稀疏约束的正则化方法

稀疏约束的正则化方法

翁云华;杜娟

【摘要】This paper presents a peculiar regularization method of theoretical analysis is used to solve the in-verse problem of ( nonlinear) so as to promote the regularization method to the sparse domain.We look at spe-cific Tikhonov regularization method of stability and convergence.We are going to the regularization method is used in the traditional continuous lp space,So we will be limited p between 0 to 1,while

p<1,Triangle ine-quality is no longer set up and we'll get a pseudo Banach space with non convex constraints.We are going to prove the existence of the minimum value in the traditional environment, the stability and continuity.In addi-tion, we will also be given in the respective topological Hilbert space under the traditional assumptions of the convergence speed.%给出了一个奇特的正则化方法的理论分析并用来解决（非线性）反问题，从而将正则化方法推广到稀疏域上。考察特定的Tikhonov正则化方法的稳定性和收敛性。将这种正则化方法用于传统的连续的lp 空间，由于这是稀疏域上的正则化方法，所以将p限定于0到1之间。当p＜1时三角不等式不再成立并且会得到一个带

有非凸限制条件的伪Banach空间，证明了在传统的环境下最小值的存在性、稳定性和连续性。还给出在各自的传统假设下拓扑Hilbert空间下的收敛速度。

【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2016(015)001

【总页数】5页(P24-28)

【关键词】凸函数;稀疏约束;正则化;收敛率

【作者】翁云华;杜娟

【作者单位】成都理工大学管理科学学院，四川成都 610059;成都理工大学管理科学学院，四川成都 610059

【正文语种】中文

【中图分类】O29

本文是关于在稀疏域条件下正则化方法的理论分析.我们将这种方法不妨设在

lp(p∈(0,1))空间上并且是非线性的算子.我们证明了Tikhonov正则化方法的解的存在性,解得稳定性,对数据扰动解的收敛性.除此之外,我们还将给出在各自的传统假设下拓扑Hilbert空间下的收敛速度.

考虑算子方程[2]

F(x)=y

这里F是一个非线性算子.为此我们将该式用Tikhonov方法表示,求该等式的最小值

除了传统的正则化项ψ(x),如L2范数,全部变量或者是最大正则化熵等方法,还有一个具有潜质的新奇的稀疏域上的正则化方法.

在文[1]中的几种拓展最初设定的l1正则化方法和压缩landwerber迭代是两种求最小值的算法,得到了进一步完善[6,7,9].通过文[5]中关于l1一些稀疏域上基本正则化方法的介绍我们能够实现将该方法延拓到稀疏域上.

本文主要研究了如式(2)具有良好适定性的Tikhonov正则化非线性反问题,其中

ψ(x)是lp伪范数.证明了传统意义下正则化非线性算子的最小解的存在性,稳定性和收敛性.因此，用类似于求最大熵的方法将式(2)转化为在凸区域上的标准的正则化

问题,此外还给出了拓扑空间标准收敛率.

假设X为(伪)Banach[3]空间lp(0

通常得到的yδ都是带有误差的且满足‖y-yδ‖≤δ,δ>0,这就造成了不适定问题的产生.因此关注下面广义的Tikhonov泛函

Jα:X→R

其中α>0,p∈(0,1],并且‖x‖p是lp的伪范数[4]

‖

其中xk是数列x的第k项.

下面所要做的事情就是将原来的泛函(3)转换成更容易得到的或者是相近的.最终改造后的最小值问题就映射成1≤q≤2区域上了,这样就能应用标准的正则化理论了,q=1时是一种特殊的情况,这时的正则化理论很多都不能成立,因此就要单独讨论. 现在xs在原式(3)中表示各个量的从属关系在当前章节中用X表示lp(0

通过特定的非线性算子,可见最小值问题成功转化,下面的定义定理可以详细说明叠加算子如何使转化成功.

定义1 令φp,q是N×R到R上的映射:

φp,q:N×R

(k,r)|→sign(r)|

引理1[8]对任意的0

定义2 定义映射序列算子Np,q，

Np,q:x|→{φp,q(k,xk)}k∈N,

x∈Z,0

显然这种方法定义的算子序列其实没什么必要,因为φp,q是不依赖于k的,但是这种方法能够清楚地看到其相近关系,从而能够更深入的了解定理定义.

命题1 对任意的0

Gp,q:D(G)→Y ，x|→F∘Np,q(x) ,

其中D(g)⊆Z,D(G):(F)).

问题1 令yδ是真实值y的一个近似满足条件‖y-yδ‖≤δ并且α>0,最小值公式为: 映射成xs∈X,0

问题2 令yδ是真实值y的一个近似满足条件‖y-yδ‖≤δ并且α>0,定义

xs=Np,q(x),0

映射成x∈Z,1≤q≤2.

论点1 显然问题1与问题2是等价的.

定义3 假设存在一个弱非平凡拓扑,是一个正交空间,存在一个弱闭算子O使得对一切弱序

⟹O(x)=a

假设存在一个弱非平凡拓扑,是一个正交空间,存在一个弱连续算子O使得对一切弱序列xn有

⟹

论点2 对任意的0

证明令然后会发现

(Np,q(x))k=φp,q(k,xk)=sign(xk)|xk|r-1,r>1.

这种传统算子Np,q作用于lr同时有个函数:ω(t)=tr-1,根据[2]中的推论4.11以及