第二章__无套利定价原理(洛伦茨版本)

金融市场中套利更加便利


金融产品的标准化，交易的集中化和电子化使买卖双方 的信息成本大幅度降低（交易的流动性增强） 金融产品的无形化（一纸合约）基本消除了空间成本 卖空机制使无风险套利更加容易（在商品贸易中只能先 买后卖，卖空机制可以实现先卖后买；卖空机制与金融 衍生品的结合使套利风险大大降低） 金融产品在时间和空间上的多样化增加了套利机会
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2.2什么是无套利定价原理（续）
无风险套利机会存在的条件（市场非均衡状
态的描述）
存在两个资产组合，他们的未来收益（现金流）
相同，但它们的成本（价格）不同 存在两个相同成本（价格）的组合，但第一个组 合在所有状态下的收益都不低于第二个组合，而 且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的 收益大于第二个组合 一个组合的构建成本为0，但在所有状态下这个 组合的收益都不小于0，而且至少存在一种状态， 在此状态下这个组合的收益大于0
第一种情况下，该公司承担一定的风险，在第二种情况
下，不承担风险。
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2.1 什么是套利（续）

商业贸易中套利的困难 信息成本（寻找合适的买家比较困难、商品的 品质和等级不统一） 空间成本（商品的运输、存储成本高） 时间成本（利息费用，存储期间价格下降的风 险） 税收
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2.1 什么是套利（续）
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例如：股票价格为32元，无风险利率为10％，一年后到期的执行价格为 33元的看涨期权和看跌期权的价格分别是3元和2元，判断是否存在套利 机会，如果有套利机会，构造套利组合。

期初现金流 2 32 34 3 30 33
组合1 看跌期权 股票 合计 组合2 看涨期权 无风险资产 合计
套利交易策略 卖出债券Z02 现金流
当前 97
-980.98＝ -96.04
1年末
1000.98= 98 -98
2年末 -100
购买0.98份的债券Z01 在1年末购买1份债券 Z12
100
合计
0.96
0
0
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2.2什么是无套利定价原理（续）

如果债券Z02的价格为95元，存在套利机会，套利策略是卖 出自融资策略组合（空头），买进债券Z02 （多头）， 套利交易策略 现金流 1年末 -1000.98= -98 98 -95 1.04 0
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2.2什么是无套利定价原理（续）
三个债券的损益图：
Z01 100
Z12
100
Z02
100
价格： 98元
价格： 98元
价格：? 元
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2.2什么是无套利定价原理（续）
我们考虑一个复制债券Z02的自融资策略： (1)当前购买0.98份的债券Z01，持有到期可以获得98元的现金 (2)在1年末用债券Z01到期支付的98元购买1份债券Z12，持有 到期可以获得100元现金
资产之间的复制关系进行定价，即市场达到均 衡时，可以相互复制的资产和资产组合具有相 同的价值 提出者：Black and Scholes（1973）； Merton等 代表性成果：Black-Scholes期权定价公式； 期权二项式定价方法等
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2.2什么是无套利定价原理（续）
二、无套利定价原理的含义及存在的条件 金融市场上的套利非常方便和快捷，使得套利机 会一旦出现，马上会导致投资者竞相套利，套利 机会很快消失，无套利均衡重新建立 因此无套利均衡可以被用于金融资产的定价 无套利定价原理：金融资产的合理价格是市场达 到无套利均衡时的价格 我们可以通过资产之间的复制关系来构造套利组 合，当市场达到均衡时套利组合的收益为0
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2.2什么是无套利定价原理（续）
根据无套利定价原理，两个证券损益相同，
损益B的合理价格是98元 如果B的价格为97.5元，市场存在套利机会， 投资者可以卖出证券A并买入证券B并持有 到期，可以实现0.5元的无风险收益。
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2.2什么是无套利定价原理（续）

2．静态组合复制定价 例2-3：假设3种零息票的债券面值都为100元，它们的当 前市场价格分别为： （1）1年后到期的零息票债券的当前价格为98元； （2）2年后到期的零息票债券的当前价格为96元； （3）3年后到期的零息票债券的当前价格为93元；

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Hale Waihona Puke Baidu
2.2什么是无套利定价原理（续）
例题分析： 在没有交易成本，B的合理价格为98元。不管大于或小于98 元，都存在套利机会。 如果存在卖空和出售债券费用，在价格不等于98时，不一定 存在套利机会。比如，债券B的当前价格为97.5元，按照前 面的套利思路为：卖空债券A，获得98-1=97元，不够用于 买进债券B（97.5元）； 因此，在卖空和出售债券需要1元费用情况下，债券B的无 套利价格区间为：[97, 99]。当债券B低于下限97元时，可以 通过卖空债券A，买进债券B赢利；当债券B高于上限99元时， 可以通过卖空债券B，买进债券A赢利。 债券B的当前价格是97.5元，落在无套利区间内，将无法使 用套利策略获得盈利。
并假设不考虑交易成本和违约。 问题：（1）息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到 期的债券A的当前价格应该为多少？ （2）息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期 的债券A的当前价格为120元，问是否存在套利机会？如 果有，如何套利？
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2.2什么是无套利定价原理（续）
我们考虑如何用三个零息票债券复制债券A
存在套利机会，套利策略为： 期初现金流 买入4个权证: -2.9544＝-11.86 卖空1股股票 31.14 无风险投资 -19.28 合计 0


期末现金流 ST>15.44 ST<15.44 ST－15.44 0 - ST - ST 20.06 20.06 4.62 20.06- ST >4.62
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2.2什么是无套利定价原理（续）

无套利均衡（市场均衡状态的描述）的三个等价性推论 同损益同价格：如果两种证券具有相同的损益，则这两种 证券具有相同的价格 静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益与某一个证 券相同，则这个资产组合的价格与这个证券价格相等。这 个组合称为该证券的“复制组合” 动态组合复制定价：如果一个自融资交易策略的最终收益 与某一个证券相同，则该证券的价格等于自融资交易策略 的成本。 自融资交易策略：资产组合的价值变化完全取决于交易的 盈亏；持有期间没有资金的流入与流出；组合中的证券调 整的资金全部来源于组合自身的收益或损失。（例如投资 1万元购买股票，期间不增加投资，也不取出资金）

交易策略 当前 购买0.98份的债券 Z01 在1年末购买1份债券 Z12 -980.98＝ -96.04
现金流 1年末 1000.98= 98 -98
2年末
100
合计
-96.04
0
100
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2.2什么是无套利定价原理（续）

如果债券Z02的价格为97元，存在套利机会，套利策略是买 进自融资策略组合（多头），卖出债券Z02 （空头）
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2.2什么是无套利定价原理（续）
例2-5：假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年 后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得 元100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假 设购买债券不需要费用和不考虑违约情况。但是假 设卖空1份债券需要支付1元的费用，并且出售债券 也需要支付1元的费用。如果债券A的当前价格为98 元。 问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元， 是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？
第二章 无套利定价原理
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2.1 什么是套利
一、商品贸易中的“套利”行为

例如：某贸易公司：
从生产商处买入铜，再以更高的价格卖给需要铜的厂家，
从中赚取差价，这是一种正常的贸易行为。
如果他可以同时与生产商和需求商签订合同，例如以
15000元/吨的价格买进，以17500元/吨的价格卖出，从 中赚取2500元/吨的差价。

期末现金流 ST>33 0 ST ST ST –33 33 ST
ST<33 (33- ST) ST 33 0 33 33
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例如：2009年6月3日，江铜权证价格2.954元，江西铜业 31.14元。权证执行价格15.44元，每4个权证可用于购买1股 股票，权证到期日为2010年10月9日。 设无风险利率为3％，期权剩余期限为1.33年。
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2.2什么是无套利定价原理（续）
进一步讨论： 尽管债券B价格落在[97，99]区间内时，无法通过套利使其 价格回到98元的合理位置上，但实际上这两个债券的价格 会趋向一致（为什么）

我们上述的套利没有用到出售债券也要支付1元费用的条件。 （为什么）

如果没有这一条件,我们考虑一个已经持有债券A的投资者，如果债 券B的价格为97.5元，他会卖出债券A，买进债券B，实现0.5元的利 润，我们的分析就得不到一致的结果。

在上例中,如果卖空债券的成本为1元,出售一个债券的成本 为0.5元,无套利均衡价格是多少?
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2.2什么是无套利定价原理（续）
例2-6：假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天 到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期 时具有相同的损益）。不考虑违约情况。假设卖空1份债券需 要支付1元的费用，出售债券也需要支付1元的费用，买入1份 债券需要0.5元费用。如果债券A的当前价格为98元。 问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ 的当前价格应 该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利 机会？
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2.2什么是无套利定价原理（续）
三、确定状态下无套利定价原理的应用 1．同损益同价格 例2-2：假设两个零息票债券A和B，两者都是在1 年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都 获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。 如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交 易成本和违约情况。 问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元， 问是否存在套利机会？如果有，如何套利？
卖空0.98份的债券 Z01 在1年末卖空1份债券 Z12 买进债券Z02 合计
当前 980.98＝ 96.04
2年末
-100 100 0
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2.2什么是无套利定价原理（续）
4.存在交易成本时的无套利定价原理 当存在交易成本时，上面的无套利定价原理 的几个推论就可能不再适用了。 因为存在交易成本，所构造的套利策略不一 定能盈利。 无套利定价原理这时候就不能给出金融产品 的确切价格，但可以给出一个价格上限和下 限。
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2.1 什么是套利（续）
金融市场的独特性使套利成为金融市场的
一种重要行为 套利是指一种能产生无风险收益的交易策 略。 在实际的套利中，纯粹的无风险套利很少， 大部分情况是一种风险套利，但相对于其 盈利来说风险较小
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2.2什么是无套利定价原理
基于无套利均衡的定价方法
基本思想：以无套利均衡定义市场均衡；利用
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2.2什么是无套利定价原理（续）
复制策略： （1）购买0.1张1年后到期的零息票债券 1年后的现金流为10元； 0.198=9.8 （2）购买0.1张2年后到期的零息票债券， 2年后的现金流为10元； 0.196=9.6 （3）购买1.1张2年后到期的零息票债券， 3年后的现金流为110元。 1.193=102.3 =121.7 债券A的价格应该等于该复制组合的价格 如果债券A的市场价格为120，则存在套利机会，应该卖出复 制组合，买进债券A，可实现1.7元的收益。
例题分析：
任何一个套利交易策略都要涉及买卖两个交易，总的交 易成本为1.5元，所以债券B的无套利区间为[96.5，99.5]
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2.2什么是无套利定价原理（续）
3．动态组合复制定价

例2-4：假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为 98元。从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格也 为98元（远期价格）。并且假设不考虑交易成本和违约情 况。 问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为 多少呢？ （2）如果现在开始2年后到期的零息票债券的价格 为97元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？如果 债券价格为95元，应该如何套利？