传热解析解
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������=1
������������
=
������0 2������
������2
−
������0 2������
������2
∞
∑
������������
cosh
������������
������
∙
cos
������������������
=
������0 2������
������2
−
������0 2������
=
0
������ = 0
������������ = 0 ������ = ������
������������������ ������������
=
0
������ = 0
������������
=
������0 2������
������2
−
������0 2������
������2
������ = ������
1 Y(������)
∙
������2Y(������) ������2������
=
β2
所以,关 y 的方程和边界条件为:
������2Y(������) ������2������
+������2Y(������)
=
0
0 < ������ < ������
������ Y(������) ������ ������ = 0
������2
− ������
������ = ������
������������
=
������0 2������
������2
− ������
������ = ������
令:A = ������0 ������2
2������
则边界条件:
������������������ ������������
������2������ ������������2
+
������2������ ������������2
+
������0 ������
=
1 α
∙
������������ ������������
������������ ������������ = 0 T = ������1
������ = 0 ������ = ������
P
=
−
������0 2������
∙
������2
所以
������������
=
−
������0 2������
∙
������2
+
������������
+
������
方程及边界条件成为:
������2������������ ������������2
+
������2��ห้องสมุดไป่ตู้��������� ������������2
带入方程:
������ℎ = X(x) ∙ Y(y) ∙ Γ(t)
1 ������2X(x) 1 ������2Y(y) 1 ������2Γ(t) ������(������) ∙ ������������2 + ������(������) ∙ ������������2 = ������Γ(t) ∙ ������2������
温度随时间的变化曲线;
(b) 200s 内,画出点 (18,4) 、 (18,8) 、 6,12、 (12,12) 、 (9,6) (单位:m)处热
流密度值随时间的变化曲线; (c) 画出 t 50s、75s、100s、125s、150s 时刻区域内的等温线;
(d) 300s 内,在同一图中画出点 9,0( 单位:m)在 g0 分别等于1W m3 ,2W m3 ,
利用过余温度,简化边界条件,将为非其次条件转化为其次条件:
令:θ = T − ������1 则控制方程变为:
������2θ ������������2
+
������2θ ������������2
+
������0 ������
=
1 α
∙
������θ ������������
边界条件成为:
������θ ������������ = 0
������ = 0
X(������) = 0
������ = ������
经查表得:
X(������������, x) = cos ������������������ 同时 令:
12 ������(������������) = ������
������������是 cos ������������������ = 0 的正根
令:
1 X(������)
∙
������2X(������) ������2������
=
−β2
所以,关于 x 的方程和边界条件为:
������2X(������) ������2������
+������2X(������)
=
0
0 < ������ < ������
������ X(������) ������ ������ = 0
设:
1 ������(������)
∙
������2X(x) ������������2
=
−������2
1 ������(������)
∙
������2Y(y) ������������2
=
−������2
所以:
1 ������Γ(t)
∙
������2Γ(t) ������2������
=
−(������2
2、若 a 18m , b 12m , g0 1W m3 ,T1 600K ,T0 200K ,热传导系数
k 1.0W m K ,热扩散系数 0.8m2 s 。请根据 1 中所求温度分布用 MATLAB 软件绘出下列结果,加以详细物理比较和分析:
(a) 300s 内,在同一图中画出点 (0,4) 、(0,8) 、6,0、(12,0) 、(9,6)(单位:m)
������2
������=1
利用特征函数的正交性得出:
所以
������������
=
N(������������
)
1 cosh
������������
������
∫0������(2���������0���
������2
−
������0 2������
������2)
∙
cos
������������������
������������
������������
=
2
∙
∞
∑
������=1
������
1 cosh
������������������
cosh
������������
������
∙
cos
������������������
∙
∫0������(2���������0���
������′2
−
������0 2������
cos
������������������
−
������0 ������������3������
sin
������������������
且
������0 ������������2������
cos
������������������
=
0
所以
∫0������(2���������0���
������2
边界条件是:
������������h ������������
=
0
������ = 0
������������h ������������
=
0
������h = 0 初始条件是:
������ = ������
������h = 0
利用分离变量,设:
������h(x, y, 0) = ������0 − ������1 − ������������
������2X(x) ������������2
+
������2������(������)
=
0
1 ������(������)
∙
������2Y(y) ������������2
=
−������2
������X(x) ������������ = 0
x= 0
������Y(y) ������������ = 0
ii. 其次非稳态解������h 其次非稳态解的控制方程是:
������2������h ������������2
+
������2������ℎ ������������2
=
1 ������
∙
������������ ������������
(0 < ������ < ������, 0 < ������ < ������)
+
������2)
得出:
������2Γ(t) ������2������
+
������Γ(t)(������2
+
������2)
=
0
所以时间函数的一个基本解为:
Γ(t) = ������−α(������2+������2)t
������ = 0 ������ = ������
关于x 和 y参数的方程和边界条件是:
3W m3 情况下的温度变化曲线; 3、运用有限差分法计算 2 中(b)和(d),与解析结果进行比较; 以报告形式整理上述结果,附上源程序和个人体会,用 A4 纸打印上交。
Ⅰ解析解: 模型的控制方程是:
边界条件: ������������ ������������ = 0 T = ������1
������ = 0 ������ = ������
������2)
∙
cos
������������������′
������������′
经化简:
∫0������(2���������0���
������2
−
������0 2������
������2)
∙
cos
������������������
������������
=
������0 ������������2������
大作业题
一矩形平板 0 x a , 0 y b ,内有均匀恒
定热源 g0 ,在 x 0 及 y 0 处绝热,在 x a 及 y b
处保持温度T1 ,初始时刻温度为T0 ,如右图 1 所示:
1、求 t 0时,矩形区域内的温度分布T x, y,t的解
析表达式;
图 1、示意图
������ = 0
经查表得:
������(������������, y) = cosh ������������ ������ 所以稳态非其次解得齐次解部分的解是:
因为y = b时 所以
∞
������������ = ∑ ������������ cosh ������������ ������ ∙ cos ������������������
y= 0
X(x) = 0 经查表得:
x = ������
X(������������, x) = cos ������������ ������
Y(������������, ������) = cos ������������ ������ 所以其次非稳态的解为:
Y(y) = 0 y = b
12 ������(������������) = ������
利用分离变量法,设 ������������=X(������)������(������) 则原方程化为:
1 ������2X(������) 1 ������2Y(������) X(������) ∙ ������2������ + Y(������) ∙ ������2������ = 0
−
������0 2������
������2)
∙
cos
������������������
������������
=
−
������0 ������������3������
sin
������������������
综上所述,稳态非其次的最终解是:
������������
=
������0 2������
=
0
(0 < ������ < ������, 0 < ������ < ������)
边界条件为:
������������������ ������������
=
0
������ = 0
������������������ ������������
=
0
������ = 0
������������
=
������0 2������
12 ������(������������) = ������
(������2
−
������2)
−
2
∙
∞
∑
������=1
������
1 cosh
������������������
cosh
������������
������
∙
cos
������������������
∙
������0 ������������3������
sin
������������������
������ = 0
������θ ������������ = 0
θ=0
������ = ������
θ=0
������ = 0 ������ = ������
将问题分解成其次非稳态和稳态非其次的问题的叠加
i. 稳态非其次解������������(特解用 P 表示,齐次解用������������表示) ������������ = P + ������������ + ������ (A 为一常数,用于后面的化简) 查表得
������������
=
������0 2������
������2
−
������0 2������
������2
∞
∑
������������
cosh
������������
������
∙
cos
������������������
=
������0 2������
������2
−
������0 2������
=
0
������ = 0
������������ = 0 ������ = ������
������������������ ������������
=
0
������ = 0
������������
=
������0 2������
������2
−
������0 2������
������2
������ = ������
1 Y(������)
∙
������2Y(������) ������2������
=
β2
所以,关 y 的方程和边界条件为:
������2Y(������) ������2������
+������2Y(������)
=
0
0 < ������ < ������
������ Y(������) ������ ������ = 0
������2
− ������
������ = ������
������������
=
������0 2������
������2
− ������
������ = ������
令:A = ������0 ������2
2������
则边界条件:
������������������ ������������
������2������ ������������2
+
������2������ ������������2
+
������0 ������
=
1 α
∙
������������ ������������
������������ ������������ = 0 T = ������1
������ = 0 ������ = ������
P
=
−
������0 2������
∙
������2
所以
������������
=
−
������0 2������
∙
������2
+
������������
+
������
方程及边界条件成为:
������2������������ ������������2
+
������2��ห้องสมุดไป่ตู้��������� ������������2
带入方程:
������ℎ = X(x) ∙ Y(y) ∙ Γ(t)
1 ������2X(x) 1 ������2Y(y) 1 ������2Γ(t) ������(������) ∙ ������������2 + ������(������) ∙ ������������2 = ������Γ(t) ∙ ������2������
温度随时间的变化曲线;
(b) 200s 内,画出点 (18,4) 、 (18,8) 、 6,12、 (12,12) 、 (9,6) (单位:m)处热
流密度值随时间的变化曲线; (c) 画出 t 50s、75s、100s、125s、150s 时刻区域内的等温线;
(d) 300s 内,在同一图中画出点 9,0( 单位:m)在 g0 分别等于1W m3 ,2W m3 ,
利用过余温度,简化边界条件,将为非其次条件转化为其次条件:
令:θ = T − ������1 则控制方程变为:
������2θ ������������2
+
������2θ ������������2
+
������0 ������
=
1 α
∙
������θ ������������
边界条件成为:
������θ ������������ = 0
������ = 0
X(������) = 0
������ = ������
经查表得:
X(������������, x) = cos ������������������ 同时 令:
12 ������(������������) = ������
������������是 cos ������������������ = 0 的正根
令:
1 X(������)
∙
������2X(������) ������2������
=
−β2
所以,关于 x 的方程和边界条件为:
������2X(������) ������2������
+������2X(������)
=
0
0 < ������ < ������
������ X(������) ������ ������ = 0
设:
1 ������(������)
∙
������2X(x) ������������2
=
−������2
1 ������(������)
∙
������2Y(y) ������������2
=
−������2
所以:
1 ������Γ(t)
∙
������2Γ(t) ������2������
=
−(������2
2、若 a 18m , b 12m , g0 1W m3 ,T1 600K ,T0 200K ,热传导系数
k 1.0W m K ,热扩散系数 0.8m2 s 。请根据 1 中所求温度分布用 MATLAB 软件绘出下列结果,加以详细物理比较和分析:
(a) 300s 内,在同一图中画出点 (0,4) 、(0,8) 、6,0、(12,0) 、(9,6)(单位:m)
������2
������=1
利用特征函数的正交性得出:
所以
������������
=
N(������������
)
1 cosh
������������
������
∫0������(2���������0���
������2
−
������0 2������
������2)
∙
cos
������������������
������������
������������
=
2
∙
∞
∑
������=1
������
1 cosh
������������������
cosh
������������
������
∙
cos
������������������
∙
∫0������(2���������0���
������′2
−
������0 2������
cos
������������������
−
������0 ������������3������
sin
������������������
且
������0 ������������2������
cos
������������������
=
0
所以
∫0������(2���������0���
������2
边界条件是:
������������h ������������
=
0
������ = 0
������������h ������������
=
0
������h = 0 初始条件是:
������ = ������
������h = 0
利用分离变量,设:
������h(x, y, 0) = ������0 − ������1 − ������������
������2X(x) ������������2
+
������2������(������)
=
0
1 ������(������)
∙
������2Y(y) ������������2
=
−������2
������X(x) ������������ = 0
x= 0
������Y(y) ������������ = 0
ii. 其次非稳态解������h 其次非稳态解的控制方程是:
������2������h ������������2
+
������2������ℎ ������������2
=
1 ������
∙
������������ ������������
(0 < ������ < ������, 0 < ������ < ������)
+
������2)
得出:
������2Γ(t) ������2������
+
������Γ(t)(������2
+
������2)
=
0
所以时间函数的一个基本解为:
Γ(t) = ������−α(������2+������2)t
������ = 0 ������ = ������
关于x 和 y参数的方程和边界条件是:
3W m3 情况下的温度变化曲线; 3、运用有限差分法计算 2 中(b)和(d),与解析结果进行比较; 以报告形式整理上述结果,附上源程序和个人体会,用 A4 纸打印上交。
Ⅰ解析解: 模型的控制方程是:
边界条件: ������������ ������������ = 0 T = ������1
������ = 0 ������ = ������
������2)
∙
cos
������������������′
������������′
经化简:
∫0������(2���������0���
������2
−
������0 2������
������2)
∙
cos
������������������
������������
=
������0 ������������2������
大作业题
一矩形平板 0 x a , 0 y b ,内有均匀恒
定热源 g0 ,在 x 0 及 y 0 处绝热,在 x a 及 y b
处保持温度T1 ,初始时刻温度为T0 ,如右图 1 所示:
1、求 t 0时,矩形区域内的温度分布T x, y,t的解
析表达式;
图 1、示意图
������ = 0
经查表得:
������(������������, y) = cosh ������������ ������ 所以稳态非其次解得齐次解部分的解是:
因为y = b时 所以
∞
������������ = ∑ ������������ cosh ������������ ������ ∙ cos ������������������
y= 0
X(x) = 0 经查表得:
x = ������
X(������������, x) = cos ������������ ������
Y(������������, ������) = cos ������������ ������ 所以其次非稳态的解为:
Y(y) = 0 y = b
12 ������(������������) = ������
利用分离变量法,设 ������������=X(������)������(������) 则原方程化为:
1 ������2X(������) 1 ������2Y(������) X(������) ∙ ������2������ + Y(������) ∙ ������2������ = 0
−
������0 2������
������2)
∙
cos
������������������
������������
=
−
������0 ������������3������
sin
������������������
综上所述,稳态非其次的最终解是:
������������
=
������0 2������
=
0
(0 < ������ < ������, 0 < ������ < ������)
边界条件为:
������������������ ������������
=
0
������ = 0
������������������ ������������
=
0
������ = 0
������������
=
������0 2������
12 ������(������������) = ������
(������2
−
������2)
−
2
∙
∞
∑
������=1
������
1 cosh
������������������
cosh
������������
������
∙
cos
������������������
∙
������0 ������������3������
sin
������������������
������ = 0
������θ ������������ = 0
θ=0
������ = ������
θ=0
������ = 0 ������ = ������
将问题分解成其次非稳态和稳态非其次的问题的叠加
i. 稳态非其次解������������(特解用 P 表示,齐次解用������������表示) ������������ = P + ������������ + ������ (A 为一常数,用于后面的化简) 查表得