微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章[1]

第十章

习题10-1

1． 指出下列各微分方程的阶数：

(1) x (y ′)2-2yy ′+x =0; (2) (y ″)3+5(y ′)4-y 5+x 6=0; (3) y x '''+2y ″+x 2y =0; (4) (x 2-y 2)d x +(x 2+y 2)d y =0．

解: (1) 因为方程中未知函数y 的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程.

(2) 二阶. (3) 三阶. (4) 一阶.

2． 验证下列给定函数是其对应微分方程的解： (1) y =(x +C )e -x , y ′+y =e -x ;

(2) xy =C 1e x +C 2e -x , xy ″+2y ′-xy =0;

(3) x =cos2t +C 1cos3t +C 2sin3t ， x ″+9x =5cos2t ; (4)

2

2

1

2

C y

C x

+

=1， xyy ″+x (y ′)2-yy ′=0．

解: (1)

()()()()e

e

e e

e e e

x

x

x

x

x

x

x

y x c y y x c x c y x c -------'=-+'∴+=-+++=∴=+

是微分方程e x y y -'+=的解.

(2) 在方程12e e x

x

xy c c -=+两边对x 求导有12e e

x x

y xy c c -'+=-上方程两边对x 求导

有122e e x

x y xy c c -'''+=+,即2y xy xy '''+= 即 20xy y xy '''+-=

所以12e e

x

x xy c c -=+所确定的函数()y y x =是方程20xy y xy '''+-=的解.

(3)

121212122sin 23sin 33cos 34cos 29cos 39sin 394cos 29cos 39sin 39cos 29cos 39sin 35cos 2 x t c t c t x t c t c t x x t c t c t t c t c t t

'=--+''=---''∴+=---+++= 所以 12cos 2cos 3sin 3x t c t c t =++是微分方程95cos 2x x t ''+=的解.

(4) 方程

2

2

1

2

1x

y

c c +

=两边对x 求导得

210(1) c x c yy '+= (1)式两边对x 求导得

2

211()0(2) c c y c yy '''++= (2)式两边同乘以x 得

2211()0(3) c x c x y c xyy '''++=

(3)-(2)得 2

()0

x y y x y y y ''''+-

= 所以

2

22

1

1x

y c c

+

=是方程2

()0xyy x y yy ''''+-=的解.

3． 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程． 解: 设(,)x y 是曲线()y f x =上任一点,则过该点的切线方程为()Y y y X x '-=-,由已知0X =时,Y x =,得x y xy '-=- 即 0xy y x '-+=为()y f x =所满足得微分方程.

4． 求通解为y =C e x +x 的微分方程，这里C 为任意常数．

解: 由e x y C x =+得1e x y C '=+,而由已知e x C y x =-得 1y y x '=-+ 故通解为e x

y C x =+的微分方程为1y y x '=-+.

习题10-2

1．求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解： (1) y ′＝

x

y -+11； (2) xy d x +2

1x -d y =0;

(3) (xy 2+x )d x +(y -x 2y )d y =0;

(4) sin x cos 2y d x +cos 2x d y =0; (5)

1,0110

==+-

+=x y

y x

y x y

x d d ；

(6) yy ′+x e y =0, y (1)=0; (7) y ′=e 2x -y ， 00

==x y

．

解: (1) 原方程分离变量得 (10)11d d y x y y

x

=+≠+- ,两边积分得

1ln ln 11c y x =-++- 即 1ln (1)(1)c x y =-+,

即1

(1)(1)e c x y =-+, 1

(1)(1)e c

x y -+=±,

记1

e c c ±=,有 (1)(1)(0)x y c c -+=≠, 而当 10y +=即 1y =-时,显然是方程的解,上

式取0c =时包含了1y =-,故方程的解为(1)(1)x y c -+= (c 为任意常数)

(2) 分离变量得: 2

10,0d d x x y x y y

-=

-≠≠,两边积分得,

1ln c y =+,可知 1

c y -=,即 1

c y e

-=±⋅又 0y =显然是方程的解.

∴ 方程的通解为 y c = (c 为任意常数). (3) 分离变量得

2

2

2211

d d y x

y x y

x =

+-, 两边积分得 2

21ln(1)ln 1y c x +=+-,即

212

1ln

1

y c x +=- 从而 1221(1)e c y x +=±-,记 1e c c =± 有 22

(1)1y c x =--.

(4) 分离变量得,

2

2

sin cos cos d d y x x y

x

=-

,两边积分得,1tan cos y c x

=-

+ 即

tan sec y x c +=.

(5) 原方程可化为:(1)(1)d d y y y x x x +=+,两边积分得

2

3

2

3

2

3

2

3

y

y

x

x

c +

=

+

+

由 0

1x y == 得 1152

3

6

c =+=, 所以原方程满足初始条件的特解为

2

3

2

3

52

3

2

3

6

y

y

x

x

+

=

+

+

即 3322

2()3()5

x y x y -+-=. (6) 分离变量得 e d d y y y x x --=, 两边积分得 2

2

e

e

y

y

x

y c --+=

+

由 (1)0y = 得 12

c = , 故原方程满足初始条件的特解为

2

1(1)(1)2

e y

y x -+=

+.

(7) 分离变量得 2e d e d y

x

y x = ,两边积分得 212

e e

y

x

c =

+, 由 0

0x y

== 得