相似理论与模型试验

vi v1 v2 （2-4） v1 v2 vi
图2-4 速度相似如辅之以加速度相似，则可笼统的称为运动学 相似
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除此而外，就独立的物理变量而言，还有压力相似、温 度相似、浓度相似等多种。 综上所述，可知在作相似分析时，如式（2-1）~（2-4） 所示的一类相似条件是十分重要的，其中ci , cl , c f , cv 等，可统 称为相似常数。
t3 t1 t2 ' ' ct 常数 ' t1 t2 t3
（2-1）
图2-2
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力相似 力相似是指力场的几何相似，它表现为所有对应点 上的作用力都有各相一致的方向，而其大小则相应地成比例。 可举具有几何相似的索多边形的两个变截面梁为例（图2-3）。 图中，力相似可用下二公式表示
相似理论与模型实验
授课对象：研究生 授课教师：严仁军 二О一四年十月
引 言
1.人们对自然规律的不倦探索
在古代，人们以初等数学为工具从量的方面来探索自然界 的规律性。但初等数学以研究常量为主，只能研究事物在静 止状态下的规律性，这就大大限制了它在客观世界中被利用 的范围。 高等数学的出现，是人们认识客观世界的一个飞跃，也是 探索自然规律的一种有力工具。但自然界的现象毕竟是错综 复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或 根本无法解决，于是逼使人们不得不走直接实验的道路。
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④ 模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不 能直接研究的实物对象的性能。 ⑤当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了 现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。 目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工 程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用 前景。
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相似理论的作用如此，就必须首先从理论上说： 1.相似现象具有什么性质；2.个别现象的研究结果如 何推广到所有相似的现象中去；3.满足说明条件才能 实现现象相似。弄清楚这些问题，才能相应解答模型 试验中的这样几个问题：1.模型试验需要测量哪些物 理量；2.如何整理实验结果，使之推广到原型等相似 现象中去；3.模型试验应遵守什么条件。
模型试验的意义，可从五个方面加以说明： ①模型试验作为一种研究手段，可以严格控制试验对象的主 要参数而不受外界条件和自然条件的限制，做到结果准确。 ② 模型试验有利于在复杂的试验过程中突出主要矛盾，便 于把握、发现现象的内在联系。并且有时可用来对原型所得 结论进行校验。 ③ 由于模型与原型相比，尺寸一般都是按比例缩小的。故 制造加工容易，装拆方便，试验人员少，较之实物试验，能 节省资金、人力和时间。
l3 l1 l2 ' ' cl 常数 ' （2-2） l1 l2 l3 f1 f2 （2-3） c 常数 f f1' f 2'
力相似又称动力学相似。
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图2-3
速度相似 速度相似是指速度场的几何相似，它表现为 各对应点、对应时刻上的向量方向一致，而大小成比例。 可举不同直径的圆管内液体的层流运动为例（图2-4）。 图中，速度相似用公式表示，即
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实际上，取决于现象的运动学特征，在几何学、动 力学相似得以实现的情况下，运动学未必相似，这时就 有必要控制运动学参量的数值范围，将其影响缩减至最 小，或予以忽略。这一点，对于今后用相似理论和模型 试验来解决实际问题（其中特别是复杂现象的相似问 题），具有指导意义。 在一般场合下，当谈到几何相似时，都是指的初等 几何相似。 现象除了以上三类相似，还包含有材料或介质特性 等一类物理学的相似。但由于在它们的测量单位中包含 有几何参量、运动学参量和动力学参量的量纲成分，所 以从概念上说，此类相似不能自成范畴，只能被列作模 型设计条件或设计的相似性要求，或构成其中的一种成 分。
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推而广之，各种物理现象也都可以实现相似。它们的 各种物理量（如时间、力、速度等）都可以抽象为二维、 三维或多维空间（即超空间）的坐标，从而把现象相似简 化为一般的几何学问题。
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下面举例说明各种物理量相似的定义。 时间相似 时间相似是指对应的时间间隔成比例，可举内燃 机的两个相仿的压力指示图为例（图2-2）。图中，时间相似 用公式表示，即
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它们之间方程式和初始相似性在于： 机械系统
电路系统
y ky F (t ) m y y 0 t 0时，y y0 , y
Rq Cq E(t ) Lq q 0 t 0时，q q0 , q
（1-1）
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根据这个定义，为了利用一个模型，当然有必要在模型 与原型间满足某种关系。这种关系称为模型设计条件，或系 统的相似性要求。 由此可见，相似理论与模型试验的关系是十分密切的， 是整个问题的两个组成部分。在人类长期、广泛的实践活动 中，二者是相辅相成、相得益彰，促成了整门学科的发展。
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3.模型试验的意义和现状
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二、相似的概念
2.1各种物理量的相似
相似这一概念，是从初等几何学借用过来的。 例如两个三角形（图2-1），如果对应的角各各相等，或对应 的边保持相同的比例，则称两个三角形相似。 这是平面相似问题，属于 这类问题的，还有各种多边 形、圆、椭圆等。
图2-1
空间也可以实现几何相似。如三角锥、立方体、长方体、 球、椭圆等的相似都属于空间相似。
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三、相似三定理
相似理论的理论基础是相似三定理。相似三定理 的实用意义在于指导模型的设计及有关实验数据的处 理和推广，并在特定情况下，根据经过处理的数据， 提供建立微分方程的指示。对于一些复杂的物理现象， 相似理论还进一步帮助人们科学而简捷地去建立一些 经验性的指导方程。工程上的许多经验公式，就是由 此而得。
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但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性， 在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓 住现象的全部本质，从而无法向实验条件范围以外的同类现象 推广。 但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究 的全新理论——“相似理论”，便应运而生了。它是把数学解 析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中 的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程 问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。
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2.相似理论与模型试验
相似理论 —— 是说明自然界和工程中各种相似现象相似 原理的学说。它的理论基础，是关于相似的三个定理。 以相似理论为指导，形成研究自然界和工程中各种相似 现象的新方法，即所谓的“相似方法”。 “相似方法”——是一种可以把个别现象的研究成果， 推广到所有相似的现象上去的科学方法。 “模拟” —— 一般情况是指在实验室条件下，用缩小的 （特殊情况下也有放大的）模型来进行现象的研究。
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这样，又引伸出“模型试验”的概念。 模型试验是相似方法的重要内容。在近代科学研究设计 工作中，起着很重要的作用， 从相似理论的角度出发，“模型”——是与物理系统密 切有关的装置，通过对它的观察与试验，可以在需要的方面 精确地预测系统的性能。这个被预测的物理系统，通常被叫 做“原型”。
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例如，热力设备中的各种现象，如流体的运动，热量的 交换等，都伴随着许多物理量的变化。对于这种伴随有许多 物理量变化的现象，相似是指表述此种现象的所有物理量在 空间相对应的各点及时间上相对应的各瞬间各自互成一定的 比例关系，并且被约束在一定的数学关系之中。 在土壤—机器系统中，各种现象，如拖拉机（或汽车、 机械工程、坦克等）的驱动力矩、滑转率、下陷深度、滚动 阻力等的变化，也都首先被许多自变物理量，诸如土壤抗剪 强度τ，承载能力p，外附力a，内聚力c，内摩擦角φ以及湿 度ω等的变化所决定的。它们的相似，自然也要把各种物理 量抽象为多维空间的坐标，使之在相对应的点和相对应的时 刻上各自互成一定的比例关系。但它们的相似内容和相似条 件较之式（2-1）-（2-4）所示的一类相似，要复杂的多，因 此给模型研究带来了许多新的内容和问题。
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3.1 相似第一定理（相似正定理） 相似第一定理可表述为—对相似的现象，其相似指标等于1。 或—对相似的现象，其相似准则的数值相同。 它是说明相似现象的性质，也是现象相似的必然结果。 相似现象的相似性质： ① 相似现象能为文字上完全相同的方程组所描述。 其中大多数的物理现象，其关系方程又可用微分方程的 形式获得，如质点运动方程和力学方程分别为： dl （3-1) v
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以上谈到的各种相似基本是三大类：一般几何相似； 动力学相似和运动学相似。 结合物理物理系统各类相似的特点，三者的地位、意 义可以这样来描述：即任二系统，如果在几何学、动力 学和运动学上都达到了相似，则该二系统的性能相似。 其中，几何学相似较易通过人为的努力实现，而运动学 相似又是随着几何学相似和动力学相似而得到表现的。 因此，三类相似动力学相似是关键。凡是在几何相似 条件下由动力学相似获得的解，理应满足运动学相似。
2 2 2 2 2 2
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下面以单自由度振动系统的电模拟法为例来说明这个问题。
图1-1
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右边代表一个 L — R — C 串联电路，现在要由它来模拟左边 由k，m，μ组成的单自由度振动系统。 作为它们一一对比的量是： 电感L质量m 电阻R阻尼μ 电容C弹簧k 外加电压E 外力F， 电荷q 位移y， ( q ——单位时间的电荷变化量，即为电流I。)
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2.现象相似与物理量相似的关系
物理量蕴于现象之中，现象的相似是通过多种物理量 的相似来表现的。由于用来表示现象特征的各种物理量， 一般来说是不孤立的、互不关联的，而是处在为自然规律 所决定的一定关系之中，所以各种相似常数的大小，是不 能随意选择的。由于在许多情况下，这种关系表现为数学 方程的形式，并且当现象相似时，这些方程又具有同一的 形式，因而便决定了在各相似常数间必定存在着某种数学 上的约束关系，或数学联系。
（1-2）
所以，只要适当地选择各种物理量和初始条件，就能使y(t) 和 q(t) 在对应的时间内完全成比例地变化，因此，通过测量各 种电量就能换算出位移、速度等机械量。 类似这种电路系统， 当其适应性很强时，就是通常所说的模拟计算机。
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物理模拟和数学模拟各有其特点: 物理模拟可把具体的现象再现出来，较之数学模拟能更全 面地表现被模拟的现象。而对于复杂现象，物理模拟又不可从 根本上依赖、或根本不依赖于所说的物理方程。 反之，数学模拟由于以方程为基础，可较方便地看出各种 参量对结果的影响，进行不同现象结构的对比。指出哪一些参 量是重要的。它在实际模拟过程中易于控制，可代替对于原型 的较为繁难的数学计算和物理模拟中对于原型的较为复杂的模 型试验。这些是它的优点。 如前所述，农机 - 土壤系统由于与土壤发生关系，属于比 较复杂的物理现象，故在目前条件下，只能从物理模拟的角度 去研究它的相似性问题。
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一、物理模拟和数学模拟
物理模拟——是指基本现象相同情况下的模拟。 这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。 区别只在于各物理量的大小比例不同。因此，物理模拟也可说 成是保持物理本质一致的模拟。 （两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。
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数学模拟——是指存在于不同类型现象之间的模拟。这 时模型与原型的物理过程有本质的区别，但它们的对应量都 遵循着同样的方程式，具有数学上的相似性。 如二阶运算子:▽2= x y z 的微分方程 2 0 ，可 代表重力场、电势场、温度场等。这时，人们只要对不同的 物理量建立起一一对应关系，便可用一个现象去类比另一不 同现象的解。 在工程中，常用电场来模拟温度场、材料的应力场和有 限自由度的振动系统；用导热现象来模拟分子的扩散现象； 以及在同一拉普拉斯方程指导下，用电解槽各点的点位来模 拟不可压缩无粘性流体的运动、柱状弹性杆的自由扭转、薄 膜的变形和一些热传导的问题。诸如此类的问题，都是数学 模拟的实际例子。