二重极限转化为一重极限的方法及存在判定法

二重极限转化为一重极限的方法及存在判定法

二重极限由于其变量趋近某一点时方式（即轨迹）的任意性，给二重极限的计算和极限存在的判定造成了很大的困难。我曾经看到过几篇关于用二次累极限来研究二重极限的文章，都觉得不尽理想。下面介绍我的方法，虽然高等数学教材（同济六版）和考研都没有对此作出要求，但也是很容易掌握的。

先来重温一下二重极限的定义。设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 某个邻域内有定义，若对于任意的0>ε，都存在常数0>δ使得当

()()δ<-+-<20200y y x x 时，有()ε<-A y x f ,成立，那么A y x f y y x x =→→),(lim 0

0。注意到()()δ<-+-<20200y y x x 是半径为δ、去掉圆心和边界的圆面，因此我们可以用过圆心的一族直线将它铺满，且根据定义，自变量趋近于这个点的方式是任意的，因此我们就可以限制自变量沿着这一族直线的任意一条趋近于该点。易得过点),(00y x 的直线族为

⎩⎨⎧+∞-∞∈-=-).

,(),(00k x x k y y 这时有

⎩⎨⎧-=-=)

(),,(00x x k y y y x f z ， 消去y （消去变量y 也类似），得二元函数),(k x z ϕ=，计算得到一元

函数),(lim )(0

k x k x x ϕμ→=（这是一个一重极限），则原二重极限存在的充分必要条件是函数)(k μ是常函数，此时这个函数就等于原二重极限。这就是二重极限转化为一重极限的计算方法和二重极限存在的判定方法。