4 有界线性算子与线性算子的基本定理g

故 ||T||=b-a
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第11页 页 积分算子T: 例5 积分算子 L1 [a,b]→L1[a,b], → 是有界线性算子, 是有界线性算子,且 ||T||=b-a. 事实上，T显然是线性算子,且 事实上， 显然是线性算子, 显然是线性算子
是有界算子, ⇒T是有界算子, 且||T||≤b-a 是有界算子 ≤ 另一方面,对任何使 另一方面,对任何使a+1/n<b的n,构造函数列 的 ,
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第8页 页 乘法算子T: 也是有界线性算子, 例2 乘法算子 C[a,b]→L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且 → 也是有界线性算子
事实上， 事实上，T 显然是线性算子
是有界算子, ⇒T是有界算子,且 是有界算子 可以证明 因此
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第10页 页 积分算子T: 例4 积分算子 C[a,b]→C[a,b], → ], 是有界线性算子, 是有界线性算子,且 ||T||=b-a 事实上， 显然是线性算子 显然是线性算子, 事实上，T显然是线性算子,且
是有界算子, ⇒T是有界算子,且 ||T||≤b-a 是有界算子 ≤ 另一方面，取x0=x0(t)=1, 则||x0||=1 另一方面，
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第3页 页 2 有界线性算子的性质 定理1 是线性赋范空间, 是线性子空间, 是线性算子, 定理 设X,Y是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,T: D→Y是线性算子,则 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 → 是线性算子 (1) T为有界算子⇔∀ ⊂D为有界集时,T(A)={Tx|x∈A}⊂Y也是有界集 ⇔ ∀A⊂D为 为有界算子⇔∀ 为有界集时, 为有界算子⇔∀A⊂ 为有界集时 ∈ ⊂ 也是有界集 ⊂ 为 有界集时, ∈ 有界集时,∀x∈A, ∃K>0, 使得 ||Tx||≤K. ≤ . (2) T为连续算子⇔T在∀x0∈D处连续⇔ T在D上处处连续 为连续算子⇔ 在 处连续⇔ 在 上处处连续 为连续算子 处连续 (3) T为连续算子⇔T为有界算子. 为连续算子⇔ 为有界算子. 为连续算子 为有界算子 证 (1) “⇒” 设T: D→Y是线性、有界算子，A⊂D为有界集 是线性、 ⇒ → 是线性 有界算子， ⊂ 为有界集 ⊂ ⇒∀x∈A⊂D, ∃M>0,使得 ,使得||Tx||≤M||x||; ≤ Tx∈T(A)⊂Y ∈ ⊂ 使得||x||≤ 且∃K>0, 使得 ≤K ⇒T(A)⊂Y是有界集 ⊂ 是有界集 ⇒||Tx||≤M||x||≤MK； ≤ ≤ ；
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第9页 页 乘法算子T: 是有界线性算子, 例3 乘法算子 C[a,b]→C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且 → 是有界线性算子
事实上， 事实上，T 显然是线性算子
⇒T是有界算子,且 是有界算子, 是有界算子 可以证明 因此 注:乘法算子T: L2[a,b]→L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且 乘法算子 → 也是有界线性算子, 也是有界线性算子
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第四章 有界线性算子
•有界线性算子与线性算子空间 有界线性算子与线性算子空间 •有界线性泛函与共轭空间 有界线性泛函与共轭空间 微积分主要研究对象—函数 微积分主要研究对象 函数 R到R的映射 一元函数 到 的映射 的映射—一元函数 Rn到R的映射 的映射—n元函数 的映射 元函数
算子 泛函分析主要研究对象 泛函
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一、有界线性算子的定义与性质
1 有界线性算子的定义 定义1 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定义1 设X是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,映射 D→Y. 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 映射T: → . T(x1+x2)=Tx1+Tx2 (1)T是线性算子⇔∀x 是线性算子⇔∀ 及数 , (1) 是线性算子⇔∀ 1, x2∈D及数α∈K,有 T(αx)=αTx (2)T是连续算子⇔∀x ∈ (2) 是连续算子⇔∀ n, x∈D,n=1,2,…, xn→x, 有Txn→Tx 是连续算子⇔∀ ⇔∀x,x ⇔∀ 0∈D, x→x0, 有Tx→Tx0;⇔T在D上处处连续 → → 在 上处处连续 (3)T是有界算子⇔∀x∈ (3) 是有界算子⇔∀ ∈D, ∃M>0, 使||Tx||≤M||x||X 是有界算子⇔∀ , ≤ (4)T是有界线性算子⇔ 既是有界算子 既是有界算子, (4) 是有界线性算子⇔T既是有界算子,又是线性算子 是有界线性算子 (5)T是连续线性算子⇔ 既是连续算子, (5) 是连续线性算子⇔T 既是连续算子,又是线性算子 是连续线性算子 定义中, 算子 的定义域; 算子T 算子T的界值 的界值;T(D)={Tx|x∈D}- 算子 的值域 算子T的值域 注:1)定义中,D -算子T的定义域 M -算子 的界值 定义中 ∈ 无界函数 2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x ）有界算子与有界函数不同, 有界算子: 有界算子:|f(x)|=|x|<2|x|
线性算子— 线性算子 线性空间到线性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ间的映射 非线性算子— 非线性算子 一般空间到一般空间的映射 线性泛函— 线性空间到R的映射 线性泛函 线性空间到 的映射 非线性泛函— 一般空间到 的映射 一般空间到R的映射 非线性泛函
线性算子空间—有界线性算子集合+算子线性运算+算子范数= 线性算子空间 有界线性算子集合+算子线性运算+算子范数=线性赋范空间 有界线性泛函集合+ 共轭空间—有界线性泛函集合+泛函线性运算+泛函范数=巴拿赫空间 有界线性泛函集合 泛函线性运算+泛函范数=
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可作为范数定义） （可作为范数定义） ⇒
⇒
⇒
第7页 页 4 算子的延拓 定义3 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定义 设X,Y是线性赋范空间 D1⊂D2⊂X是线性子空间 T1: D1→Y, T2: D2→Y是两 是线性赋范空间 是线性子空间 是两 则称算子 算子T 的延拓。 个有界线性算子,且当 且当x∈ 个有界线性算子 且当 ∈D1时,T1x=T2x, 则称算子 2是T1的延拓。 结论：算子延拓后,新算子的范数大于或等于原来算子的范数。 结论：算子延拓后,新算子的范数大于或等于原来算子的范数。 延拓后 事实上， 事实上， 5 有界线性算子及其范数举例 是线性赋范空间, 上的相似算子T: → 是有界线性算子。 例1 设X是线性赋范空间,则X上的相似算子 X→X, Tx =αx,是有界线性算子。 是线性赋范空间 上的相似算子 是有界线性算子 事实上， 事实上，∀x1, x2∈X, λ1,λ2∈R, T(λ1x1+λ2x2)=α (λ1x1+λ2x2) 是有界线性算子， = λ1αx1+ λ2αx2=λTx1+λTx2; ||Tx||=||αx||=|α| ||x||; 故T是有界线性算子，且||T||=|α|. 是有界线性算子 为恒等算子I, 注:当α =1时,T为恒等算子 ,||I||=1； 时 为恒等算子 ； 当α = 0时, 称T为零算子 时 为零算子
也是有界线性算子, 也是有界线性算子,且 事实上，T显然是线性算子,且对∀x=x(t)∈C[a,b], 有 事实上， 显然是线性算子,且对∀ ∈ 显然是线性算子
是有界线性算子, 故T是有界线性算子,且 ||T||=1. 是有界线性算子 .
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第13页 页 算子( 为核的积分变换算子） 例7 Fredholm算子(以二元连续函数 算子 以二元连续函数K(s,t)为核的积分变换算子）T: C[a,b]→C[a,b] 为核的积分变换算子 →
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第6页 页 3 有界线性算子的范数 定义2 是线性赋范空间， ⊂ 是线性子空间 是线性子空间, 是有界线性算子, 定义 设X,Y是线性赋范空间，D⊂X是线性子空间 T: D→Y是有界线性算子,则称 是线性赋范空间 → 是有界线性算子 ||T||=inf { M | ||Tx||Y ≤ M||x||X, ∀x∈D} 为算子 的范数 为算子T的 ∈ 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定理2 设X,Y是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,T: D→Y是 定理 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 → 是 有界线性算子， 的范数具有下列性质： 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： 的范数具有下列性质 (1)||Tx||≤||T|| ||x||,∀x∈D(即||T||是有界线性算子 的最小界值定义） ≤ 是有界线性算子T的最小界值定义 (1) ∀ ∈ ( 是有界线性算子 的最小界值定义） (2) 证 ⇒ ⇒ ⇒
⇒||xn||1=1, 且 故 ||T||=b-a.
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第12页 页 积分算子T: 例6 积分算子 L1 [a,b]→C[a,b], → 是有界线性算子, 是有界线性算子,且 ||T||=1. . 事实上， 显然是线性算子 显然是线性算子, 事实上，T显然是线性算子, 且
是有界算子, 故T是有界算子,且||T||≤1. 是有界算子 ≤ . 另一方面, 另一方面, 取
“⇐” 若T: D→Y是线性、有界算子, ⇐ 是线性、 →Y是线性 有界算子, ⇒∀x∈D, ∃M>0, 使得 ||Tx||≤M||x||（有界算子定义） ∈ ≤ （有界算子定义） 使得||Txn-Tx||=||T(xn-x)||≤M||xn-x|| ⇒∀xn,x∈D⊂X, ∃M>0, 使得 ∈ ⊂ ≤ 线性、有界算子定义） （线性、有界算子定义） →∞) 按范数收敛) ∈ ⊂ ⇒ → →∞ ∀xn,x∈D⊂X, xn→x⇒||xn-x||→0 (n→∞ (按范数收敛) →∞) 是线性、连续算子. ⇒||Txn-Tx||→0 ⇒Txn→Tx (n→∞ ⇒T 是线性、连续算子 → →∞ 推论： 为连续线性算子 为连续线性算子⇔ 为有界线性算子 为有界线性算子. 推论：T为连续线性算子⇔T为有界线性算子.
“⇐” 设T: D→Y是线性算子,且对∀A⊂D为有界集,有 T(A)={Tx|x∈A}⊂Y也是 ⇐ 是线性算子, 为有界集, → 是线性算子 且对∀ ⊂ 为有界集 ∈ ⊂ 也是 有界集 ),有 ⇒对单位球面S={x| ||x||=1,x∈D}⊂D(是有界集),有T(S)={Tx|x∈S}为有界集 对单位球面 ∈ ⊂ (是有界集), ∈ 为有界集 ⇒∀x∈S, 有Tx∈TS, 且∃M>0, 使||Tx||≤M ∈ , ∈ ≤
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第5页 页 (3)“⇒ 是线性、 是线性、 (3) ⇒” 设T: D→Y是线性、连续算子.如果 是线性、无界算子 → 是线性 连续算子.如果T是线性 使得||Txn||≥n||xn||,n=1,2,… ⇒对∀n, ∃xn∈D, xn≠θ, 使得 ≥ 对于 ⇒ 由于T是线性、 由于 是线性、连续算子 是线性 矛盾。 矛盾。故T是 是 线性有界算子
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第4页 页 ⇒∀x∈D, x≠θ,有 ∈ ≠ ⇒∀x∈D, x≠θ, 有 ∈ ≠ 当x=θ∈D时,有||Tx||=M||x||=θ 时 因此∀ ∈ 为有界线性算子. 因此∀x∈D, 有||Tx||≤M||x||，即T为有界线性算子. ≤ ， 为有界线性算子 是线性、 (2) “⇒” 设T: D→Y是线性、连续算子 ⇒ → 是线性 ⇒∀xn, x∈D, xn→x, 有Txn→Tx ⇒T在D上处处连续(定义） 上处处连续( ∈ 在 上处处连续 定义） “⇐” ∀xn, x∈D, xn→x, T是线性算子，且T在x0∈D处连续 ⇐ 是线性算子， ∈ 是线性算子 在 处连续 ⇒(xn-x)+x0∈D, 且(xn-x)+x0→x0 ⇒T[(xn-x)+x0]→Tx0 （T在x0处连续定义） → 在 处连续定义） 线性算子定义） ⇒Txn=Txn-Tx+Tx0=T[(xn-x)+x0]→Tx0 (线性算子定义） → 是线性、 ⇒T是线性、连续算子 是线性