清华大学研究生弹塑性力学讲义 4弹塑性_弹性材料的广义胡克定律

具有单值关系的弹性范围内，σ ∼ ε ′ 也同样具有单值关系，而且当σ ∼ ε 具有线性关系
的线弹性范围内，σ ∼ ε ′ 也同样具有线性关系。也就是说，上述比例极限、弹性极限都
是针对整个均匀变形状态的，而不是针对变形状态的某个应力、应变分量的。试验还
表明，在线弹性范围内横向收缩应变与轴向伸长应变之比是一个常数，即
3. 由于线弹性材料的应力张量与应变张量之间满足线性关系，因此应变能密度函数不 仅可以用应变分量来表示，还可以用应力分量来表示，试导出各向同性弹性材料用 应力分量表示应变能密度函数的公式。
4. 对于线弹性材料，试证明如下卡氏公式：
∂W ∂σ ij
= εij
5. 将应力张量和应变张量分别分解为球形张量和偏斜张量之和，即
⎪⎪σ
22
⎪ ⎪
⎢ ⎢
E E 2222
2233
0
0
0
⎥⎪ ⎥⎪
ε 22
⎪ ⎪
⎪⎪σ ⎨⎪σ
33 23
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎢ ⎢ ⎢
E3333
0
0
E2323
0
0 0
⎥ ⎥ ⎥
⎪⎪⎨⎪2εε3233
⎪⎪ ⎬ ⎪
(14)
⎪σ ⎪⎪⎩σ
31 12
⎪ ⎪ ⎪⎭
⎢ ⎢ ⎣⎢
sym.
E3131
0 E1212
⎥ ⎥ ⎦⎥
E
2(1 +ν
)
⎛ν ⎜⎝ 1 − 2ν
ε iiε
jj
+
ε ijε ij
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
(18)
独立常数
E= ν= λ= μ =G = K=
表 1 各向同性弹性体弹性常数间的关系
E, ν
G, ν
E
2G (1 +ν )
ν
Eν
(1 +ν )(1 − 2ν )
E
2(1 +ν )
E
3(1 − 2ν )
ν
2Gν 1 − 2ν
G
2G (1 +ν ) 3(1 − 2ν )
λ, μ
μ (3λ + 2μ )
λ+μ λ
2(λ + μ)
λ
μ
3λ + 2μ 3
⎯6⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
第三章习题
1. 试由热力学第一定律出发，证明
并导出 Green 公式
dW dt
= σ ijε&ij
∂W ∂ε ij
= σ ij
2. 对于各向同性弹性材料，由单向拉伸试验测定了弹性模量 E 和泊松比ν ，试通过计 算单向拉伸状态的平均应力和体积应变，求出体积弹性模量 K 和 E, ν 的关系。
根据应力张量与应变张量的对称性，可知
Eijkl = E jikl = Eijlk 由于存在应变能密度函数是状态的函数W = 1 ε : E : ε ，由 Green 公式可得
2
因此，不妨令
( ) σ ij
=
1 2
Eijkl + Eklij
ε kl
Eijkl = Eklij 于是，独立的弹性常数数目最多只有 21 个。
所在的功和环境传给的热量之总和。即
ΔT + ΔU = ΔA + ΔQ
(5)
其中
∫ T
=
V
1 2
ρ u&i u&i dV
略去热和温度影响后，内能即应变能
W 为应变能密度函数。于是
U = ∫WdV
V
此外还可写出
∫ ∫ ∫ ΔU = t+Δt dU dt = t+Δt dW dVdt
t dt
t V dt
t +Δt
⎪ ⎪ ⎩⎪
2ε 31 2ε12
⎪ ⎪ ⎭⎪
作为正交各向异性材料的一种特例，当 x1x2 轴在该平面内任意转动时弹性张量的 相应分量均不改变，即材料特性在 x1x2 面内无方向性，称为横观各向同性材料，独立 弹性常数数目还会减少。
z 各向同性弹性体 当笛卡尔坐标系在空间任意转动时弹性张量不仅作为张量整体具有不变性，而且
0 E1212
⎥ ⎥ ⎦⎥
⎩⎪⎪⎪22εε1321
⎪ ⎪ ⎭⎪
(13)
对于具有 3 个对称面的情况，称为正交各向异性材料，此时在 Eijkl 的下标中任何
出现奇数个 1, 2 或 3 的分量均应为零，于是独立弹性常数数目减少为 9 个，即
⎧σ11 ⎫ ⎡ E1111 E1122 E1133
0
0
0 ⎤ ⎧ ε11 ⎫
(15)
其中独立的弹性常数只有两个。
由于独立弹性常数是两个，常见的弹性常数 λ, μ(= G), E, ν , K 之间就有一定的
关系（见表 1）。作为学习弹塑性力学的研究生，至少应该记住广义胡克定律的几个常
见形式，以及相应的应变能密度函数的形式，例如：
σ ij = λεkkδij + 2Gεij
⎡⎢⎣=
图 2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线
有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线 如图 2 所示。这种情况下屈服极限规定用产生 0.2%塑性应变所对应的应力来表示，记
为σ 0.2 。当载荷较小时，也可近似认为材料处于线弹性状态。
在线弹性状态，由单向拉伸试验可以测得
σ = Eε
1
E +ν
⎛ν ⎜⎝ 1 − 2ν
ε kkδ ij
+
ε ij
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
(16)
ε ij
=
1 E
⎡⎣(1 +ν
)σ ij
−νσ kkδij
⎤⎦
⎡ ⎢= ⎣
−
λ
2μ (3λ +
) 2μ δijσ kk
+
1 2μ
⎤ σ ij ⎥
⎦
(17)
( ) W = 1 2
λεiiε jj + 2Gεijεij
⎡ ⎢= ⎣
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姚振汉
z 各向异性弹性体 对于最一般的弹性体，各向异性弹性体，可将应力－应变关系写成
⎧σ11 ⎫ ⎡E1111
⎪⎪σ
22
⎪ ⎪
⎢ ⎢
⎪⎪σ ⎨⎪σ
33 23
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎢ ⎢ ⎢
⎪σ ⎪⎪⎩σ
31 12
⎪ ⎪ ⎪⎭
⎢ ⎢ ⎣⎢
E1122 E2222
sym.
E1133 E2233 E3333
(12)
对于具有一个对称面的情况（例如对于 x1x2 面对称），此时当 x3 轴反向时弹性系数 张量的相应分量应保持不变，因此在 Eijkl 的下标中出现奇数个 3 的分量均应为零，于是
独立弹性常数数目减少为 13 个，即
⎧σ11 ⎫ ⎡E1111
⎪⎪σ
22
⎪ ⎪
⎢ ⎢
⎪⎪σ ⎨⎪σ
33 23
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎢ ⎢ ⎢
⎪σ ⎪⎪⎩σ
31 12
⎪ ⎪ ⎪⎭
⎢ ⎢ ⎣⎢
E1122 E2222
sym.
E1133 E2233 E3333
0 0 0 E2323
0 0 0 E2331 E3131
E1112 ⎤ ⎧ ε11 ⎫
E2212
⎥ ⎥
⎪ ⎪
ε
22
⎪ ⎪
E3312 0
⎥ ⎥ ⎥
⎪⎪⎨⎪2εε3233
⎪⎪ ⎬ ⎪
(6)
tV
于是可以写出
dW dt
= σ ijε&ij
(7)
取起始状态为内能等于零的状态，积分可得
ε
∫ W = σ ijdεij
(8)
0
由此可得 Green 公式
∂W ∂ε ij
= σ ij
(9)
三、线弹性材料的广义胡克定律
z 弹性张量 根据大量材料试验，对于工程常用的材料，当变形很小时应力－应变之间为线性
(1)
其中 E 称为弹性模量，在线弹性阶段它是常数。下面我们就先研究这种成立(1)式或其
它类似形式的单值、线性应力应变关系的情况，相当于讨论应力低于比例极限的情
况，而且讨论均匀连续体，主要是各向同性材料。
从单向拉伸试验除去可得材料的弹性模量 E 之外，还可以通过测量试棒截面直径
的变化，得到横向尺具有线性关系寸的相对收缩，或横向应变ε ′ 。试验表明，在σ ∼ ε
E1123 E2223 E3323 E2323
E1131 E2231 E3331 E2331 E3131
E1112 ⎤ ⎧ ε11 ⎫
E2212
⎥ ⎥
⎪ ⎪
ε
22⎪ ⎪Fra bibliotekE3312 E2312
⎥ ⎥ ⎥
⎪⎪⎨⎪2εε3233
⎪⎪ ⎬ ⎪
E3112 E1212
⎥ ⎥ ⎦⎥
⎩⎪⎪⎪22εε1321
⎪ ⎪ ⎪⎭
弹塑性力学
第三章 弹性材料的广义胡克定律
一、固体材料的本构关系 z 描述材料特性的本构关系是固体力学模型的重要组成部分
前面讨论了应力与平衡、运动与变形，还没有涉及固体材料。实际经验告诉我 们，占有同样空间域的不同固体，在同样的载荷作用下产生的变形是很不一样的。从 数学上说，必须建立描述材料特性的本构方程，才能构成完备的定解方程组。
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第三章 弹性材料的广义胡克定律
D 到 H 是一接近水平的线段，称为塑性流动段。对同一种材料 D 点的测量值比较稳 定，而 C 点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。如果载荷在使材料屈服之后还继 续增加，则进入图中曲线右部的强化段。即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增 加时，应变才能继续增大。在图中 b 点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。 如果在塑性流动段的 D′点，或强化段的 H′点卸载，将能观测到沿着与 OA 平行的直线 返回，当载荷为零是到达 O′点或 O′′点，即产生残余变形。
如上所述，通过材料试验可以测定 E, ν , G, K 这 4 个均匀各向同性弹性材料的弹
性常数，但是还不能直接由试验得到 6 个独立的应力分量与 6 个独立应变分量之间的
关系。为了得到适用于一般情况的应力应变关系，还需在理论上进行深入一步的讨
论。
二、功、能与弹性材料的应变能 根据热力学第一定律，在任一时间间隔内物体内能和动能的变化量等于外界对它
图.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线
拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图 1 所示的应 力应变曲线。图中 A 为比例极限，当变形状态未超过 A 点时材料处于线弹性状态；B 为弹性极限，AB 段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应 力应变之间不再是线性关系。C，D 分别为上、下屈服极限，超过 C 点后材料进入塑 性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变 形。由 C 到 D 是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。由
ε ′ = −νε
(2)
这个比值ν 称为泊松比。一般工程材料在弹性范围内ν 的值在1 6 ~ 1 3范围内，在超出
弹性范围后ν 趋于1 2 。
除去单向拉伸试验之外，还可进行别的典型应力应变状态的试验。比如通过薄壁
圆管的扭转可以近似得到纯剪应力状态，从而可以在线弹性范围内得到剪应力τ 和剪
应变γ 之间的线性关系
关系，于是应变能密度函数可取二次函数
W
=
1 2
σ
ijε
ij
整体符号公式 W = 1 σ : ε 2
(10)
其中
σ ij = ε Eijkl kl
整体符号公式 σ = E : ε
(11)
由于应力、应变均为张量，描述它们之间关系的 E 也是张量，即这种关系本身是不随
选用的坐标系而改变的。张量 E 是个 4 阶张量，称为弹性常数张量，简称弹性张量。
各分量均不变时，材料特性将没有方向性，称为各向同性材料。 各向同性特性材料的特性张量是 4 阶各向同性张量。4 阶各向同性张量总可以通
过球形张量来表示，即
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第三章 弹性材料的广义胡克定律
Eijkl = λδijδ kl + μδikδ jl +νδilδ jk = λδijδ kl + 2μδ ikδ jl
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姚振汉
τ = Gγ
(3)
这里的比例系数 G 称为剪切弹性模量，或简称剪切模量。
通过单向压缩试验还可以发现，在线弹性范围内体积应变θ 与由单向压缩算出的
平均应力，即σ = σ 3 之间也存在一个线性关系，即
σ = Kθ
(4)
其中的 K 称为压缩模量，也称体积弹性模量。
要建立描述材料特性的本构关系，必须遵循一系列的基本原理，其中包括热力学 基本定律。先由力学原理建立本构关系的数学框架，再由实验确定本构关系中的材料 常数。归根到底研究固体力学的目的是要解决工程或实际生活中的问题，因此研究的 固体材料应是实际的材料，而材料试验是固体力学的重要基础。
另一方面，材料的本构模型并不完全是材料内在、固有的，同一材料对于不同应 用场合、不同精度要求，应该采用不同的本构模型。例如：同样是在室温下的钢材， 当一般的结构分析时常作为线弹性材料；当考虑振动阻尼时要看作粘弹性材料；在计 算极限载荷时应看作刚塑性材料；在精确计算永久变形时则要采用强化的弹塑性本构 关系；在计算成型极限时要看作韧性可损的；而在计算使用寿命时则要考虑为疲劳可 损的材料。 z 固体材料本构关系的实验基础
σ ij
=
1 3
σ
kkδ
ij
+sij
ε ij
=
1 3
ε
kkδ
ij
+
eij
试写成平均应力和平均应变的关系，以及应力偏量与应变偏量的关系。
6. 用电阻应变花测得自由表面某点在 0°, 45° 和 90° 方向上的应变分别为 −150 ×10−6, 100 ×10−6, 150 ×10−6, 求该点的主应变、最大剪应变，以及主应力。
ΔT = ∫ ∫ ρu&&iu&idVdt
tV
∫ ∫ ∫ t+Δt ⎛
ΔA = ⎜
fiu&idV +
tiu&idS
⎞ ⎟
dt
t ⎝V
S
⎠
代入热力学第一定律，并略去 ΔQ ，即认为伴随着变形的传热过程可以忽略不计，即
可得到
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第三章 弹性材料的广义胡克定律
t + Δt
∫ ∫ ΔU = ΔA − ΔT = σ ijε&ijdVdt