北师大版八年级下因式分解、分式与分式方程知识点
北师大版初二数学下册重点知识梳理汇总，期末高分必备！
北师大版初二数学下册重点知识梳理汇总，期末高分必备！GUIDE导读初二数学下册知识点（※表示重点部分）第一章 三角形的证明※知识点1 全等三角形的判定及性质判定定理简称判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等※知识点2 等腰三角形的性质定理及推论内容 几何语言 条件与结论等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。
简述为：等边对等角在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一在△ABC ，AB=AC ，AD⊥BC，则AD 是BC 边上的中线，且AD 平分∠BAC 条件：等腰三角形中一直顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一 结论：该线也是其他两线 ※等腰三角形中的相等线段：1.等腰三角形两底角的平分线相等2.等腰三角形两腰上的高相等3.两腰上的中线相等4.底边的中点到两腰的距离相等※知识点3 等边三角形的性质定理内容性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度解读【要点提示】1）等边三角形是特殊的等腰三角形。
它具有等腰三角形的一切性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形※知识点4 等腰三角形的判定定理内容 几何语言 条件与结论等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边 在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC解读 【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”※知识点5 反证法概念 证明的一般步骤反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法（1）假设命题的结论不成立（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题正确解读【要点提示】（1）当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明 （2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组一. 不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式※2. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用：(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，即：如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,※2. 比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)一般地：如果a>b，那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么a>b；如果a=b，那么a-b等于0；反过来，如果a-b等于0，那么a=b；如果a<b，那么a-b是负数；反过来，如果a-b是正数，那么a<b；即：a>b <===> a-b>0a=b <===> a-b=0a<b <===> a-b<0三. 不等式的解集：※1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
北师大版八年级下册数学[《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b-=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、（2016•长春模拟）先将代数式因式分解，再求值：()()222x a y a ---，其中05152a .,x .,y ===-．【思路点拨】原式变形后，提取公因式化为积的形式，将字母的值代入计算即可．【答案与解析】解：原式=()()()()22222x a y a a x y -+-=-+，当05152a .,x .,y ===-时，原式=()()0523215..-⨯-=-.【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值．【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--，＝322359x x x x -+--，＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0． 【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）A ．229a y+ B ．229a y -+ C ．229a y - D ．229a y -- 【答案】C ；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码．【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x y x x y x y -=-=+-，当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．举一反三：【变式】利用因式分解计算（1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317-【答案】解：（1）16.9×18＋15.1×18＝()116.915.18⨯+ ＝13248⨯= （2）22683317-＝()()683317683317+⨯-＝1000×366＝366000．4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++；（2）222xy x y--- （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【答案与解析】解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x yx y ---=-++=-+ （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+＝()()24222x xy y x y -+=-【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全． 举一反三：【变式】（2015春•禅城区校级期末）分解因式：（1）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2（2）（x 2﹣2xy+y 2）+（﹣2x+2y ）+1．【答案】解：（1）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2=（a 2+b 2+2ab ）（a 2+b 2﹣2ab ）=（a+b ）2（a ﹣b ）2；（2）（x 2﹣2xy+y 2）+（﹣2x+2y ）+1=（x ﹣y ）2﹣2（x ﹣y ）+1 =（x ﹣y ﹣1）2．5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x x x x +++-．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿； （2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+． 【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；（2）根据（1）的结论直接作答．【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++ ②()()271234y y y y -+=--【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2．（1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系；（2）指出A 与C 哪个大？说明理由．解：（1）B －A ＝()21a -＋2＞0，所以B ＞A ；（2）C －A ＝25192a a a +---，＝2421a a +-，＝()()73a a +-．因为a ＞2，所以a ＋7＞0，从而当2＜a ＜3时，A ＞C ；当a ＝3时，A ＝C ；当a ＞3时，A ＜C ．。
北师版 八下 因式分解及分式、分式必备知识
北师版八下因式分解及分式、
分式必备知识
【知识点一】因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式；
考点：
因式分解（化和为积）和整式乘法（化积为和）是一个互逆的过程；
【知识点二】因式分解三大原则
(1）因式分解左右恒等；
(2）一定是化和为积；
(3）必须为整式；
【知识点三】因式分解6个要求
(1）在有理数范围内分解；例：x²-2
(2）因式分解到不能分解为止；例：x⁴-81
(3）分数系数要提出；例：¼x²-1
(4）单项式在前-多项式在后；例：a(a+1)
(5）首项不为负；例：-ab²-a
(6）相同因式写成幂形式；例：(x+1)(x+1）口诀：
首项不为负，分母要提出。
单项要在多项前，分解要完全。
相同因式写成幂，结果要是有理数。
北师大版八年级下册第五章分式与分式方程
一、二、三、四、 认识分一般地，用有字母，那分式的基本分式的值不把一个分式分子和分母分式的两个分式相母；b d a c ⋅两个分乘．b a ÷分式的同分母的分异分母的分加减法法则异分母的分 分式方
分母中含有使得原分式分式
用A 、B 表那么称A B
本性质：分不变．（b a 式的分子和母没有公因的乘除法相乘，把分bd ac
=式相除，d b c b c a d a
=⋅=的加减法
分式相加减分式相加减则进行计算分式化为同方程有未知数的式方程的分北师大第五章表示两个整为分式．式的分子与b m a m ⋅=⋅，b a 和分母的公因因式的分式称分子相乘的积把除式bc ad 减，分母不变减，先通分，算．b d a c ±同分母的分式的方程叫做分分母为零的整大版八年分式与分式，A B ÷与分母都乘b m a m
÷=÷(因式约去，称为最简分积作为积的的分子和变，把分子，化为同分bc ad ac ac =±=式的过程称分式方程．
整式方程的级下册
分式方程可以表示成（或除以）同)0m ≠） 这种变形称分式．
的分子，把分分母颠倒子相加减．分母的分式，bc ad ac
±称为分式的通的根称为原方 成
A B 的形式同一个不等称为分式的分母相乘的位置后再b c b a a
±=，然后再按通分．（最简方程的增根式．如果B 中等于零的整式的约分．的积作为积的与被除c a ±按同分母分式简公分母）
根．中含式，
的分
式相
式的。
八年级因式分解分式与分式方程
因式分解、分式复习一、知识梳理知识点一 因式分解1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
4．分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3C ．mx —my 与 ny —nxD ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）22222222.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+4. 分解因式：x 2+2xy+y 2－4 =_____5. 分解因式：（1）()229=n ；()222=a（2）22x y -= ；（3）22259x y -= ； （4）22()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式222222.1(1)(1) ;.14(12)(12).8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：（1）33x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；（4）()()2342x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
北师大版八年级下册数学知识点必看
北师大版八年级下册数学知识点必看求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。
每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，也是要记、要背、要讲练的。
下面是小编给大家整理的一些北师大版八年级下册数学知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。
北师大版初二数学下册知识点归纳第一章分式1分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变2分式的运算(1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3整数指数幂的加减乘除法4分式方程及其解法第二章反比例函数1反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x(k不为0)性质：两支的增减性相同;2反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
第四章四边形1平行四边形性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。
2特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形(1)矩形性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等;矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
(2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。
八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版
八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版第三章分式一、分式1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2、整式和分式统称为有理式,即有:3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.二、分式的乘除法1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.2、分式乘方,把分子、分母分别乘方.逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.三、分式的加减法1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2、分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:3、概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.四、分式方程1、解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2、列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.。
北师大版八年级下册数学 第五章 分式与分式方程(知识点)
第五章分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成AB的形式。
如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
分式需要满足的三个条件：（1）是形如AB的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。
分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
字母表示：AB =A·CB·C，AB=A÷CB÷C(C≠0，其中A,B,C均是整式)运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。
3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。
字母表示：AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即A·CB·C =AB（C为整式且C≠0）.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
用字母表示：将AB 和CD通分，AB=A·DB·D，CD=B·CB·D（分母都为B·D）。
通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。
北师大版初二期末复习因式分解、分式专题
北师大版2012—2013学年度期末复习数学因式分解、分式专题复习1【知识梳理】1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．2.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a ab b a b±+=±2()a b a b a b-=+-；2223．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．4．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（）A. a＋23a2B. 3a－2C. 2•36D.6a 2÷223a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）m 平方 -m ÷m +2 结果A ．mB ．m 2C ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是() A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+ 【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是，第n 个“广”字中的棋子个数是【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ，_____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（－，＋）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ．3. 已知1.6109，4103，则a 22( )A. 2107B. 41014C.3.2105 D. 3.21014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =--=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．2【知识梳理】1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA 叫做分式．2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分：3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．【例题精讲】1．化简：2222111x x x x x x -+-÷-+2．先化简，再求值：22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =．3．先化简11112-÷-+x x x ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．4．解下列方程（1）013522=--+x x x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【当堂检测】1．当99a =时，分式211a a --的值是 ．2．当x 时，分式112--x x 有意义；当x 时，该式的值为0．3．计算22()ab ab 的结果为 ．4. ．若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 25．若分式32-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x y x 4y 5x y x 4xy5x y 2xy x 2222-+-+÷-++的值7．先化简，再求值：4x x 16x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x8.解分式方程． (1)22011x x x -=+- (2)x 2)3(x 22x x -=--；(3)11322x x x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+--北师大版2012—2013学年度期末复习 数学因式分解、分式 试题检测一、填空题：1、()229=n ；()222=a ；c a b a m m ++1＝ 。
北师大版八下数学《分式与分式方程》知识要点回顾
《分式与分式方程》知识要点回顾《分式与分式方程》一章的主要内容是分式的概念、分式的基本性质及其运算、可化为一元一次方程的分式方程和列简单的分式方程解应用题．这些知识都是学习数学的基础内容，为了帮助同学们能够不够好地掌握这些知识，现将这一章的重点再来一次回顾．一、知识要点回顾1、分式的概念：形如AB（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．其中A叫做分式的分子，B•叫做分式的分母．整式和分式统称有理数，即有理式⎧⎨⎩整式,分式.2、分式的基本性质：分式的这一基本性质可类比分数的基本性质而得到，但又区别于分数的基本性质．3、约分：约分是根据分式的基本性质，分子、分母都同除以最大公约式，化成最简分式．约分后，分子与分母不再有公因式．我们把这样的分式称为最简分式．公因式：①系数取最大公约数；②字母取相同字母；③相同字母取最低次幂．4、通分：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式．通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂作为公分母，叫做最简公分母．最简公分母：①系数取最小公倍数；②字母取所有字母；③取所有字母的最高次幂．特别强调：为确定最简公分母，通常先将各分母分解因式．5、分式的乘除：类似分数乘除法法则即可得出分式乘除法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除数相乘．6、同分母的分式的加减法法则：同分母的分式的加减法，只要把分子相加减，而分母不变．异分母的分式的加减法法则异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减．分式的混合运算类似分数的混合运算法则．7、分式方程：含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．解分式方程，类似于解一元一次方程的去分母，把分式方程两边同时乘以最简公分母，约去分母得到整式方程，解这个整式方程．8、关于增根：①增根：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不适合原方程的解（或根），这种根通常称为增根．②解分式方程时必须进行检验．③为什么会产生增根呢？对于原分式方程来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但方程变形后得到的整式方程则没有这个要求，如果所得整式方程的某个根使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式的值为零，这就不适合原方程，即是原方程的增根．④分式方程怎样检验？将方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，如果为零，即为增根．9、可化为一元一次方程的分式方程的应用同整式方程的应用一样，首先分析题意，假设一个未知量x，根据题意列出分式方程，并解出这个分式方程，检验是不是原方程的根且是否符合题意，并答．步骤如下：①审清题意；②设未知数；③根据题意中数量关系列出式子，找出相等关系列出分式方程；④解分式方程，并验根；⑤看方程的解是否符合题意；⑥写出答案。
北师大版数学八年级下第三章、分式复习讲义(二)分式方程
教师：老师 学生： 日期：北师大版数学八年级下第三章、分式复习讲义（二）3.4.1、分式方程 第一部分、知识要点1、定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程。
分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。
未知数在分母的方程是分式方程。
未知数不在分母的方程是整式方程。
前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？2、解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。
说明：对于分式方程来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。
如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说，使变形时所乘的整式的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。
因此，解分式方程必须验根。
如何验根：将整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为0，如果为0即为增根。
3、解分式方程的一般步骤是：1.在方程两边同乘以最简公分母，化成 方程；2.解这个 方程；3.检验：把 方程的根代入 。
如果值 ，就是原方程的根；如果值 ，就是增根，应当 。
第二部分、典例分析例1：下列不是分式方程的是 （ ） A 、xx x 11-= B 、()111=+-x x xC 、2112=-+xx x D 、()x x =+-1121变式训练1-1：下列关于x 的方程中，不是分式方程的是 （ ） A 、ab a a x +=+1 B 、xa bxb a+=-11 C 、bx aa x 1-=+ D 、1=-+++-nx m x mx n x例2：解方程：（1）()531222x xx x -=-- （2）2324111x x x +=+--变式训练2-1：（2011四川自贡，20，8分）解方程：23111y y y y-+=-变式训练2-2：解方程（1）214111x x x +-=-- （2）()()31112x x x x -=--+变式训练2-3：当x = 时代数式2234x x x +-与22449x x x -+-的值互为倒数。
初二数学北师大版下册数学知识点总结
初二数学北师大版下册数学知识点总结一、三角形的证明1、等腰三角形（1）性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。
（2）判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
2、等边三角形（1）性质：等边三角形的三条边都相等；等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°。
（2）判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
3、直角三角形（1）性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（2）判定：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
4、反证法先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
二、一元一次不等式与一元一次不等式组1、不等式的基本性质（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
2、一元一次不等式（1）定义：只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。
（2）解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
3、一元一次不等式组（1）定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
（2）解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。
（3）解不等式组：分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后找出它们的公共部分。
北师大版八年级下因式分解、分式与分式方程知识点(上传版),推荐文档
因式分解一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．因式分解与整式乘法互为逆变形：整式的乘积m(a b c) 因式?分解ma mb mc式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法．分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法，如还不能，就试用分组分解法或其它方法．注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式．在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式．二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面．确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．三、公式法平方差公式：a2 b2 (a b)( a b)①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：a2 2ab b2 (a b) 2a2 2ab b2 (a b)2①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：3 a b3 (a b)(a2ab b2)3 a b3(a b)(a2ab b2)(a b)3 3 a3a2b3ab2;b3(a b)3a33a 2b3ab2b3(a b c)2a2 b2c22ab 2ac 2bc四、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式ax bx c ,若可以分解，则一定可以写成(a i x G)(a2X C2)的形式, 它的系数可以写成aiC1，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a2 C22a, b, c,使得：qa2a, c1c2c, a1c2a2c1b, x (a b)x ab (x a)(x b).若b2 4ac不是一个平方数，那么二次三项式ax2 bx c就不能在有理数范围内分解 .五、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.分式与分式方程一、分式的基本概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式.一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子△叫做分式.B整式与分式统称为有理式.在理解分式的概念时，注意以下三点：①分式的分母中必然含有字母；②分式的分母的值不为0；③分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.二、分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0,故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意三、分式的值为零四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是 m 0;②强调同时”分子分母都要乘以或者除以同一个非零”的数字或者整式;③分式的基本性质是约分和通分的理论依据. 五、分式的乘除分式的乘法:分式的除法:六、分式的乘方整数指数幕运算性质:①a m a上述性质用公式可表示为： a ,- b bm b 电卫(m 0).b m义.如：分式1 ,当x 0时，分式有意义；当xx 0时，分式无意义.分式的值为零时，必须满足分式的分子为零,且分式的分母不能为零，注意是 同时”分式的乘方:(b )n a a a L - b4b 砂 n 个 64 7个 雄n HLf n 为正整数). 14 23 b 个n 为整数）； ②(a m )n n 为整数）；③（ab ）n a n b n （n 为整数）；④a m n m n /a a (a 0， m 、 n 为整数）.负整指数幕：一般地，当n 是正整数时，a n 丄（a a0)，即 a n ( a 0）是a n 的倒数. 七、分式的加减运算法则同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减，空异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式再加减, ad bc ad bcbd bd bd最简公分母：确定最简公分母的一般步骤:①取各分母系数的最小公倍数；②所出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的. 在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商．八、分式的混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在九、分式方程及其求解分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程求解步骤：①方程左右两边时乘最简公分母，化为整式方程；②解整式方程，得到x 具体的值；③检验，将值代入最简公分母，若最简公分母为零，此值为增根；否则为方程的根增根产生的原因：分式分母不能为零，而分式方程转化为整式方程后，最简公分母为零可能使方程成立．十、分式方程应用题分式方程应用题步骤：析、设、列、解、验．分式方程应用题验根：既要检验方程的根是否是增根，还应考虑题目中的实际意义．。
八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版
八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版第三章分式一、分式1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2、整式和分式统称为有理式,即有:3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式,分式的值不变.4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.二、分式的乘除法1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.2、分式乘方,把分子、分母分别乘方.逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.三、分式的加减法1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2、分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:3、概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.四、分式方程1、解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2、列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.。
八年级数学下册第五章分式与分式方程知识点归纳新版北师大版
第五章 分式与分式方程1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 或 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ）注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则 C B C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷=分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为 注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5.分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
(完整版)新版北师大八年级下数学第五章分式与分式方程知识点总结
第五章：分式与分式方程5.1认识分式一般地，用,A B 表示两个整式，A B ÷可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.例1， 下列各式中哪些是整式？哪些是分式？211(1);;(3);(4);2242b a b x xy x y a x ++-+- (2) 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值保持不变. 这一性质可以用式子表示为：,(0)b b m b b m m a a m a a m⋅÷==≠⋅÷. 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.例2， 化简下列分式 2225(1);;20xy a ab x y b ab++ (2) 在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或是整式.5.2分式的乘除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘. 这一法则可以用式子表示为：;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad⋅=÷=⋅= . 例3， 计算2222244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y+-+÷÷---+ (2) 5.3分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 这一法则可以用式子表示为：b c b c a a a±±=. 例4，计算222(1);(2);(3);22a b x y m n n n a b b a x y y x n m n m n m++++-------- 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作为它们的共同分母.异分母分式的加减法法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 这一法则可以用式子表示为：;b d bc ad bc ad a c ac ac ac±±=±= 例5，计算22111(1);(2);(3);423332a b a a a x x a b--+---+ 5.4分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就好了，如果使原方程中分式的分母的值等于零，则舍去此根.例7， 解方程 653121(1);(2)1;(3)2;1(1)4433x x y x x x x x y y+--=+==-++---- 。
北师大版八年级数学下知识点汇总
全册知识点总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质：定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法四、直角三角形1 、直角三角形的性质直角三角形的两锐角互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2 、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3 、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线、角平分线1 、线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2 、角平分线。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组1..定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
2.. 基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.（注：移项要变号，但不等号不变）性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,< span="">说明：比较大小: 作差法a>b <===> a- b> 0a=b <===> a- b= 0 a<b <===> a- b< 03.. 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解4.. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
北师大版初二数学下册分式与分式方程知识点梳理
第五章分式与分式方程复习总结第一课时知识点梳理肇州三中黄国庆教学目标1•将本章知识点形成知识脉络。
2. 培养学生如何建立完整的知识体系的能力。
教学重点1. 分式的概念及其基本性质。
2. 分式的运算法则。
3. 分式方程的概念、解法。
教学难点分式的运算及分式方程的解法.教学过程一、知识点梳理：1. 分式的定义：如果A B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。
B1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母2）分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。
3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示A^C I A-C其中A B、C为整式（C 0）B BC B B C注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C M0,以及隐含的B M0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幕的积做公分母，它叫做最简公分母4. 分式的运算:1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，与被除式相乘a c ac a c ad ad■b d bd b d be be3）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减a b a b a c ad be ad be c c c ，b d bd bd bd5. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程 分式方程。
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因式分解
一、基本概念
因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这
个多项式分解因式．
因式分解与整式乘法互为逆变形：
()m a b c ma mb mc ++++ƒ
整式的乘积因式分解
式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．
因式分解的常用方法：
提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法．
分解因式的一般步骤：
如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法，如还不能，就试用分组分解法或其它方法．
注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；
②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；
④相同的因式的积要写成幂的形式．
在分解因式时，结果的形式要求：
①没有大括号和中括号；
②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式．
二、提公因式法
提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面． 确定公因式的方法：
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．
三、公式法
平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+
2222()a ab b a b -+=-
①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 一些需要了解的公式：
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-
2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++
四、十字相乘法
十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成
12
a a 1
2
c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++． 若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解．
五、分组分解
分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这
就是分组分解法．
分式与分式方程
一、分式的基本概念
当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A
B
叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点：
①分式的分母中必然含有字母； ②分式的分母的值不为0；
③分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．
二、分式有意义的条件
两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意
义．
如：分式
1
x
，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 三、分式的值为零
分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．
四、分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：
a am
b bm =
，a a m
b b m
÷=÷(0m ≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；
②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．
五、分式的乘除
分式的乘法：a c a c
b d b d
⋅⋅=⋅．
分式的除法：
a c a d a d
b d b
c b c
⋅÷=⨯=
⋅． 六、分式的乘方
分式的乘方：()n n
n n n a a a a a a a a b b b b b b b b
⋅=⋅=⋅64748
L L L 1424314243个个
n 个
＝(n 为正整数)．
整数指数幂运算性质：
①m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)； ②()m n mn a a =(m 、n 为整数)； ③()n n n ab a b =(n 为整数)；
④m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)．
负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n
a a -=
(0a ≠)，即n a -(0
a ≠)是n
a 的倒数． 七、分式的加减运算法则
同分母分式相加减:分母不变，把分子相加减，a b a b
c
c
c
+±=
． 异分母分式相加减:先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=
． 最简公分母：确定最简公分母的一般步骤：
①取各分母系数的最小公倍数；
②所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；
③相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商．
八、分式的混合运算的运算顺序
先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在．九、分式方程及其求解
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程求解步骤：
①方程左右两边时乘最简公分母，化为整式方程；
x具体的值；
②解整式方程，得到
③检验，将值代入最简公分母，若最简公分母为零，此值为增根；否则为方程的根．
增根产生的原因：分式分母不能为零，而分式方程转化为整式方程后，最简公分母为零可能使方程成立．
十、分式方程应用题
分式方程应用题步骤：析、设、列、解、验．
分式方程应用题验根：既要检验方程的根是否是增根，还应考虑题目中的实际意义．。