第四章集中趋势的测量..
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第四章 集中趋势测量法
本章主要内容：
集中趋势的测定方法（重、难点）
平均数、中位数、众数的比较（重点）
国家地理杂志日前推出一部影片介绍世界上最 “大众”的脸，配合其探讨人类种族的“世界70亿 人口”专题。 研究人员做出结论，地球上最“大众”的脸是28 岁的汉族男性，一共有900万人。根据这些描述， 国家地理杂志耗时10年，融合了将近20万张男性照 片，重组出“世界第一大众脸”。 影片内容描述，在全世界70亿人口中，最典型的 人是右撇子、年收入低于一万两千美元；有手机却 没有银行账户，而事实上，拥有银行账户的人低于 25%。他是男性，因为世界上男性多于女性。 世界人口的平均年龄是28岁，最大的种族则是中 国汉族。
根据分组整理的数据计算算术平均数，就要 以各组变量值出现的次数或频数为权数计算 加权的算术平均数。设原始数据被分成组， 各组的变量值为…，各组变量值的次数或频 数分别为…，则加权的算术平均数为：
x x1 f1 x2 f 2 f1 f 2 xk f k fk
x
i 1 k i 1
（二）简单算术平均数(Simple arithmetic mean) 未经分组整理的原始数据，其算术平均数的 计算就是直接将一组数据的各个数值相加除 以数值个数。设统计数据为…，则算术平均 数的计算公式为：
x x2 x 1 n
xn
x
i 1
n
i
n
[例3.3] 某班级40名同学统计学的考试成绩原始 资料如表3.1—2所示。
k
i
fi
i
f
[例3.4] 根据例3.3提供的40名同学的统计学 成绩原始资料分组整理如表3.1—3，根据此 表资料计算平均成绩。 表3. 3 40名同学统计学成绩汇总表
根据（3.12）式得
x
x
i 1 K
K
i
fi
i 1
fi
3060 76.5 40
根据（3.12）式计算的平均成绩是76.5分， 而与根据（3.11）式计算的平均成绩77.23分 相比，相差0.73分，显然77.23分是准确的平 均成绩，因为（3.11）式所用的是原始数据 的全部信息。而（3. 12）式是用各组的组中 值代表各组的实际数据，使用代表值时是假 定各组数据在各组中是均匀分布的，但实际 情况与这一假定会有一定的偏差，使得利用 分组资料计算的平均数与实际的平均值会产 生误差，它是实际平均值的近似值。
表3.2 40名同学统计学原始成绩
该班40名同学统计学的平均成绩为：
64 70 78 75 3089 X 77.23 40 40
（三）、加权算术平均数(Weighted arithmetic mean) 当数据资料比较多，且已编制成变量数列的 情况下，就要计算加权算术平均数，以反映 总体中各总体单位某一数量的情况。
二、作用 1、反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水 平，说明社会现象在一定历史条件下的共同性质。 如用家庭户平均人数说明家庭结构的一般性质。 2、便于比较同类现象在不同单位间的发展水平， 对社会现象的特征能够从数量方面在空间上进行比 较。如不同省份家庭户平均人数不同，说明不同省 份家庭观念不同。 3、对社会现象的特征能够从数量方面在时间上进 行比较，能够比较同类现象在不同时期的发展变化 趋势或规律。 4、分析社会现象之间的相互依存关系。如生活水 平的高低与家庭人口数的多少成反方向变化。
世界上最“大众”的脸
第一节 集中趋势的含义及作用
一、集中趋势的含义 指一组数据向某一个典型值或代表值集中的情况。如 “大部分学生是女生”、“平均年龄为24岁”等。主 要形式有：平均数、中位数、众数。 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度。 测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心 值。 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值。 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数 据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用 于低层次的测量数据。 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所 掌握的数据的类型来确定。
很多社会经济现象，总体标志总量常常是总体单位 变量值的算术总和。例如，工人工资总额是总体中 每个工人工资的总和，某地区小麦总产量是所有耕 地小麦产量的总和。在总体标志总量和总体单位总 x bar 量的基础上，就可以计算平均指标。 算术平均数在统计学中具有重要的地位，是集中趋 x bar）表示。根 x 势的最主要度量值，通常用（读作 据所掌握数据形式的不同，算术平均数有简单算术 平均数和加权算术平均数。
第二节 平均数 一、算术平均数 （一）、定义：算术平均数(Arithmetic mean)也称为均值 (Mean)，是全部数据算术平均的结果。算术平均法是计算 平均指标最基本、最常用的方法。计算公式为： 算术平均数 = 总体标志总量 /总体单位总量 = （X1+X2+X3+……+Xn ）/N = ∑Xi/N 其中：∑为连加符号； N为总体单位数。
加权算术平均数其数值的大小，不仅受各组 xi 变量值（）大小的影响，而且受各组变量值 fi 出现的频数即权数（）大小的影响。如果某 一组的权数大，说明该组的数据较多，那么 该组数据的大小对算术平均数的影响就越大， 反之，则越小。实际上，我们将（3.12）式 变形为下面的形式，就更能清楚地看出这一 点。
公式为： X=(X1f1+ຫໍສະໝຸດ Baidu2f2+…+Xnfn)/(f1+f2+…+fn)=∑X ifi/∑fi 其中：f为权数，即变量在总体中出现的次 数。
由于变量数列可分为单项数列（单项分组）和组距 数列（组距分组）， 计算加权算术平均值的方法也有两种： ①由单项分组资料求算术平均值 计算公式为： X = ∑Xifi / ∑fi 例如：P48 例2 ②由组距分组资料求算术平均值 计算公式为： X = ∑Xmid*f /∑f 其中：Xmid表示各组组中值，f表示每组次数。 注意：组中值是假定值（近似值），与实际有差距， 但误差很小。
本章主要内容：
集中趋势的测定方法（重、难点）
平均数、中位数、众数的比较（重点）
国家地理杂志日前推出一部影片介绍世界上最 “大众”的脸，配合其探讨人类种族的“世界70亿 人口”专题。 研究人员做出结论，地球上最“大众”的脸是28 岁的汉族男性，一共有900万人。根据这些描述， 国家地理杂志耗时10年，融合了将近20万张男性照 片，重组出“世界第一大众脸”。 影片内容描述，在全世界70亿人口中，最典型的 人是右撇子、年收入低于一万两千美元；有手机却 没有银行账户，而事实上，拥有银行账户的人低于 25%。他是男性，因为世界上男性多于女性。 世界人口的平均年龄是28岁，最大的种族则是中 国汉族。
根据分组整理的数据计算算术平均数，就要 以各组变量值出现的次数或频数为权数计算 加权的算术平均数。设原始数据被分成组， 各组的变量值为…，各组变量值的次数或频 数分别为…，则加权的算术平均数为：
x x1 f1 x2 f 2 f1 f 2 xk f k fk
x
i 1 k i 1
（二）简单算术平均数(Simple arithmetic mean) 未经分组整理的原始数据，其算术平均数的 计算就是直接将一组数据的各个数值相加除 以数值个数。设统计数据为…，则算术平均 数的计算公式为：
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[例3.4] 根据例3.3提供的40名同学的统计学 成绩原始资料分组整理如表3.1—3，根据此 表资料计算平均成绩。 表3. 3 40名同学统计学成绩汇总表
根据（3.12）式得
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3060 76.5 40
根据（3.12）式计算的平均成绩是76.5分， 而与根据（3.11）式计算的平均成绩77.23分 相比，相差0.73分，显然77.23分是准确的平 均成绩，因为（3.11）式所用的是原始数据 的全部信息。而（3. 12）式是用各组的组中 值代表各组的实际数据，使用代表值时是假 定各组数据在各组中是均匀分布的，但实际 情况与这一假定会有一定的偏差，使得利用 分组资料计算的平均数与实际的平均值会产 生误差，它是实际平均值的近似值。
表3.2 40名同学统计学原始成绩
该班40名同学统计学的平均成绩为：
64 70 78 75 3089 X 77.23 40 40
（三）、加权算术平均数(Weighted arithmetic mean) 当数据资料比较多，且已编制成变量数列的 情况下，就要计算加权算术平均数，以反映 总体中各总体单位某一数量的情况。
二、作用 1、反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水 平，说明社会现象在一定历史条件下的共同性质。 如用家庭户平均人数说明家庭结构的一般性质。 2、便于比较同类现象在不同单位间的发展水平， 对社会现象的特征能够从数量方面在空间上进行比 较。如不同省份家庭户平均人数不同，说明不同省 份家庭观念不同。 3、对社会现象的特征能够从数量方面在时间上进 行比较，能够比较同类现象在不同时期的发展变化 趋势或规律。 4、分析社会现象之间的相互依存关系。如生活水 平的高低与家庭人口数的多少成反方向变化。
世界上最“大众”的脸
第一节 集中趋势的含义及作用
一、集中趋势的含义 指一组数据向某一个典型值或代表值集中的情况。如 “大部分学生是女生”、“平均年龄为24岁”等。主 要形式有：平均数、中位数、众数。 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度。 测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心 值。 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值。 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数 据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用 于低层次的测量数据。 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所 掌握的数据的类型来确定。
很多社会经济现象，总体标志总量常常是总体单位 变量值的算术总和。例如，工人工资总额是总体中 每个工人工资的总和，某地区小麦总产量是所有耕 地小麦产量的总和。在总体标志总量和总体单位总 x bar 量的基础上，就可以计算平均指标。 算术平均数在统计学中具有重要的地位，是集中趋 x bar）表示。根 x 势的最主要度量值，通常用（读作 据所掌握数据形式的不同，算术平均数有简单算术 平均数和加权算术平均数。
第二节 平均数 一、算术平均数 （一）、定义：算术平均数(Arithmetic mean)也称为均值 (Mean)，是全部数据算术平均的结果。算术平均法是计算 平均指标最基本、最常用的方法。计算公式为： 算术平均数 = 总体标志总量 /总体单位总量 = （X1+X2+X3+……+Xn ）/N = ∑Xi/N 其中：∑为连加符号； N为总体单位数。
加权算术平均数其数值的大小，不仅受各组 xi 变量值（）大小的影响，而且受各组变量值 fi 出现的频数即权数（）大小的影响。如果某 一组的权数大，说明该组的数据较多，那么 该组数据的大小对算术平均数的影响就越大， 反之，则越小。实际上，我们将（3.12）式 变形为下面的形式，就更能清楚地看出这一 点。
公式为： X=(X1f1+ຫໍສະໝຸດ Baidu2f2+…+Xnfn)/(f1+f2+…+fn)=∑X ifi/∑fi 其中：f为权数，即变量在总体中出现的次 数。
由于变量数列可分为单项数列（单项分组）和组距 数列（组距分组）， 计算加权算术平均值的方法也有两种： ①由单项分组资料求算术平均值 计算公式为： X = ∑Xifi / ∑fi 例如：P48 例2 ②由组距分组资料求算术平均值 计算公式为： X = ∑Xmid*f /∑f 其中：Xmid表示各组组中值，f表示每组次数。 注意：组中值是假定值（近似值），与实际有差距， 但误差很小。