空间角及其求法

空间角及其求法张玉洪异面直线所成角直线与平面所成二面角
图
示
定义在空间任取一点o，分
别作a，b的平行线，
从而形成的的锐（角）
叫作异面直线所成角。

斜线与它在平面
内的射影所成的
锐角。

从一条直线引出的两个半平面所
组成的图形叫做二面角。

表
示
异面直线a、b所成角线a与平面所成角
范
围
备
注
平移、妙选顶点找射影、二足相连用什么度量？
一.用定义求空间角的步骤
1.作出所求的空间角<定位>
2.证明所作的角符合定义<定性>
3.构造三角形并求出所要求角<定量>
简言之，空间角的求解步骤为：“一作”、“二证”、“三算”
二典例分析
例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是棱A1B1和BB1的中点，求直线AM 和CN所成角。

解析：
途径一过D1作D1E//AM，作D1F//CN，连接EF，显然为异面直线AM与CN所成角。

通过解△D1EF即可。

途径二过D作D1E//AM，再过N作NG//D1E，显然为异面直线AM与CN所成角。

通过解△ＮＧＣ即可。

方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。

常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。

例2.如图棱长是1的正方体，p、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足.
（1）求证：A1p⊥平面AQD；
（2）求直线pQ与平面AQD所成角的正弦值.
解析：过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1p ⊥面AQD，
设A1p交AR与S，连接SQ即可。

由以上的作法可知
即为所求角，只需解三角形SpQ即可。

方法提炼2.求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。

由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。

例3. 在四棱锥p-ABCD中，已知ABCD为矩形，pA ⊥平面ABCD，设pA=AB=a，BC=2a，求二面角B-pC-D的大小。

解析1.定义法过D作DE ⊥pC于E，过E作EF ⊥pC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-pC-D的平面角。

求解二面角B-pC-D的大小只需解△DEF 即可。

解析2.垂面法易证面pAB⊥面pBC，过A作AM ⊥Bp于M，显然AM ⊥面pBC，从而有AM ⊥pC，同法可得AN ⊥pC，再由AM与AN相交与A得pC ⊥面AMN。

设面AMN交pC于Q，则为二面角B-pC-D的平面角；再利用三面角公式可解。

解析3.利用三垂线求解把四棱锥p-ABCD补成如图的直三棱柱pAB-EDC，显然二面角
E-pC-D与二面角D-pC-B互补，转化为求二面角E-pC-D。

易证面pEDA ⊥pDC，过E作EF ⊥pD于F，显然pF ⊥面pDC，在面pCE内，过E 作EG ⊥pC于G，
连接GF，由三垂线得GF⊥pC 即为二面角E-pC-D的平面角，只需解△EFG即可。

解析4. 射影面积法由解析3的分析过程知，△pFC为△pEC在面pDC上的射影，由射影面积公式得，余下的问题比较容易解决！
解析5.在面pDC内，分别过D、B作DE ⊥pC于E，BF ⊥pC于F，连接EF即可。

利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q 即可。

方法提炼3.求二面角的方法比较多，常见的有：
（1）定义法在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１
（2）三垂线求解在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２
（3）垂面法在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３
图示
A．定义法（点在棱上）B.三垂线定理（点在面内） C.垂面法（点在空间内）
（4）射影面积法利用射影面积与斜面的关系求解如图所示，射影DDBC、斜面△ABC
与两面所成的二面角q之间有：
（5）空间余弦定理运用公式
求解，如例3解析5
六.针对训练
针对训练1. 已知正方体中，E、F分别是棱、的中点。

求EF与AD所成角的大小为__________，与平面所成角为______________。

针对训练2. 已知二面角a－l－ b ，A为面a内一点，A到b 的距离为 2 ，到l的距离为4。

求二面角a－l－b 的大小。

针对训练3 . 如图，三棱锥p-ABC的顶点p在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若pB=AB=1，BC=，求二面角p-AB-C的正切值。

针对训练4. 如图p为二面角α–ι–β内一点，pA⊥α, pB⊥β,且pA=5，pB=8，AB=7，求这二面角的度数。

针对训练5 在直角坐标系中，设A （－2 , 3 ）、B（3 ，－2 ），沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后,，则的值为。

七.专题总结
本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：
线线角，用平移，妙选顶点，
线面角，作射影，二足相连。

二面角，求法多，空间余弦，
用定义，三垂线，射影垂面。

熟化归，解三角，算准结果，
作证求，三环节，环环相扣。

求解的基本思路为：
八.课外作业
1.如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，
∠CBD=30°. （2003 年南京市高三第三次质量检测卷数学-18）
（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求二面角D—AB—C的大小；（Ⅲ）求异面直线AC和BD所成的角.
2.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G 是EF的中点，（Ⅰ）求证平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的正弦值.
（Ⅲ）求二面角B—AC—G的大小（唐山市03 ~ 04年度高三摸底考试－18）
3如图，四棱锥p—ABCD中，侧面pDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直，且ABCD为菱形. （1）求证：pA⊥CD；
（2）求异面直线pB和AD所成角的余弦值；
（3）求二面角p—AD—C的正切值.
（山东济南市2004年1月高三统一考试-数学（文）－20）。