定积分及其应用(测试题)

第6章 定积分及其应用

1.

8

7220

sin ;cos .

xdx xdx π

π

=

=

⎰

⎰

2. 设

2

1

()ln ,x f t dt x +=⎰

其中()f t 为连续函数，则(5).f =

3. 设()f x 是连续函数，且0

()sin (),f x x f x dx π

=+⎰

则().f x =

4.

5.

1lim ln(1.

x x dt =

6. 设θ是常数，0,x ∀>若

ln ln(

),2

x

x

tdt x θ=⎰

则.θ=

7.

sin 20

ln(1)lim

.

1cos x

x t dt

x

→+=-⎰

8. 若

4

()2

x

x f t dt =⎰

，则

4

.dx =⎰

9. 设21,0(),0x x x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，，

则3

1

(2).f x dx -=

⎰

10. （1

）

2

52

(cos ).x x x dx -⎰

（2）2

30

22

1.(32)

dx x x +-⎰

（3）

1

(arcsin )(arccos ).x x dx ⎰ （4

）22

.⎰

11. 已知()f x 在[0,2]上二阶可导，且(2)1,(2)0f f '==及

2

()4,f x dx =⎰

求：1

20

(2).x f x dx ''⎰

12.

求极限n →∞

+ 13. 设正整数,a 且满足关系2410lim ,x

x x a

a x xe dx a x +∞-→-⎛⎫=

⎪+⎝⎭⎰试求a 的值. 14. 设函数(),()f x g x 在闭区间[0,2]上连续,且

2

2

2

32

()3(),()3(),f x x g x dx g x x x

f x dx =+=-+⎰⎰

求函数(),()f x g x 的表达式.

15. 已知()[()1],f x x f x ''-=-试求函数().f x 21

()ln(1)arctan .2

f x x x x c =

++-+

设xOy 平面中有一曲线222 1.x y -=

(1)写出由这曲线绕O x

轴旋转的曲面方程; (2)求由这旋转曲面及二平面2x =与3x =所围立体的体积.

16. 求抛物线21y x =-+在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线21y x =-+所围成图形的面

积为最小. 17. 设()f x '在(,)-∞+∞连续,证明:

()()()().x

a d x t f t dt f x f a dx

'-=-⎰ 18. 设函数()f x 在[,](0)L L L ->上连续,在0x =可导,且(0)0.f '≠

(1)求证:(0,),(0,1),x L θ∀∈∃∈使

()()[()()];x

x

f t dt f t dt x f x f x θθ-+=--⎰

⎰

(2)求极限0

lim .x θ+

→

参考答案:

1、

10548,.384105 2、1.8 3、2sin .1x π+- 4、4

.e 5、–2 6、 2.e 7、4 8、16 9、1

.3

e +

10、（1）2π （2）

6

（3） 2.2π-+ （4）3.2π

11、1.2

12、2

.3

13、4

.15

a =

14、23()34,().f x x g x x =-=-

15、（1） 222

2()1;x y z -+= （2）8.3x V π=

16、4.33

y x =-+ 17、利用积分中值定理 18、（1）略 （2）0.5