位移法

A B
A θA θB
B Δ
可由两端固定的等截面梁转角位移方程推出：
6i M AB 4i A 2i B AB l 6i ----两端固定的等截面梁转角位移方程 M BA 2i A 4i B AB l
因为B端为铰支， 可由MBA = 0，可得：
1 3 B A AB 2 l
B A
3i/l2
B
M AB 3i / l
1
FQ 3i / l 2
B A B
A
B
A
i
M AB i
i
M BA i
FQ 0
2
载常数 （等截面直梁在荷载作用下的杆端弯矩和剪力）
q A B
ql2/12
A
ql2/12 B
ql/2 A B
ql/2
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
剪力：以绕隔离体顺时针转动为正。
三、位移法的基本解题思路
例：要求用位移法计算图示刚架？
Z1 Z1
为了使问题简化，作如下 计算假定：
对于受弯杆件，
1.略去其轴向变形和剪 切变形的影响；
2.设发生的弯曲变形是 微小的。 即认为受弯直杆之间的距离在变形后保持不变
由此可知，结点1只有角位移Z1，而无线位移。因 此，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1。
11
1 l 2 l 22 EI 2 3 3EI 1 l 1 l 21 EI 2 3 6 EI
X1
X1=1
12
1C
1
M1
M2
X2=1
AB ( ) 2C l
1
1/ l
弦转角
β
AB
Δ
1/ l
l l AB X1 X2 A 3EI 6 EI l l l AB X1 X2 B 6 EI 3EI l
综上所述，位移法的基本思路是： 1. 在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点 固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；
２. 人为迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的 位移。
通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变 形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力 和变形。
位移法中需要解决的问题：
程
M
1
0 ，求出 ：
7 EI r11 l
M1
1 R1P Pl 8
Pl 8
P
Pl 8
MP图
r11
7 EI l
1 R1P Pl 8
r11Z1 R1P 0
Pl 2 Z1 56EI
将这些结果代入位移法基 本方程中后解方程，即得
最后，根据叠加原理 M M P M 1 Z1 ，即可求出最后弯 矩图 。
FP
B
A
B
F FQ AB FP F FQ BA 0
小
结
1 计算形常数时常见的几种单跨超静定梁
1 A
B A B 1
1 A
A
B
B
1
1 A B
2 计算载常数时常见的几种单跨超静定梁
q
A B A
表 8-1 等直梁杆端 弯矩和剪力。P181 FP B
l/2
l/2
q A B A l/2 q A l B A
A θA
X1
B θB Δ
X2
EI 令i , 称为杆件的线刚度 l 6i X 1 4i A 2i B AB l 6i X 2 2i A 4i B AB l
X1=1
1
M1
1
用M AB代替X1，M BA代替X 2，可得
6i M AB 4i A 2i B AB l 6i M BA 2i A 4i B AB l
M2
X2=1
两端固定等截面梁的杆端弯 矩的一般计算公式，通常也称 为转角位移方程
Δ
1/ l 1/ l
两端固定的等截面梁
A θA θB
B Δ
Δ AB M AB 4iθ A 2iθ B 6i L M 2iθ 4iθ 6i Δ AB BA A B L
FQAB FQBA

2

1
独立结点角位移的数目=刚结点的数目
两个假定： 1.略去受弯杆件的轴向变形和剪切变形影响； 2. 发生的弯曲变形是微小的。
F FQ AB ql / 2 F FQ BA ql / 2
FP A l/2 l/2 B
FP l/8 A
FP/2 FP l/8 B A
B FP/2
F M AB FP l / 8 F M BA FP l / 8
F FQ AB FP / 2 F FQ BA FP / 2
形常数与载常数
基本构件
形常数
三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力
载常数 三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力
要求 : 熟练记忆三类基本构件的形常数和载常数,并能 正确画出相应的弯矩图和剪力图
1
形常数—根据力法求得 （等截面直梁由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力）
1 A
B A
2i
B
A B
2. 回顾力法的解题思路
先求多余未知力 结构内力
结构位移
具体解题过程：
超静定结构 拆成基本结构 加上某些条件
位移条件（力法典型方程）
3. 反推位移法的解题思路
先求某些结点位移 结构内力
具体解题过程：
结 构 拆成单根杆件 的组合体
1.杆端位移协调条件
2.结点平衡条件
加上某些条件
4.力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同 力法：以多余未知力基本未知量
FP B
l/2
FP B
l/ 2
l/ 2
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
一、位移法的基本未知量----独立的结点位移（角位移和线位移） 两个假定： 1.略去受弯杆件的轴向变形和剪切变形影响； 2. 发生的弯曲变形是微小的。
即认为受弯直杆之间的距离在变形前后保持不变
1.无侧移结构

1
----基本未知量为所有刚结点的转角
B B
3i
1
0 0
l
3i
l
3i
l2
A
θ=1
B
i
－i
0
mAB
二、由外部荷载求固端反力矩
q
EI l
q EI l mBA
mAB
ql 2 8
ql 2 mBA 8
» 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力
6i 一般公式（转角位移方程）： M AB 4i A 2i B m AB M BA l 6i 2i A 4i B mBA l
Z1
结构的差别，在结点 1 的附
加约束上人为地加上一个外
力矩 R11，迫使结点 1 正好转
动了一个转角 Z1，于是变形
复原到原先给定的结构。
结点1正好转动一个转角Z1时，所加的附加约束不再 起作用，其数学表达式为：
R1=0
即在外荷载和应有的转角Z1共同作用于基本结构时， 附加约束反力矩等于零。 根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：
第八章
位 移 法
§8-1 概述
一、超静定结构计算方法的发展历史
a.1864年就出现了力法； b.上世纪初，由于钢筋混凝土结构的问世，出现了 大量高次超静定刚架，用力法解高次超静定问题 十分繁琐，于是在力法的基础上建立了位移法； c.30年代出现了由位移法演变而来的渐进法。
二、位移法与力法的区别
1. 先明确一个概念： 在给定的外部因素作用下，结构的解答是 唯一的。 解答包括：内力、位移。 即内力和位移之间肯定存在一定的关系。 即确定的内力只与确定的位移相对应。
单跨超静定梁在梁端1、柱顶1处分别转动单位角位移（即
Z1=1 ）时的弯矩图及在外荷载单独作用下的弯矩图。
画出各单跨超静定梁在梁端1、柱顶1处分别转动单位 角位移（即Z1=1 ）时的弯矩图
r11 Z1=1
M1
画出各单跨超静定梁在外荷载单独作用下的弯矩图
R1P
1
P
Pl 8
P
Pl 8
MP图
A
现取 M 1 图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方
⑴ 解出单跨超静定梁在常见外部因素作用下 的内力。
⑵ 确定以哪些结点的哪些位移为基本未知量。
⑶ 如何建立一般情形下的基本方程。
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
θA
ΔAB
X2
一、由杆端位移计算杆端弯矩与剪力 A 先用力法求解单跨超静定梁
B
θB
11 X 1 12 X 2 1C A 21 X 1 22 X 2 2C B
4i
M AB 4i M BA 2i
A B 1 A
6i/l
FQ 6i / l
6i/l
B A
12i/l2
B
6i/l
M AB 6i / l M BA 6i / l
FQ 12i / l 2
1 A B
A
B
A
B
3i
M AB 3i
3i/l
FQ 3i / l
A
B
1 A
3i/l
q
ql2/3 B A ql2/6
F M AB ql 2 / 3 F M BA ql 2 / 6
ql B A B
A
l
F FQ AB ql F FQ BA 0
A
FP B l/2
l/2
3FPl/8 A FP l/8
F M AB 3FP l / 8 F M BA FP l / 8
R1P
P
基本结构
此时附加刚臂中产生了反力矩R1P，反力矩规定以顺时 针为正。
Z1
R1P
P
Z1
基本结构
于是，基本结构与原结构就发生了差别，表现为：
1．由于加了约束，使结点1不能转动，而原来是能 转动的。 2．由于加了约束，产生了约束反力矩，而原来是 没有这个约束反力矩的。
为了消除基本结构与原
R11
F F M AB M BA ——固端弯矩。(两端固定的梁在荷 载、温度变化的作用下的杆端弯矩)
两端固定的等截面梁转角位移方程:
一端固定、另一端铰支的等截面梁转角位移方程：
一端固定、另一端定向滑动支座的等截面梁转角位移方程：
F M AB iθ A M AB F M i θ M A BA BA
R1＝R11＋R1P=0
（a)
R11--使附加刚臂1发生转角Z1时所产生的约束反力矩。
R1P—基本结构在荷载作用下附加刚臂1处产生的 约束反力矩。
R1＝R11＋R1P=0
（a)
为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为
R11 r11 Z1
R11
Z1
产生的约束反力矩。
r 11为单位转角（ Z ＝1） 1
R1＝R11＋R1P=0 式（a）变为： r11Z1 R1P 0
（a)
其物理意义是，基本结构由于转角Z1及外荷载共同作用， 附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零。
由此方程可得：
R1P Z1 r11
可见，只要有了系数 r11 及自由项R1P，Z1值很容易求得。
为了求出上式中的 R1P 和 r11 ，可先用力法分别画出各
位移法：以某些结点位移基本未知量
用力法求解，有6个未知数。 用位移法求解，未知数=
？个。
5.力法与位移法的适用范围：
力 法: 超静定结构
位移法：超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点较少而杆件较多的刚架。
位移法正负号规定
★杆端角位移、杆两端相对线位移（侧移）Δ ：顺时针为正 ★ 杆端弯矩：绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正
q A B
ql2/8 A B
5ql/8 A
B 3ql/8
M
F AB
ql / 8
2
F FQ AB 5ql / 8 F FQ BA 3ql / 8
FP
3FP l/16 B A B A
11FP/16 B 5FP/16
A
l/2 l/2
M
F AB
3FP l / 16
F FQ AB 11FP l / 16 F FQ BA 5 FP l / 16
Z1
整个刚架的变形只要用角 位移Z1来描述，如果能设法 求得转角Z1，即可求出刚架 的内力。
Z1
为了求出Z1值，可先对原结构作一些修改
1
1
B
基本结构
A
这样，原结构就被改造成两个单跨超静定梁： 其中： 1B是两端固定梁； 1A是一端固定、另一端铰结的梁。
在基本结构上加上原来的 力P，由于附加刚臂不允许结 点1转动，此时只有梁lB发生 变形，梁1A则不变形。
M AB M BA L
6iθ A 6iθ B Δ AB FQAB L L 12i 2 L 6iθ A 6iθ B Δ AB F 12i QBA L L L2
如何计算一端固定、另一端铰支等截面梁的转角位移方程？ θA
θA
A
B
将上式θB 代入MAB式可得：
M AB 3i 3i A l
---- 一端固定、另一端铰支的等截面梁转角位移方程
常见的单位杆端位移引起的杆端弯矩和剪力
单跨超静定梁
A A
MAB
B B
MBA
QAB= QBA
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θ=1
4i
6i l
2i
6i l
6i
12i
3i
l
l2
1
A
A
θ=1