复变函数与积分变换重要的知识点归纳
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数与积分变换知识点
复变函数与积分变换知识点复变函数是数学中极具特色和深刻内涵的一个分支，其理论和应用不仅涉及到数学领域，也伸展至物理、工程、计算机等多个领域。
而积分变换则是复变函数中的一项重要技术，可应用于信号处理、控制系统等领域。
本文将介绍关于复变函数和积分变换的知识点。
1. 复数及其运算复数是一种拓展了实数的数学概念，其具有实部和虚部，记作z = x + yi（其中 x 和 y 均为实数，i 为虚数单位，满足 i² = -1）。
复数的加、减、乘法等运算法则与实数有所区别，例如：（1）加法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z + w = (x + u) + (y + v)i。
（2）减法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z - w = (x - u) + (y - v)i。
（3）乘法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z × w = (xu - yv) + (y u + x v)i。
（4）除法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z ÷ w = (xu + yv)/(u²+ v²) + (y u - x v)/(u² + v²)i。
2. 复变函数的概念复变函数是自变量为复数、因变量为复数的函数。
设 z = x + yi，w = u + vi，则复变函数 f(z) 的定义为： f(z) = u(x,y) + v(x,y)i （其中，u(x,y) 和 v(x,y) 均为实函数）。
复变函数的导数、积分、解析函数等概念与实函数也有所不同，例如：（1）导数：复变函数 f(z) 在点 z0 的导数定义为：f'(z0) = lim (f(z) - f(z0))/(z - z0) （其中，极限是沿着复平面中有向直线逼近 z0 时的极限）（2）积分：复变函数沿着简单曲线γ 的积分（记作∮γ f(z) dz）定义为：∮γ f(z) dz = ∫ab f(γ(t))γ'(t) dt （其中，γ(t) 为参数方程，γ'(t) 为γ(t) 的导数）（3）解析函数：对于复平面上的一个区域 D，若在 D 内的每一点都有导数，则称 f(z) 在 D 内为解析函数。
复变函数与积分变换
C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k
n
3.积分的性质
g 设 f ( z ) ， ( z ) 在曲线 C 上可积，则 C 1) C f ( z )dz C f ( z )dz ， 与 C 反向； 2) C Kf ( z )dz K C f ( z )dz，K 为常数；
习题：
1.设C是正向圆周z 1, 计算下列各积分的值。 dz dz dz 1 ） ; 2) ; 3) ; i z2 cos z c c c ( z )( z 2) 2 解：
dz 1) 0; z2 c dz 2) 0; cos z c 4i 3) 2i ; i i c ( z )( z 2) 2 i4 2 2 dz 1
z re i
z x iy
(5)代数表示:
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z z r r [cos( ) i sin( )]
1 2 1 2 1 2 1 2
5)
z1 r 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2 r i (1 2 ) 1e ． r2
2i
3.沿指定曲线计算下列各积分.
ez 1 ） z 2 dz, C : z 2 1; c ez 3) C ( z 1)( z 2) dz, C : z 3; eiz 3 2) 2 dz, C : z 2i ; z 1 2 c ez 4) 3 dz, C : z 2; C z
2 2
在区域x 0内连续，且 u v v u , 在区域x 0上成立时， 1, 2a x y x y 1 即，当a 时，函数f ( z )在区域x 0内是解析的。 2
复变函数与积分变换复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数及积分变换重点公式归纳
复变函数及积分变换重点公式归纳复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值都是复数。
复变函数可以表示为两个实变量的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量的函数。
复变函数的积分变换是指对复变函数进行积分变换，得到新的复变函数。
在复变函数的积分变换中，有一些重要的公式需要归纳，包括：1.度量公式：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其微分形式为dz=dx+idy。
根据度量公式，有dx=\frac{1}{2}(dz+d\bar{z})，dy=\frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})。
2.柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，满足柯西-黎曼方程的充要条件是u_x=v_y和u_y=-v_x。
3.柯西-黎曼积分定理：对于一个闭合曲线C，如果复变函数f(z)在C内解析（即在C内柯西-黎曼方程成立），那么有\oint_C f(z)dz=0。
4.柯西积分公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式为\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz=2\pi i f(a)，其中C是D内包围点a 的闭合曲线。
5.柯西积分公式的推广：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式的推广形式为\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz=2\pi i \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}，其中C是D内包围点a的闭合曲线。
6.柯西积分公式的应用：柯西积分公式可以用于计算复变函数的积分，如计算围道上的积分或者在无穷远处的积分等。
7.柯西主值公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西主值公式为\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PV\frac{1}{2\pii}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PVf(a)+\frac{1}{2}f(a)，其中PV表示柯西主值。
复变函数与积分变换知识点总结
复变函数与积分变换知识点总结本文主要介绍复变函数与积分变换的相关知识点，包括基本概念、公式、定理及其应用。
复变函数是数学中重要的一门学科，它涉及到多种数学领域，如数学分析、微积分、拓扑学、数论等，具有广泛的应用价值和重要性。
一、复变函数和复数复变函数是指将复数作为自变量和函数值的函数，也就是输出值为复数的函数。
在复平面上，复数可以表示为 x+yi 的形式，其中 x 和 y 分别表示实部和虚部，i 是虚数单位。
从图形上看，复数可以看成是在平面坐标系上的点，其中实部 x 对应水平方向，虚部 y 对应垂直方向。
二、重要公式和定理1. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ欧拉公式是复数理论中非常重要的公式，它表明了复数极坐标形式和直角坐标形式之间的关系。
欧拉公式常常被用来化简复数幂、求解复数方程等等。
2. 柯西-黎曼条件柯西-黎曼条件是指函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在某一点处可导的充分必要条件。
它包括两个部分：一是实部和虚部的偏导数存在且相等；二是实部和虚部的偏导数在该点处连续。
3. 洛朗级数洛朗级数是指将复变函数在一个环域上展开成为一定形式的级数，它可以看成是泰勒级数的一种推广形式。
洛朗级数可以用来处理复变函数的奇点、留数及边界值等问题。
4. 度量定理度量定理是指一个可积函数的形式化定义，它对于研究函数的特殊性质和进行积分变换有很重要的作用。
度量定理是复变函数理论中的一个基本定理，它可用来刻画单复变函数的局部和全局性质。
三、应用及例子复变函数和积分变换广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
其中，最为著名的应用包括热传导方程、电动力学、量子力学等等。
下面列举一些具体的例子：1. 应用于调制技术调制技术是指将信息信号通过某种方式转换成为载波信号，以达到传输信号的目的。
而在调制过程中，使用的正交变换中的基函数，就是一种特殊的复变函数。
2. 应用于信号处理信号处理是指对信号进行数字化、滤波、噪声抑制等一系列工作，以提高信号的质量和准确度。
复变函数与积分变换知识点
复变函数与积分变换知识点一、复变函数的基本概念与性质：1. 复数及复平面：复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中i为虚数单位。
复平面是将复数与二维平面上的点一一对应的方法表示复数。
2. 复变函数的定义：复变函数是将复数域上的数映射到复数域上的函数。
通常表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别为实部函数和虚部函数。
3. 复变函数的导数与解析函数：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若存在导数f'(z)，则称f(z)在z处可导。
若f'(z)在复平面上处处可导，则称f(z)为解析函数。
4.柯西-黎曼方程：柯西-黎曼方程是解析函数的充分必要条件，即u(x,y)和v(x,y)满足柯西-黎曼方程的偏微分方程组。
5.全纯函数与亚纯函数：全纯函数是指在区域上处处可导的函数，亚纯函数是指在其定义域上除有限个孤立点外处处为全纯函数。
二、积分变换的基本概念与性质：1.积分变换的定义：积分变换是将函数f(t)变换为函数F(s)的方法，表示为F(s)=L[f(t)]，其中L为积分变换算符。
常见的积分变换有拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
2. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将函数f(t)变换为复变函数F(s)的变换方法，定义为F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt。
拉普拉斯变换有一系列性质，如线性性、平移性、尺度变换等。
3. 傅里叶变换：傅里叶变换是将函数f(t)变换为复变函数F(ω)的变换方法，定义为F(ω)=∫(-∞,+∞)e^(-iωt)f(t)dt。
傅里叶变换也具有一系列性质，如线性性、平移性、尺度变换等。
4. 反变换：反变换是将复变函数F(s)逆变换为函数f(t)的方法。
对于拉普拉斯变换，反变换为f(t)=1/2πi∫(σ-i∞,σ+i∞)F(s)e^(st)ds；对于傅里叶变换，反变换为f(t)=1/2π∫(-∞,+∞)F(ω)e^(iωt)dω。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换知识点
一、记住1.对数函数的定义：ln (arg 2)Lnzz i z k π=++3. 柯西—古萨定理：若复变函数()f z 在正向简单闭曲线C 上处处解析，在C 的内部也处处解析，则()0Cf z dz =⎰Ñ3. 柯西积分公式：设函数()f z 在正向简单闭曲线C 上及C 内处处解析，0z 为C 内一点，则001()()2C f z f z dz i z z π=-⎰Ñ 4.δ-函数()t δ的筛选性质：00()()(0),()()()f t t dt f f t t t dt f t δδ+∞+∞-∞-∞=-=⎰⎰二．记住：1.下列函数的幂级数展开式及留数[]01Re (),s f z z C -=2341111,2!3!4!ze z z z z =+++++L 246111cos 1,2!4!6!z z z z =-+-+L357111sin ,3!5!7!z z z z z =-+-+L2. 函数()f t 的傅立叶变换的定义： [()]f t =()()i t F f t e dt ωω+∞--∞=⎰3.函数()f t 的拉普拉斯变换定义： [()]f t =0()()st F s f t e dt +∞-=⎰FL三. 记住：1.傅立叶变换的微分性质： ()[()]()()n n f t i F ωω=，其中 ()[()]F f t ω=2.卷积的定义：()()()()f t g t f g t d τττ+∞-∞*=-⎰卷积定理： [()()]()()f t g t F G ωω*=，其中()[()]F f t ω=， ()[()]G g t ω=3.指数衰减函数0,0(),0t t h t e t β-≤⎧=⎨>⎩的傅立叶变换：1[()]h t i βω=+ ，从而10,01(),0tt h t i e t ββω--≤⎧⎡⎤==⎨⎢⎥+>⎣⎦⎩ 四．利用留数定理计算下列闭曲线上的积分 五．记住1.拉普拉斯变换的微分性质2[()]()(0)(0)y t s Y s sy y '''=--[()]()(0)y t sY s y '=- 其中()[()]Y s y t =2.下列函数的拉普拉斯变换：1[]kte s k=-FFFF F FF L LL L1[()]u t s=22[sin ]kkt s k =+22[cos ]skt s k =+3.用留数求拉普拉斯逆变换：11[()]Re (),nsti i F s s F s e s -=⎡⎤=⎣⎦∑其中12,,,L n s s s 为函数()F s 的所有奇点。
复变函数与积分变换重要知识点
sin2 z 0, cos2 z 0 在复数中均不成立。
3
复变函数与积分变换复习要点
2013 年 11 月中旬至 12 月中旬
shz ez ez , chz ez ez
双曲函数
2
2；
shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz, chz 在 z 平面内解析，且 shz chz,chz shz
6 辐角：Argz 1 2k k为任意整数,其中把满足- 0 的0称为Argz的主值，
记作，0 = arg z. z 0 辐角的主值
arg
z
arctan
π, 2
arctan
y x
y
, x 0, x 0, y 0,
π, x 0, y
3! 5!
zn n!
zn (R ) n0 n!
(1)n z2n1 (2n 1)!
, (R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
1 1 z z2 (1)n zn ,| z | 1 1 z
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
n
为负整数时,
上式仍成立.
棣莫佛公式：当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin,
(cos i sin )n cos n i sin n.
方程 wn
z
的根：
w
n
z
1
rn
cos
复变函数及积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+==二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==x yyx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n er z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+=ie e z iziz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换重点公式归纳复变函数是指变量为复数的函数，可以表示为f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中z=x+iy，u(x, y)和v(x, y)为实数函数。
复变函数与实变函数（实数域上的函数）相比较，具有一些独特的性质和变换。
复变函数的基本性质有：1. 复变函数的可导性：复变函数的可导性与实变函数的可导性略有不同。
如果f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在域D上的偏导数u_x、u_y、v_x、v_y都存在，并且满足柯西-黎曼方程（u_x=v_y，u_y=-v_x），则f(z)在D上可导。
2. 柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，满足柯西-黎曼方程的函数可以表示为全纯函数，也即f'(z)=u_x+iv_x存在。
复变函数的积分变换（Integral Transform）是通过对函数进行积分变换，得到新的函数表示形式。
常见的复变函数积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换、反傅里叶变换、正变换等。
以下是复变函数积分变换中的一些重点公式：1. 拉普拉斯变换（Laplace Transform）拉普拉斯变换将函数f(t)变换为F(s)（s为复数变量）的形式，公式表示为：F(s) = ∫[0,∞] e^(-st)f(t) dt2. 逆拉普拉斯变换（Inverse Laplace Transform）逆拉普拉斯变换将函数F(s)变换为f(t)的形式，公式表示为：f(t) = 1/2πi ∫[-i∞, i∞] e^(st)F(s) ds3. 傅里叶变换（Fourier Transform）傅里叶变换将函数f(t)变换为F(ω)（ω为频率）的形式，公式表示为：F(ω) = ∫[-∞,∞] e^(-iωt)f(t) dt4. 反傅里叶变换（Inverse Fourier Transform）反傅里叶变换将函数F(ω)变换为f(t)的形式，公式表示为：f(t)=1/2π∫[-∞,∞]e^(iωt)F(ω)dω5. 正变换（Forward Transform）正变换是指从时域到频域的变换，例如：拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
复变函数积分变换复习提纲
复变函数积分变换复习提纲
一、积分变换的定义
1.复变函数积分变换的概念
2.不同积分变换的定义与区别（如拉普拉斯变换、傅立叶变换等）
二、积分变换的性质
1.线性性质：积分变换的线性性质以及相关的证明方法
2.逆变换：如何通过逆变换将变换后的函数还原为原函数
3.平移性质：积分变换中的平移性质以及具体计算方法
三、积分变换的计算方法
1.常用积分变换的计算：如拉普拉斯变换的计算步骤和方法
2.特殊函数的积分变换：如指数函数、正弦、余弦函数等
3.部分分数展开法：利用部分分数展开将复杂的函数进行积分变换
四、积分变换的性质应用
1.微分方程的解析解求解：利用积分变换可以将微分方程转化为代数方程进行求解
2.求极限：通过积分变换可以简化复杂函数的极限计算
3.求解积分：利用积分变换可以求解一些特定的积分问题
五、积分变换的应用举例
1.电路分析中的应用
2.信号与系统中的应用
3.滤波器设计中的应用
六、积分变换的常见问题与解决方法
1.变换域的收敛性与逆变换的存在性问题
2.利用积分变换求解非初值问题时需要注意的问题
3.实际问题的离散化处理：如何将连续问题转化为离散问题进行求解
七、积分变换的进一步研究与拓展
1.多变量复函数的积分变换
2.复杂函数的积分变换
3.积分变换在物理学、工程学等领域的应用
以上为复变函数积分变换的复习提纲，可以根据实际情况进行修改和补充。
希望对你的复习有所帮助！。
成人高等教育《复变函数与积分变换》复习资料
【重点归纳】(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
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复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x >arg arctanyz x=； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭L （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
注：z e 是以2i π为周期的周期函数。
（注意与实函数不同） 3） 对数函数：ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±L （多值函数）； 主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z平面处处解析，且()1lnz z'=；注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：(0)bbLnaae a =≠；(0)bbLnzze z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面处处解析，且()1b b z bz -'=。
4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+====sin ,cos z z 在z 平面解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同） 4） 双曲函数,22z z z ze e e e shz chz ---+==；shz奇函数，chz是偶函数。
,shz chz在z平面解析，且()(),shz chz chz shz ''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数1）点可导：()0f z '=()()000lim z f z z f z z∆→+∆-∆； 2）区域可导： ()f z 在区域点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域每一点解析，称()f z 在区域解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u vu vx yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂此时， 有()u v f z i xx∂∂'=+∂∂。
2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D可微，且满足C D-条件：,u vu vx yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂； 此时()u v f z i xx∂∂'=+∂∂。
注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1） 2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1． 复变函数积分的概念：()()1lim nk k c n k f z dz f z ξ→∞==∆∑⎰，c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质1） ()()1c cf z dz f z dz -=-⎰⎰ （1c -与c 的方向相反）； 2） ()()()()[],,c c c f z g z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+⎰⎰⎰是常数； 3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()12c c c f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰。
3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：()c c c f z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰；（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c ：()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()c f z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 解析，c 为B 任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰Ñ2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 解析，c 为D 任意一条简单闭曲线，12,,n c c c L 是c 的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c L为边界的区域全含于D ，则① ()cf z dz ⎰Ñ()1,knk c f z dz ==∑⎰Ñ 其中c 与k c 均取正向； ② ()0f z dz Γ=⎰Ñ，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -=L所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 解析，()G z 为()f z 在B 的一个原函数，则()()()212112(,)z z f z dz G z G z z z B =-∈⎰说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。
柯西积分公式：设()f z 在区域D 解析，c 为D 任一正向简单闭曲线，c 的部完全属于D ，0z 为c 任意一点，则()()002cf z dz if z z z π=-⎰Ñ 6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为()()()0102(1,2)()!n n c f z idz f z n z z n π+==-⎰L Ñ其中c 为()f z 的解析区域D 围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的部完全属于D 。
7．重要结论：12,010,0()n ci n dz n z a π+=⎧=⎨≠-⎩⎰Ñ。
（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线）8．复变函数积分的计算方法1）若()f z 在区域D 处处不解析，用一般积分法()()()[]c f z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2）设()f z 在区域D 解析，● c 是D 一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0c f z dz =⎰Ñ ● c 是D 的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有()()()()2121z cz f z dz f z dz F z F z ==-⎰⎰3）设()f z 在区域D 不解析 ●曲线c 仅有一个奇点：()()()()()0001022()!c n n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩⎰⎰ÑÑ（()f z 在c 解析）● 曲线c 有多于一个奇点：()cf z dz ⎰Ñ()1knk c f z dz ==∑⎰Ñ（i c 只有一个奇点k z ）或：()12Re [(),]nk k cf z dz i s f z z π==∑⎰Ñ（留数基本定理）● 若被积函数不能表示成()1()n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。
（八）解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ϕ在D 有二阶连续偏导数且满足22220x yϕϕ∂∂+=∂∂，(,)x y ϕ为D 的调和函数。