天水师范学院拓扑学考试试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1、设X={a , b , c }，T ={φ，{a },{b , c },{a , b , c }，则拓扑空间(X ，T )是( ).

(A) T 1空间 (B) 正则空间 (C) Hausdorff 空间 (D) T 0空间

2、设X 是拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则下列说法错误的是( )

（A ） C 是最大的连通子集 （B ） C 一定是闭集

（C ） C 一定是开集 （D ） C 可能是既开又闭的子集

3、设X={x ，y ，z }，A ={x }，T ={φ，{x }，X}是X 上的拓扑，则d(A )=( )

(A) {y ，z } (B) {x ，z } (C) {x } (D) {x ，y ，z }

4、下列说法正确的是( )

(A) 实数空间R 是紧致空间

(B) 有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是连通的

(C) 单位圆周S 1

与实数空间R 同胚

(D) 可分空间在连续映射下的像也是可分的

5、设X 是离散空间，则（ ）

(A) X 是连通空间 (B) 对任一拓扑空间Y ，映射 X →Y :f 都连续

(C) d(A )=φ，A 是X 的任意子集 (D) X 是可分空间

6、设X 是拓扑空间，A ，B ⊂ X ，则（ ）

(A) )())((A d A A d d ⊂ (B) ____________B A =B A

(C) B A B A )(= (D) )()()(B A d B d A d ∩⊂∩

7、下列说法错误的是 ( )

(A) 拓扑空间的离散性是可遗传的 (B) 拓扑空间的连通性是可遗传的

(C) 拓扑空间的第一可数性是可遗传的 (D) 拓扑空间的第二可数性是可遗传的

8、设Y 是拓扑空间X 的子空间，则（ ）

(A) 若A 是Y 中的开集，则A 也是X 中的开集

(B) 若X 是局部连通空间，则Y 也是局部连通空间

(C) 若Y ⊂A ，则A 在X 中的闭包也是A 在Y 中的闭包

(D) 若T 是Y 上的相对拓扑，则T 是使内射X →Y :Y i|连续的最小拓扑

二、判断题（本大题共8小题，每小题2分，共16分 ）

1、如果Y 是拓扑空间X 的连通子集，则___Y 也是X 的连通子集． （ ）

2、实数空间R 是连通空间但不是局部连通空间． （ ）

3、T 1空间中的有限子集都不是闭集． （ ）

4、A 1空间中的的聚点可以用序列收敛的性质来刻画． （ ）

5、Y X f →:是映射，则对任意的X A ⊂， A A f f ⊂))((-1． （ ）

6、Hausdorff 空间中的收敛序列只有一个极限点． （ ）

7、连续映射下保持的性质就是拓扑不变性质． （ ）

8、X 是连通空间当且仅当X 中存在既开又闭的非空真子集． （

三、简述和证明（本大题共3题，共34分 ）

1、设X 是拓扑空间，R 是X 上的一个等价关系；验证 （10分）

}X )( | /{-1中的开集是V p R X V T ⊂=

是商集X/R 上的拓扑，并证明T 是使自然映射R X X p /:→连续的最大拓扑

2、叙述“粘接引理”并给予证明．（10分）

3、举例说明在一般拓扑空间中不能用序列收敛的性质来刻画映射的连续性．（14分）

四、证明题（本大题共3题，共26分 ）

1、证明单位圆周1S 和球面2S 不同胚．（6分）

2、证明实数空间R 是连通空间. （10分）

3、设X 和Y 是两个拓扑空间，Y →X :f ，证明以下条件等价：（10分）

(1) f 连续．

(2) 对Y 的任意子集B ，都有 ))(( )(-1-1B f B f ⊂．

1、B

2、C

3、A

4、D

5、C

6、A

7、B

8、D

1、√

2、×

3、×

4、√

5、×

6、√

7、√

8、×

1、设X 是拓扑空间，R 是X 上的一个等价关系；验证

}X )( | /{-1中的开集是V p R X V T ⊂=

是商集X/R 上的拓扑，并证明T 是使自然映射R X X p /:→连续的最大拓扑． （10分） 证明：先证T 是商集X/R 上的拓扑；

事实上，因为R X R X p p /)/( ,)(-1-1==φφ，所以T R X ∈/ ,φ；设T V U ∈ ,，由T 的定义知，)( ),(-1-1V p U p 都是X 中的开集，从而)()()(-1-1-1V p U p V U p =是X 中的开集，即T V U ∈ ；T T ⊂∀1，因为1T V ∈∀ ，)(-1V p 是X 中的开集，

于是)()(-1-1V p V p T V T V 11∈∈= 是X 中的开集，即T V T V ∈∈1 ．

下面证明T 是使自然映射R X X p /:→连续的最大拓扑；

事实上，设τ是商集X/R 是使自然映射连续的任一映射；对τ∈∀V ，则)(-1V p 是X 中的开集，由T 的定义知，T V ∈，于是T ⊂τ．

2、叙述“粘接引理”并给予证明．（10分）

粘接引理：设A 和B 是拓扑空间X 中的两个开集（闭集），且B A =X ．Y 是一拓扑间，Y B f Y A f →→: ,:21是两个连续映射，并且满足条件B A B A f f ||21=，定义映射Y X f →:如下：

{B x x f A

x x f x f ∈∈= )( )( )(21

则f 是一个连续映射.

证明：首先、由条件知f 的定义是确切的．

其次、对Y 的任意子集Z ，因为A Z f Z f )()(-1-1=1且B Z f Z f )()(-1-1=2，所以

)()()(-1-1-1Z f Z f Z f 21 =

最后，对Y 的任一开集U ，因为21f f ,都连续，于是)( ),(-1-1U f U f 21分别是A 和B 中的开集，由于A 和B 都是开集，所以)( ),(-1-1U f U f 21也都是X 中的开集，从而)()()(-1-1-1U f U f U f 21 =是X 中的开集，故f 是连续映射．

3、举例说明在一般拓扑空间中不能用序列收敛的性质来刻画映射的连续性．（14分） 答：设X 和Y 是拓扑空间，X ∈x ，若X 中的序列}{n x 收敛于x ，则映射Y →X :f 在x 处连续蕴含Y 中的序列)}({n x f 收敛于)}({x f ，但反之不成立．

事实上，（1）假设X 是可数补空间，则X 中的序列}{n x 收敛于x ⇔存在正整数M ，当n>M