圆柱体在匀强场强中柱内电势问题分析大物DTP

外表面均匀带电的圆柱体在匀强场强中柱内的总电势问题

华南师范大学物理与电信工程学院08级物理3班 20082301129 赵泽君 摘要：

求外表面均匀带电的圆柱体在匀强场强中柱内的总电势问题，设圆柱中心的电势为零，外加匀强E 产生的电势为2ϕ，则22

ϕ∇=0，建立在柱坐标上的拉普拉斯方程，运用分离

变量法，得出2ϕ（r, θ）的通解，再叠加上圆柱体外表面的电荷所产生的电势1ϕ 以下是方程的解题过程，和利用计算机平台而画出的图像，这有利于巩固数物知识和进一步熟悉对该软件的操作。

关键词：拉普拉斯方程，分离变量

前言：求外加匀强E 产生的电势2ϕ较为复杂，为了研究方便，我们把问题修改为拉普拉斯方程和边界条件来求，显得简单易求。

问题求解：

电量Q=4C ，均匀地分布在半径为R ，长为L （L>>R ）的绝缘长圆柱体的外表面上，圆柱的介电常数为ε(10=ε)，沿垂直于圆柱的轴的方向上有均匀电场E ，忽视边缘效应，求柱内总电势

解：总电势可以看着Q 与E 单独产生的电势知叠加，Q 产生的电势以求得

0 r

)(1r ϕ= -Q*ln(r/R)/(2*3.1415*1*L) r>R

在柱坐标上 2222.1)(.1θ

ϕϕ∂∂+∂∂∂∂r r r r r =0

可用分离变量法分离的 ∑++

+n

n n n n n n n d n c r n b n a r )]sin cos (1)sin cos ([θθθθ r

∑+++n n n n n n n n h n g r n f n e r )]sin cos (1)sin cos ([θθθθ r>R

由边界条件，r 趋近于零时，2ϕ=0，可以确定n c =n d =0，在r=R 时，-=R r 2ϕ=+=R r 2

ϕ得 -=∂∂R r r 2

ϕε=+

=∂∂R r r 2ϕε 故可得

)sin cos (1cos )]sin cos ([θθθθθn h n g R RE n b n a R n n n n

n n n n ++-=+∑∑

)sin cos (cos )]sin cos ([11θθθθθεn h n g R n RE n b n a nR n n n n n n n n +--=+∑∑+- 解得

ε+-=121E a )

1()1(2

1εε+-=ER g , 011======n n n n h g b a h b 故

2ϕ=ε

θ+-1cos 2Er r

柱内总电势：21ϕϕϕ+==ε

θ+-1cos 2Er r

3=ε 时

2=ε 时

=

1

结论：

通过建立在柱坐标上的拉普拉斯方程，运用分离变量法，求得外表面均匀带电的圆柱体在匀强场强中不同圆柱介电常数下柱内的总电势，并且利用软件形象地画出各种情况下的圆柱内总电势。

参考文献：

[1]李元杰，数学物理方程与特殊函数，高等教育出版社，2009.

【2】刘金英陈银华赵淑平，电磁学与电动力学2，科学出版设，2005