线性系统的时域分析法

第3章 线性系统的时域分析法

3-1 一单位反馈系统的开环传递函数为)1(1)(+=

s s s G K ，求系统的单位阶跃响应及动态性能指标p s r t t t 和,%,σ。

由题意可解得：5.0,1==ξωn

所以，系统的单位阶跃响应为：

)sin(11)(2θωξξω+--=-t e t y d t

n 其中047.1601arctan ,23122==-==-= ξξθξωωn

d 所以)047.12

3sin(231)047.123sin(5.011)(5.025.0+-=+--=--t e t e t y t t

其动态性能性能指标为：

s

t s t s

t p n

s r 628.3615.033473.2%

3.16%==⨯====ξωσ

3-2 一单位反馈系统的开环传递函数为)

1()(+=Ts s K s G k ，其中单位阶跃响应曲线如图所示，图中s t y p p 5.1,25.1==。试确定系统参数K 、T 值。

图 题3-2图

4.0=ξ

28.2=n ω 可得T

T K n n 12,2==ξωω 将参数（n ωξ,）值代入以上两式可得54.0,86.2==T K

3-3 一单位反馈系统的开环传递函数为)

2()(2n n K s s s G ξωω+=，已知系统的)(1)(t t r =，误差时间函数为t t e e t e 74.37.14.04.1)(---=，求系统的阻尼比ξ、自然振荡角频率n ω、系统的闭环传递函数及系统的稳态误差。

系统的闭环极点为74.3,7.121-=-=s s

相应的特征方程为 0358.644.5)74.3)(7.1(2=++=++s s s s

相应的特征方程为 0222=++n n s s ωξω

由此解得 079.1,52.2==ξωn

系统为І型系统，稳态误差为0。

3-4 一闭环反馈控制系统的结构图如图所示。

求：①当s t s 8.1%)5(%,20%=≤σ时，系统的参数K 和τ的值；

②求上述系统的位置误差系数p k ，速度误差系数v k ，加速度误差系数a k 。

图 题3-4图

由已知条件s t s 8.1%)5(%,20%=≤σ可知

s t e n s 8.13

%)5(%

20%100%21/==≤⨯=--ξωσξξπ

由此解得 21.0≥ξ，因此取3.0=ξ

则有 56.5=n ω

因此 1.0231

2

====K K n n ξωτω 由于线性定常二阶系统各项系数均大于零，可推断系统稳定。

1

==∞

=a v p K K K τ

3-5 某随动系统结构图如图所示，已知rad V s T s V rad K rad V K /2,2.0),/(5.0,/4021==∙==τ。

试求：①加入速度反馈前后闭环系统动态性能指标s t %,σ；

②为使加入速度负反馈后的闭环系统出现临界阻尼的非振荡阶跃响应，τ应如何取值？计算其调节时间。

图 题3-5图

① 未加入速度负反馈前系统的开环传递函数为

则有52,

1002==n n ξωω 由此解得 25.0,10==ξωn

② 加入速度负反馈后系统的开环传递函数为

则有102,

1002==n n ξωω 由此解得 5.0,10==ξωn

③ 要使系统出现临界阻尼状态，此时1=ξ

从②的推导过程可知τξω212K n +=

由此可得 38=τ

处于临界阻尼状态时，系统的调节时间为

s T t n s 475.01

75.475.4===ω

3-6 如图所示，随动系统的对象特征同题3-5。采用微分顺馈校正方法，使闭环系统的n ωξ,值和题3-5采用速度反馈时闭环系统的n ωξ,一样。试求：①'

1',K τ的

值；②系统性能指标s t %,σ及题3-5性能作比较，结果如何，为什么？

图 题3-6图

① 加入微分顺馈后系统的开环传递函数为

使闭环系统的n ωξ,值和题3-5采用速度反馈时闭环系统的n ωξ,一样

即 105.252,

1005.2''12=+===τξωωn n K 由以上关系可得 2,40''1==τK

② 系统的动态性能指标s t %,σ

s t s 6.0%)5(%

3.16%==σ

3-8 已知系统如图所示，试分析参数τ取何值时，系统方能稳定？

图 题3-8图

系统的特征方程为 0101023=+++s s s τ

系统要稳定，劳斯表第一列元素必要大于0，且特征方程各项系数必大于0 则有 01001010>>-ττ且

即1>τ

3-9 已知如图所示，图中的G(s)为1

2.010)(+=s s G ，引入H K 和0K 的目的是使过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，又保证总放大系数不变。试选择H K 和0K 的值。

图 题3-9图

系统仍为一阶系统，要使过渡过程时间s t 减小为原来的1/10

06.03%)5(''

==T t s

则有 9.0=H K

要保证总放大系数不变

10101100'=+=H

K K K 则有100=K

3-10 有闭环系统的特征方程如下，试用劳斯判据判定系统的稳定性，并说明特征根在复平面上的分布。

①0504202

3=+++s s s 的系统劳斯表为：

劳思表第一列系数无符号变化，特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，所有特征根均位于复平面虚轴的左边，即均为负实数或为具有负实部的复数。 ②08862234=++++s s s s 的系统劳斯表为：

（辅助方程F(s)=0系数）

用导数方程的系数取代全零行相应的元，便可按劳斯表的规则运算下去，得到

由于劳思表第一列系数无符号变化，特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定。 ③0121222189323456=++++++s s s s s s 的系统劳斯表为：

50

05.150********s s s s

082828

611234s s s s 84

82

828610

1234s s s s s

345612018312813122291s s s s