卷积码编码原理的解释

(5)
ξ
n=0
g2 ( n) = { 1 1 1}
(6)
ξ
n=0
因为
Y1 ( z) = X ( z) G1 ( z) = X ( z) + X ( z) z - 2 Y2 ( z) = X ( z) G2 ( z)
= X ( z) + X ( z) z- 1 + X ( z) z- 2
所以上面两个方程可用图 2 所示的系统实现 。
第 29 卷 第 4 期 2007 年 8 月
电气电子教学学报 J OU RNAL O F EEE
Vol . 29 No . 4 Aug. 2007
卷积码编码原理的解释
丁志中 ,蒋建国 ,夏 娜
(合肥工业大学 计算机与信息学院 ,安徽 合肥 230009)
摘 要 :现有的信息论与编码教材在介绍卷积码编码时通常是直接给出码的生成多项式或编码器的移位寄存器实现 ,没有将编码原理和卷积
但是输入的信源消息序列和编码输出的码序列都应 该是单路的 ,因此卷积码编码器的输入端包括一个 串 - 并转换开关 。将串行的 k 位信息位变为 k 路并 行输出 ,输出端包括一个并 - 串转换开关 ,将 n 位并 行的码元变为 n 位串行的码序列 。
(4) 信道编码器是通过增加冗余度提高通信的 可靠性 ,因此在卷积码编码器中一定有 n > k 。
收稿日期 :2007 - 03 - 21 ;修回日期 :2007 - 05 - 29 作者简介 :丁志中〔1961 - 〕,男 ,安徽芜湖人 ,副教授 ,博士 ,主要从事通信与信息处理等方面的研究
蒋建国 (1955 - ) ,男 ,安徽屯溪人 ,教授 ,硕士 ,主要从事分布式智能系统 、DSP 技术应用等方面的研究 夏 娜 (1979 - ) ,男 , 安徽芜湖人 ,副教授 ,博士 ,主要从事分布式人工智能 、智能信息处理等方面的研究
( S chool of Com p uter an d I nf ormation , Hef ei Uni versit y of Technolog y , Hef ei 230009 , Chi na)
Abstract :In t he p ublished text boo ks of t he t heory of informatio n and coding ,normally t he generating poly2 no mial s of t he coder , or t he coder’s implementatio n by shif t2register are int roduced directly. However , t he relatio nship of t he coder wit h t he co nvolutio n is not mentio ned. In t his paper , t he shif t2register imple2 mentatio n of co nvolutio nal coder is int roduced f ro m t he viewpoint of discrete2time system. This leads to an easy 2 to 2 understand statement for t he topics such as what is polyno mial generator mat rix , and why it is important . A met ho d of finding code sequence f ro m t he co mp utatio n of discrete2time co nvolutio n is also p resented. By doing so , t he p rinciple of co nvolutio nal coding and t he meaning of co nvolutio n are explained mo re relevantly. Keywords :co nvolutio nal coder ;channel co ding ;informatio n t heory ;discrete2time system
G11 x G12 ( x) … G1n ( x)
G21 x G22 ( x) … G2n ( x)
G( x) = ⁝
⁝ω ⁝
(14)
Gk1 x Gk2 ( x) … Gkn ( x) 例如 ,参见式 (3) 和式 (4) ,对应于图 6 编码器的生成
相联系 。本文从离散时间系统引出卷积码编码器的移位寄存器实现 ,深入浅出地阐明了码生成多项式矩阵的由来及其重要性 ,同时采用计算
离散时间序列卷积的方法求解编码输出序列 ,从而对卷积码编码的原理以及卷积二字的含义给予了更精准的解释和验证 。
关键词 :卷积码编码器 ;信道编码 ;信息论 ;离散时间系统
中图分类号 : TN911
根据上述转换方法 ,由图 3 和图 4 离散系统构 成的卷积码编码器分别如图 6 和图 7 所示 。
图 4 2 输入 3 输出系统的实现
2) 卷积码编码器的移位寄存器表示 如果上述离散时间系统的 k 路输入是待编码的 k 位消息序列 , n 路输出是 n 位编码序列 , 则一个离 散时间系统就构成了一个 ( n , k) 卷积码编码器 。由 于系统输入和输出之间的关系是卷积关系 ,因此不 难理解为什么这类编码器称为卷积码编码器 。但是 从离散时间系统角度理解卷积码编码器时 ,应该注 意到两者之间的区别 : (1) 离散系统的输入输出信号取值为实数域 ,即为 连续取值。但在编码器中输入输出序列的取值是离散 的有限状态取值 ,例如在二进制中取值只能为{0 , 1} 。 因此在卷积码编码器中的求和或加法运算只能是“模 2 加”运算 。这一点是两者之间的重要区别 。 (2) 延时单元的硬件电路实现一般是移位寄存 器 ,移位寄存器通常有自己的习惯表示方法 。例如图 5 (a) 的延时单元系统 ,用移位寄存器表示则为图 5 (b) 的形式 ,注意移位寄存器的第 1 单元输出为无延时输 出。为了和编码器生成多项式相对应 ,将 z- 1 改为标 注 x 的幂次 (这里的 x 不是输入序列 x ) 。两种表示本 质上是一致的 ,仅仅是表示方式上的区别。
图 1 单输入双输出系统
系统输入和输出之间的关系可以用 z 域或时域 表示如下 :
Y1 ( z) = X ( z) G1 ( z) (1)
Y2 ( z) = X ( z) G2 ( z)
或
y1 ( n) = x ( n) 3 g1 ( n) (2)
y2 ( n) = x ( n) 3 g2 ( n) 其中 3 表示卷积运算 。
上式可以写成矩阵形式
Y( z) = X( z) G( z)
(8)
其中
Y( z) = [ Y1 ( z) , Y2 ( z) , Y3 ( z) ]
(9)ห้องสมุดไป่ตู้
X( z) = [ X1 ( z) , X2 ( z) ]
(10)
G11 ( z) G( z) =
G21 ( z)
G12 ( z) G22 ( z)
文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 0686 (2007) 04 - 0021 - 04
Explanation about the Principle of Convolutional Coding
D ING Zhi2zhong , JIANG Jian2guo , XIA Na
码器一般是多输入多输出系统 ,因此其系统函数应
该是类似式 (11) 的函数矩阵形式 ,在卷积码编码器
中称为生成矩阵 。给定了生成矩阵 ,就给定了卷积 码编码器 ,当知道信源消息序列时 ,可以由生成矩阵
完成序列的编码 。
将式(11) 中的变量 z 换为 x ,则可得生成矩阵 ,一
个( n, k) 卷积码编码器的生成矩阵具有如下的形式
本文从离散时间系统引出卷积码编码器 ,深入 浅出地阐明了码生成多项式 (矩阵) 的得来及其重要 性 ,同时采用计算离散卷积的方法求出编码输出序 列 ,从而对卷积码编码器“卷积”二字的含义给予了 更精准的解释和验证 。
1 卷积码编码原理的解释
1) 离散时间系统的表示 一个单输入双输出的离散时间系统可以用图 1 所示的框图表示 。
(13)
第4期
丁志中 ,蒋建国等 :卷积码编码原理的解释
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和前面的方法类似 ,上述方程可用图 4 所示的 系统实现 ,同时可以归纳出如下两项规则 :
(1) 输入路数 (即 G( z) 矩阵的行数) 等于延时分 支的路数 ,即有几路输入就画几路延迟分支 。
(2) 各分支所含延迟单元的个数等于 G( z) 中该 行 z - 1 因子的最高幂次 。
1968 年出版的《信息论和可靠通信》[1] ,1978 年 出版的《信 息 论 与 编 码 理 论》[2] ( 2002 年 第 二 版 , 2003 年国内影印版) ,1991 出版的《信息论基础》[3] (2003 年国内影印版) 都可视为国际知名教材 。卷 积码编码在文献[ 1 ]和文献 [ 2 ]中有介绍 ,但内容不 及线性分组编码丰富 。在文献 [ 3 ]中卷积码编码仅 仅被提及 ,但有一个明显的趋势是 ,近两年国内出版 的教材比早期教材更注重编码内容的介绍 。
G13 ( z) G23 ( z)
(11)
注意编码器中一般采用行矢量 , 而不是习惯中
的列矢量 。例如 ,若系统函数为
1 0 1 + z- 1
G( z) = 01
z- 1
(12)
则有
Y1 ( z) = X1 ( z) Y2 ( z) = X2 ( z) Y3 ( z) = X1 ( z) (1 + z- 1 ) + X2 ( z) z- 1
图 5 延时单元的移位寄存器表示
(3) 编码过程是通过多输入多输出系统完成的 ,
图 6 由图 3 系统构成的卷积码编码器
图 7 由图 4 系统构成的卷积码编码器
3) 卷积码编码器的生成多项式矩阵
一个离散系统由系统函数完全表征 ,当已知系
统的输入时 ,可以确定输出 。从这一角度不难理解 ,
卷积码编码器必有相应的系统函数 。由于卷积码编
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电气电子教学学报
第 29 卷
国内外文献在介绍卷积码编码时的一个共同特 点是 ,延续线性分组编码的介绍方法 。若是偏重介 绍理论的教材 ,多半是直接给出码的生成多项式 (矩 阵) ;若是偏重介绍技术的教材 ,通常是直接给出编 码器的移位寄存器实现 ;但却都没有对“卷积码编码 器”的命名理由给予应有的 、清晰的解释 。这样 ,即 使学生对线性分组编码比较熟悉 ,甚至对卷积码编 码的编译码方法都有所了解 。而对卷积码编码的原 理还是会有一种雾里看花的感觉 ,因为对该类编码 器的命名难以透彻理解 。
0 引言
自 P. Elias 首次提出卷积码编码以来 ,这一编 码技术至今仍显示出强大的生命力 ,并且它和线性 分组编码构成了当今有噪信道编码技术的主流 。卷 积码编码的提出晚于线性分组编码 ,相对而言 ,其理 论研究也较为困难 。因此 ,在众多信息论与编码教 材中 ,对卷积码编码理论的介绍也相对浅显 。
图 2 单输入双输出系统的分路实现
由于延时器的输入相同 ,所以图 2 的分路实现 可以简化为图 3 所示的系统 。
图 3 单输入双输出系统的实现
如果是多输入和多输出系统 ,其输入输出关系 和系统实现的框图表示方法类似 。例如一个 2 输入 3 输出系统的方程可以表示为
Y1 ( z) = X1 ( z) G11 ( z) + X2 ( z) G21 ( z) Y2 ( z) = X1 ( z) G12 ( z) + X2 ( z) G22 ( z) (7) Y3 ( z) = X1 ( z) G13 ( z) + X2 ( z) G23 ( z)
例如取
G1 ( z) = g1 (0) + g1 (1) z - 1 + g1 (2) z - 2
= 1 + z- 2
(3)
G2 ( z) = g2 (0) + g2 (1) z - 1 + g2 (2) z - 2
= 1 + z- 1 + z- 2
(4)
则系统的冲激响应序列为
g1 ( n) = { 1 0 1}