用定义证明函数极限方法总结[1]

用定义证明函数极限方法总结:
用定义来证明函数极限式lim ()x a
f x c →=，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节
不同。

方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x a h ε-<，从而得()h δε=。

方法2：将()f x c -放大成()
x a ϕ-，解()
x a ϕε-<，得()x a h ε-<，从而得
()h δε=。

部分放大法：当
()f x c -不易放大时，限定10x a δ<-<，得
()()f x c x a ϕ-≤-，解()x a ϕε-<，得：()x a h ε-<，取{}1min ,()h δδε=。

用定义来证明函数极限式lim ()x f x c →∞
=，方法：
方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x h ε>，从而得
()A h ε=。

方法2：将()f x c -放大成()
x a ϕ-，解()
x a ϕε-<，得()x h ε>，从而得
()A h ε=。

部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定1x A >，得()
()f x c x a ϕ-≤-，解
()x a ϕε-<，得：()x h ε>，取{}1max ,()A A h ε=。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。

例1 证明：2
lim(23)7x x →+=。

证明：0ε∀>，要使：
(23)722x x ε+-=-<，只要 22x ε-<，即022
x ε
<-<
，
取2
εδ=
，即可。

例2 证明：22
112
lim 213
x x x x →-=--。

分析：因为，22
11212
213213321
x x x x x x x --+-=-=--++放大时，只有限制
011x <-<，即02x <<，才容易放大。

证明：0ε∀>，限制011x <-<，即02x <<，要使；
()221111212
2132133213213
x x x x x x x x x x ε
----+-=-==≤<--+++，只要 13x ε-<， 即013x ε<-<，取min(1,3)δε=，即可。

例3
证明：x a
→=（1a <）。

证明：0ε∀>，限制102a x a -<-<
，所以112
a
x +<
<，要使：
ε-=
≤
≤
<，
只要
ε<
，即0x a <-<
，取1min 2a δ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
，即可。

例4 设3, 1
()2, 1
x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，证明:1
lim ()1x f x →=。

证明：当1x ≠时，32()1111f x x x x x -=-=-++
限制011x <-<，则112x x ≤-+<，217x x ∴++<。

0ε∀>，要使：
2()11171f x x x x x ε-=-++≤-<，
只要71x ε-<，即17
x ε
-<
，取min 1,7εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，当01x δ<-<时，有：
()1f x ε-<，
1
lim ()1x f x →∴=
说明：这里限制自变量x 的变化范围011x <-<，必须按自变量x 的变化趋势来设计，
x a →时，只能限制x 在a 点的某邻域内，不能随便限制！
错解：设1x ≤，则213x x ++<，要使：
2()11131f x x x x x ε-=-++≤-<，只要013
x ε
<-<
，取min 1,3εδ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，
当01x δ<-<时，有：()1f x ε-<。

1
lim ()1x f x →∴=。

例5 证明:11
lim
121
x x →=-。

证明：考察211
12121
x x x --=
--，()21211121x x x -=-+≥--
限制1014x <-<，则1121121122
x x -≥--≥-=，。

0ε∀>，要使：
211
1412121
x x x x ε--=≤-<--，只要41x ε-<，即14x ε-<，
取1min ,44εδ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，当01x δ<-<时，有：1
121
x ε-<-， 11
lim
121
x x →∴=-。

说明：在以上放大()f x A -（即缩小21x -）的过程中，先限制1014
x <-<，则得：1212x -≥。

其实任取一个小于12
的正数1δ，先限制101x δ<-<，则121121120x x m δ-≥--≥-=>（如果是限制1
012
x <-<或011x <-<，则不
能达到以上目的）。

例6 证明:2lim 247
x x
x →=-。

证明：考察
7224747
x x
x x --=
--，147x -仅在7
4
x =的邻域内无界，所以，限制
1028x <-<（此邻域不包含74x =点）
，则()1474211422
x x x -=-+≥--≥。

0ε∀>，要使：
727221424747142
x x x
x x x x ε---=≤≤-<----，
只要142x ε-<，即214x ε-<， 取1min ,
814εδ⎧⎫
=⎨⎬
⎩⎭
，当02x δ<-<时，有：247x x ε-<-， 2lim
247
x x
x →∴=-。

例7 用定义证明极限式：0
lim 1x
x a →=，（1a >） 证明：0ε∀>（不妨1ε<），要使：
1x a ε-<⇐11x a εε-<<+⇐()()log 1log 1a a x εε-<<+（由对数函数
()log a f x x =是单调增函数）。

于是，取()(){}min log 1, log 10a a δεε=--+>，
当00x δ<-<时，有：1x a ε-<。

故0
lim 1x x a →=。

证毕
例8 设()0f x >，0
lim ()x x f x A →=
，证明：0
lim
x x →=
2n ≥为正整数。

证明：（用定义证明）因为，()0f x >，由极限保不等式性知，0A ≥；当0A >时，
0ε∀>，由0
lim ()x x f x A →=，知：0δ∃>，当00x x δ<-<时，有：()f x A ε-<
(
)
(
)()(
)(
)
()
1
2
2
1
()
(n n n n n
f x
A
f x -----∴-=
+
+
+
+
()
1
1
()n n f x A
ε
---≤
<
，故：0
lim
x x →=
当0A =时：0ε
∀>，由0
lim ()0x x f x →=，知：0δ∃>，当00x x δ<-<时，有：()f x ε<
0∴-<，故：0
lim
0x x →=。

证毕。