用定义证明函数极限方法总结[1]

用定义证明函数极限方法总结:

用定义来证明函数极限式lim ()x a

f x c →=，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节

不同。

方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x a h ε-<，从而得()h δε=。

方法2：将()f x c -放大成()

x a ϕ-，解()

x a ϕε-<，得()x a h ε-<，从而得

()h δε=。

部分放大法：当

()f x c -不易放大时，限定10x a δ<-<，得

()()f x c x a ϕ-≤-，解()x a ϕε-<，得：()x a h ε-<，取{}1min ,()h δδε=。

用定义来证明函数极限式lim ()x f x c →∞

=，方法：

方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x h ε>，从而得

()A h ε=。

方法2：将()f x c -放大成()

x a ϕ-，解()

x a ϕε-<，得()x h ε>，从而得

()A h ε=。

部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定1x A >，得()

()f x c x a ϕ-≤-，解

()x a ϕε-<，得：()x h ε>，取{}1max ,()A A h ε=。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。 例1 证明：2

lim(23)7x x →+=。

证明：0ε∀>，要使：

(23)722x x ε+-=-<，只要 22x ε-<，即022

x ε

<-<

，

取2

εδ=

，即可。

例2 证明：22

112

lim 213

x x x x →-=--。 分析：因为，22

11212

213213321

x x x x x x x --+-=-=--++放大时，只有限制

011x <-<，即02x <<，才容易放大。

证明：0ε∀>，限制011x <-<，即02x <<，要使；

()221111212

2132133213213

x x x x x x x x x x ε

----+-=-==≤<--+++，只要 13x ε-<， 即013x ε<-<，取min(1,3)δε=，即可。

例3

证明：x a

→=（1a <）。

证明：0ε∀>，限制102a x a -<-<

，所以112

a

x +<

<，要使：

ε-=

≤

≤

<，

只要

ε<

，即0x a <-<

，取1min 2a δ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭

，即可。 例4 设3, 1

()2, 1

x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，证明:1

lim ()1x f x →=。

证明：当1x ≠时，32()1111f x x x x x -=-=-++

限制011x <-<，则112x x ≤-+<，217x x ∴++<。0ε∀>，要使：

2()11171f x x x x x ε-=-++≤-<，

只要71x ε-<，即17

x ε

-<

，取min 1,7εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭

，当01x δ<-<时，有：

()1f x ε-<，

1

lim ()1x f x →∴=

说明：这里限制自变量x 的变化范围011x <-<，必须按自变量x 的变化趋势来设计，

x a →时，只能限制x 在a 点的某邻域内，不能随便限制！

错解：设1x ≤，则213x x ++<，要使：

2()11131f x x x x x ε-=-++≤-<，只要013

x ε

<-<

，取min 1,3εδ⎧⎫

=⎨⎬⎩⎭

，

当01x δ<-<时，有：()1f x ε-<。1

lim ()1x f x →∴=。

例5 证明:11

lim

121

x x →=-。

证明：考察211

12121

x x x --=

--，()21211121x x x -=-+≥--

限制1014x <-<，则1121121122

x x -≥--≥-=，。0ε∀>，要使：

211

1412121

x x x x ε--=≤-<--，只要41x ε-<，即14x ε-<，

取1min ,44εδ⎧⎫

=⎨⎬⎩⎭

，当01x δ<-<时，有：1

121

x ε-<-， 11

lim

121

x x →∴=-。

说明：在以上放大()f x A -（即缩小21x -）的过程中，先限制1014

x <-<，则得：1212x -≥

。其实任取一个小于12

的正数1δ，先限制101x δ<-<，则121121120x x m δ-≥--≥-=>（如果是限制1

012

x <-<或011x <-<，则不

能达到以上目的）。

例6 证明:2lim 247

x x

x →=-。

证明：考察

7224747

x x

x x --=

--，147x -仅在7

4

x =的邻域内无界，所以，限制

1028x <-<（此邻域不包含74x =点）

，则()1474211422

x x x -=-+≥--≥。0ε∀>，要使：

727221424747142

x x x

x x x x ε---=≤≤-<----，

只要142x ε-<，即214x ε-<， 取1min ,

814εδ⎧⎫

=⎨⎬

⎩⎭

，当02x δ<-<时，有：247x x ε-<-， 2lim

247

x x

x →∴=-。

例7 用定义证明极限式：0

lim 1x

x a →=，（1a >） 证明：0ε∀>（不妨1ε<），要使：

1x a ε-<⇐11x a εε-<<+⇐()()log 1log 1a a x εε-<<+（由对数函数