式


束反力。
解：⑴研究井架结构的整体的平衡
M A 0 : YBl Ga G(l a) Ph 0
Gl Ph YB l
M B 0 : YAl Ga G(l a) Ph 0
YA

Gl
l
Ph
⑵研究桁架BC的平衡
MC 0:
YB
l 2

再取梁AB为研究对象
MA 0: X 0:
M
A

1 2
q

22

YB

2

0
X A X B 0
Y 0 : YA q 2 YB 0
Rc

P
2 c os
14.14(kN)
X B Rc sin 10(kN)
YB P Rc cos 10(kN)
解 ① 分析横梁AB的受力，画横梁AB的受力图。
② 列平衡方程
② 列平衡方程
X 0 : X A T cos 0
Y 0 : YA P Q T sin 0

M
A

0
:T
sin
l

P

l 2

Qa

0
X A T cos 13.2
3 11.43kN 2
RB 10KN FA 11.3KN
解： .2. 欲将碾子拉过障碍物，求水平拉力F。
r
RB r
碾子拉过障碍物时，
rP
FA 0
FA r
用几何法：
rF
RB

r P
测量矢量尺寸 根据力的三角形解得
r RB
r FA
r F
F P tanθ 11.55kN
r
3. 力F沿什么方向拉动碾子最省力，求此时力F
Fy 0
FCy FCB sin 0
解得
FCy 1.5kN
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或
特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中
只有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
例：图示结构，已知M=800N.m，求A、C 两点的约束反力。
M AC RC d 0.255 RC (N.m)
Mi 0 M AC M 0 RC 3137 N
例：一工件上需钻三个孔，钻头力偶矩分别为m1=100kNm， m2=200kNm， m3=300kNm。求夹具对工件的约束反力。
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
解： 1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
r P
r RB
r RB r rP FA r
F
注意：先画已知力 画已知方向 最后画未知力
力的多边形封闭
解析法
Fx 0
FBA cos FBC cos 0
解得
Fy 0
FBA FBC
2FBA sin θ F 0
FBA FBC 11.35kN
2)选压块C
Fx 0
FCB cos θ FCx 0
解得 FCx FCB cos 11.25kN
XBH
G( l 2

a)

0
XB

1 H
[G( l 2
a) YB
l] 2

2Ga 2H
ph
⑵研究桁架BC的平衡
MC 0:
YB
l 2

XBH
G( l 2

a)

0
XB

1 H
[G( l 2
a) YB
l] 2
百度文库

2Ga 2H
ph
X 0: XB XC 0
平面任意力系平衡的解析条件：
（1）各力在两个任选坐标轴上投影的代数和 分别等于零。 （2）各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。
例 悬臂吊车结构。横梁AB长为l＝2.5 m ，重G ＝1.2kN ，拉杆
BC的斜角α ＝300，质量不计，起吊重量Q ＝7.5 kN 。求图示位置
a＝ 2 m时，拉杆BC所受的拉力和铰链A处的约束反力。
合力矩 M RAd (P1 P2' )d P1d P2'd m1 m2
13
3.2 力偶系的平衡
n
M m1 m2 mn mi
i1
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代 数和。
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于 零。
n
即 mi 0 i1
A
A
L
L
B
B
解：研究工件，受力如右图所示。主动力系为一力偶系，根据力偶的性 质，反力也必为一反力偶，由力偶系的平衡方程
Σm =0 有
m1+ m2+ m3-NAL=0
解得
NA

m1 m2 m3 L
3.3 平面一般力系的平衡条件 物体在平面一般力系的作用下平衡的充分和必要条
件是：力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。
XC

X B

2Ga Ph 2H
Y 0 : YB YC G 0
平面汇交力系→二个独立平衡方程
平面平行力系→二个独立平衡方程
平面力偶系→一个独立平衡方程
但是对于确定的刚体系，独立的平衡方程 总数是确定的，如果每个刚体都是平面任 意力系，那么总的独立平衡方程数是3n。 也就是说，可解3n个未知量。
例 如图所示，静定多跨梁由梁AB和梁BC用中间铰B连接而成。 已知P＝20kN，q＝5kN/m，α＝450，求支座A、C处的约束反
空载时，
为不安全状况
4P3max-2P1=0
解得 F3max=350kN
P3=180kN时
解得 FB=870kN
解得
FA=210kN
3.4 静定和超静定的概念
3.5 刚体系的平衡 刚体系：是由许多单个刚体通过约束 按一定方式连接而成的工程结构。称 为刚体系统，简称刚体系。
外力：是刚体系以外物体对刚体系的 作用力。
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
Fy 0
F F cos30 F cos60 0
BC
1
2
解得：
FBC 27.3kN
例 已知：F=3kN，l=1500mm，h=200mm，忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力、AB杆的受力。
解：AB、BC杆为二力杆，1)取B点为研究对象 画受力图
3 平面力系的平衡
3.1 平面汇交力系的平衡
一、平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
物体在平面汇交力系作用下，合力等于零。
即力多边形封闭（各力r 首尾连接）。
用矢量表示为： Fi 0
物体上受有4个力
F1
F2 R



F3
F44
F3
F2
oo
R

F4


Fx Fy

0 0


Mo

0



Fx 0 M A 0


M
B

0
两个矩心连线，不能与投影轴垂直。
(3)三矩式
M MBA

0 0
MC 0
三个矩心不能共线。
例 如图所示，在水平外伸梁上作用有集中力P＝20kN，矩为M＝ 16 kNm的力偶，集度为q＝20kN/m均匀分布载荷，a＝0.8m。求