4 有界线性算子与线性算子的基本定理g
应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2：设 X 为赋范线性空间，{xn}n1 X
如果存在
x0 X ，使得
lim
n
xn
x0
0，
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列；
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x；
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn} X ，如
果 xn x0 ，则 f (xn ) f (x0 ) ； (2) 范数 ||•||：X R 是连续映射；
(3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射；
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间，
如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
定义4
1.3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理
§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。
定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。
（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。
若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。
v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。
如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。
和是的两个子空间，称为平凡子空间。
若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。
E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。
若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。
若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。
E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。
4有界线性算子与线性算子的基本定理g
Tx ( s ) K ( s , t ) x ( t ) dt y ( t ), x ( t ) X
因此
例3 乘法算子T: C[a,b]C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且
T max( a ,b )
事实上，T 显然是线性算子
Tx Tx ( t ) tx ( t ) max tx ( t ) max ( a , b ) max x ( t )
a t b a t b
, 0
例2 乘法算子T: C[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
(b a)3 2 T 3
事实上，T 显然是线性算子
2 Tx Tx ( t ) tx ( t ) t x ( t ) dt t ( max x ( t ) ) dt 2 2 2 L L L 2 2 2 a a a t b
xn , 由于T是线性、连续算子 n xn
“” 若T: DY是线性、有界算子, xD, M>0, 使得 ||Tx||M||x||（有界算子定义） xn,xDX, M>0, 使得||Txn-Tx||=||T(xn-x)||M||xn-x|| （线性、有界算子定义） xn,xDX, xnx||xn-x||0 (n) (按范数收敛) ||Txn-Tx||0 TxnTx (n) T 是线性、连续算子. 推论：T为连续线性算子T为有界线性算子.
a a a a a
t
b t
b t
( t ) d dt ( b a )x 1 x L
a a
b
b
T是有界算子, 且||T||b-a 另一方面,对任何使a+1/n<b的n,构造函数列
第三章 有界线性算子-黎永锦
第3章 有界线性算子音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可 改善物质生活,但数学能给予以上的一切.Klein F .(克萊恩) (1849-1925,德国数学家)Banach S .在1922年建立了完备赋范线性空间的公理,证明了一些基本定理后,就讨论了定义在一个完备赋范线性空间上而取值为另一个完备赋范线性空间的算子,在这类算子中最重要的是连续加法算子,所谓加法算子是指对所有x ,y ,都有Ty Tx y x T +=+)(.容易证明,T 是连续加法算子时,必有Tx x T αα=)(成立.Banach S .证明了若T 是连续的加法算子,则存在常数0>M ,使得||||||||x M Tx ≤.另外他还证明了若}{n T 是连续加法算子序列,T 也是加法算子,且对任意X x ∈,都有Tx x T n n =∞→lim ,则T 也是连续的.Hahn H .在1922年证明了,若X 是一个完备赋范空间,}{n f 为X 上的一列线性连续泛函,且对任意X x ∈,)}({x f n 都有上界,则||}{||n f 一定是有界的.Banach S .和Steinhaus H .在1927年证明了,若n T 为完备赋范空间X 到赋范空间Y的线性连续算子,且对任意X x ∈,||}{||x T n 都有界,则||}{||n T 一定有界,这就是Banach 空间理论中最重要的定理之一,即一致有界原理.Neumann Von J ..在1929年至1930年还引进并讨论了算子的几种收敛性.在1932年,Banach S .出版了线性算子理论（aires e lin rations e op des orie e Th '''）一书,书中包括了当时有关赋范线性空间的绝大部分结果,而非常著名闭图像定理就是该书中一个定理的推论.3.1 有界线性算子算子就是从一个空间到另一个空间映射,算子可分为线性算子与非线性算子.定义3.1.1 设X 和Y 都是赋范空间,T 是从X 到Y 的算子,且满足（1） Ty Tx y x T +=+)(, X y x ∈,任意； （2） Tx x T αα=)(, K X x ∈∈α,任意.则称T 为X 到Y 的线性算子.明显地,若Y 是数域K ,则X 到K 的线性算子就是线性泛函.例 3.1.1 定义从∞l 到0c 算子)2()(i i i xx T =则对任意∈)(i x ∞l ,有0>M ,使得∞<≤M x i ||sup .故)0(02|2|→→≤i M x i i i .因此0)(c x T i ∈ ,即T 是∞l 到0c 的算子,并且Ty Tx y x y x y x T iii i iii βαβαβαβα+=+=+=+)2()2()2()( 所以T 是∞l 到0c 的线性算子.例 3.1.2 设T 是从0c 到nR 的算子,且对任意0)(c x x i ∈=,定义)(i y Tx =,这里n i ≤时,i i x y =, n i >时,0=i y ,则T 是从0c 到nR 的线性算子.类似于线性连续泛函,对于线性连续算子,容易看出下面定理成立.定理 3.1.1 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,则T 在X 上连续当且仅当T 在某个X x ∈0处连续.线性算子的连续与有界性有着密切的联系.定义 3.1.2 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,若存在数0>M ,使得||||||||x M Tx ≤,X x ∈对任意成立.则称T 是有界线性算子,否则称为无界的.类似于线性有界泛函,有下面的定理.定理3.1.2 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,则T 是有界的当且仅当T 是连续的.由上面定理可知,当T 是X 到Y 的线性连续算子时,必有0>M ,使得||||||||x M Tx ≤由此对0≠x ,有+∞<≤M x Tx ||||||||. 定义3.1.3 若T 是X 到Y 的线性连续算子,则称||||||||sup||||0x Tx T x ≠= 为T 的范数.容易看出,||||sup ||||sup ||||sup ||||1||||1||||1||||Tx Tx Tx T x x x <≤====.例 3.1.3 设X 是赋范空间,I 是X 到X 的恒等算子,则I 是连续的,且1||||sup ||||sup ||||1||||1||||=====x Ix I x x .有限维赋范空间上的线性算子的连续性显得特别简单明了.定理 3.1.3 若X 是有限维赋范空间,Y 是任意赋范空间,则X 到Y 的任意线性算子T 都是连续的.证明 设X 是n 维赋范空间,},,{1n e e 是X 的Schauder 基,则对任意X x ∈,有∑==ni i i e x 1α.由于T 是线性的,故∑==ni i i Te Tx 1α).||||}(max{||||||||||||||||111∑∑∑===≤≤=ni ii i ni ini ii Te Te TeTx ααα对任意X x ∈,定义∑==ni ix 11||||||α,则1||||⋅是X 上的范数,因此1||||⋅与||||⋅等价,即存在0>C ,使得||||||||||11x C x ni i≤=∑=α令||}m ax {||i Te C M =,则||||||||x M Tx ≤所以,T 是X 到Y 的连续线性算子.若用),(Y X L 记所有从赋范空间X 到赋范空间Y 的线性连续算子,则),(Y X L 在线性运算x T x T x T T 2121)(βαβα+=+下是一个线性空间,在空间),(Y X L 中,由算子范数的定义有||||||||||||2121T T T T +≤+和||||||||||T T λλ=,以及0||||=T 时0=T 成立.因此),(Y X L 在算子范数||||⋅下是一个赋范空间,并且当Y 是Banach 空间时,),(Y X L 也是Banach 空间.定理 3.1.4 设X 是赋范空间,Y 是Banach 空间,则),(Y X L 是Banach 空间. 证明 设}{n T 为),(Y X L 的Cauchy 列,因此对任意0>ε,存在N ,使得N n m >,时ε<-||||n m T T对任意X x ∈,有||||||||||||||)(||||||x x T T x T T x T x T n m n m n m ε<⋅-≤-=-因此}{x T n 为Y 中的Cauchy 列,由Y 的完备性质可知,存在Y y ∈,使得y x T n n =∞→lim定义X 到Y 的算子, x T y Tx n n ∞→==lim ,易知T 是线性的.由于0||||||||||||||→-≤-n m n m T T T T ,因此||}{||n T 为R 中的Cauchy 列,从而存在0>M ,使得.,||||都成立对任意N n M T n ∈≤故||||||||lim ||||x M x T Tx n m ≤=∞→,从而T 是X 到Y的线性连续算子.由上面证明可知对任意0>ε,存在N ,使得N n m >,时,有都成立对任意X x x x T T x T x T n m n m ∈<⋅-≤-||,||||||||||||||ε.令∞→m ,则 因此ε<-=-∈≠||||||||||||,0x Tx x T SupT T n Xx x n对任意N n >成立，从而T T n →,所以,),(Y X L 是完备的. 由于数域K 完备,因此容易看到下面结论成立.推论3.1.1 对于任意赋范空间X ,),(K X L 一定完备.后面都将),(K X L 记为*X ,称之为X 的共轭空间,因此所有赋范空间X 的共轭空间*X 都是完备的.3.2 一致有界原理设X 和Y 是Banach 空间.}|{∧∈ααT 是),(Y X L 中的一族有界线性算子,一致有界原理指的是若对于任意}|||{||,∧∈∈ααx T X x 是有界集,则}|||{||∧∈ααT 一定是有界集,即+∞<∧∈||||sup ααT .其实,这一定理的一些特殊情形,许多数学家早就注意到了,如Hellinger Lebesgue ,和Toeplitz 等,Hahn H .在1922年总结了他们的结果,证明了对Banach 空间X 上的一列线性泛函}{n f ,若任意|})({|,x f X x n ∈有界,则||}{||n f 一定有界.独立地,Banach S .证明了比Hahn H .更一般的情形,即设}{n T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 的一列算子,若对任意||}{||,x T X x n ∈有界,则||}{||n T 一定有界,最后在1927年Banach S .与Steinhaus H .利用Baire 在1899年证明的一个引理,证明了一致有界原理.||||||||x x T x T n ε<-引理 3.2.1 (Baire 引理) 设}{n F 是Banach 空间X 中的一列闭集,若≠∞=01)( n n F φ,则存在某个N 使得≠0N F φ.下面举两个例子.例 3.2.1 在R 中,]12,11[n n F n -+=, 则)2,1(1=∞= n n F 有内点,故必有某个≠0N F φ.例 3.2.2 在R 中,},,2,1{n F n =,则对任意n ,=0N F φ,且,,2,1{1=∞=n nF},1, +n n , 所以=∞=01)( n n F φ.在1912年,Helly 建立了],[b a C 上的一致有界性原理,Banach 空间上的一致有界性原理是Banach [1922],Hahn [1922]和t Hildebrand 给出的,Steinhaus H .1927年以B a n a c h 和他两个人的名义在《数学基础》第9卷上发表了该定理.它断言,在Banach 空间X 上,如果有一列算子n T ,能对每个X x ∈,数列),2,1||}({|| =n x T n 都有上界x M ,那么必存在常数M ,使得||}{||n T 有界.这个由各点x 的局部有界性推广到在一个单位球上整体地一致有界性的深刻定理就叫Steinhaus Banach -定理.定理 3.2.1 (一致有界原理) 设X 是Banach 空间,Y 是赋范线性空间,}|{∧∈ααT 是),(Y X L 中的一族有界线性算子,若对任意X x ∈,有+∞<||}sup{||x T α则+∞<||}sup{||αT证明 对任意n ,令 ∧∈≤∈=αα}|||||{n x T X x F n ,则n F 是X 闭集,且X F n n =∞= 1,由于≠=∞=001)(X F n n φ,因此由Baire 引理可知存在某个N ,使得≠0N F φ,故存在n F x ∈0及0>r ,使得N F r x U ⊂),(0,因为N F 是闭集,所以N F r x B r x U ⊂=),(),(00因此对于任意X x ∈, 1||||=x ,有N F r x B rx x ⊂∈+),(00故对任意α,有N rx x T ≤+||)(||0α又由于||)(||||||||||00rx x T x T x rT +≤-ααα, 故+∞<+≤+≤∧∈||)||sup (1||)||(1||||00x T N r x T N r x T αααα令||)||sup (10x T N r M αα∧∈+=,则M 与x 无关,且+∞<M .所以+∞<≤==M x T T x ||||sup ||||1||||αα问题 3.2.1 在一致有界原理中,X 的完备性能否去掉？ 例 3.2.3 设X 为全体实系数多项式,对任意X x ∈||max ||||,)(111i ni i ni i x tt x x αα≤<-====∑ ,则||)||,(⋅X 是赋范空间,但不完备,在X 上一致有界原理不成立.事实上,对任意X x ∈,x 可以写成11)(-=∑=i ni i tt x α,这里存在某个x N ,使得xN i >时,0=i α,在X 上定义一列泛函n f ：∑==ni in x f 1)(α, 这里11)(-=∑==i ni i tt x x α由|||||||)(|1x n x f ni in ≤=∑=α可知),(R X L f n ∈,且对于任意X x ∈,有∑∑∞=--===1111i i i i mi i ttx αα故∑∑==≤=ni ini i n x f 11|||||)(|αα（对于固定的n x ,是固定的）,因此+∞<≤∞<≤|||||)(|sup 1x m x f n n . 但对于任意N k ∈,取kt t t x +++= 1)(0,有1}1,,1,1,1m ax {||||0=⋅⋅⋅=x ,且.)(|})(sup{|||}sup{||00k x f x f f k n n =≥≥由k 的任意性可知}||sup{||+∞=n f ,因此,}{n f 不是一致有界的.推论3.2.1 设X 是赋范空间,X x ⊂∧∈}|{αα,若对任意*∈X f ,有+∞<∧∈|)(|sup ααx f ,则+∞<∧∈||||sup ααx .证明 定义R X T →*:α为)()(ααx f f T =则αT 是线性算子,且对固定的α,有|||||||||)(||)(|αααx f x f f T ⋅≤=故αT 是线性有界算子.由于+∞<=∧∈∧∈|)(|sup |)(|sup ααααx f f T ,对任意固定的*∈X f 都成立,并且*X 是完备的,所以由一致有界原理可知+∞<∧∈||||sup ααT但|||||)(|sup |)(|sup ||||1||||1||||ααααx x f f T T f f =====,所以+∞<∧∈||||sup ααx .Neumann Von J ..在赋范空间),(Y X L 中引进几种不同的收敛性.定义3.2.1 设X ,Y 是赋范空间,),(Y X L T n ∈, ),(Y X L T ∈,则（1） 若0||||→-T T n ,称n T 一致算子收敛于T ,记为T T n −→−⋅||||； （2） 若对任意 0||||,→-∈Tx x T X x n ,称n T 强算子收敛于T ,记为T T sn −→−； （3）若对任意X x ∈, *∈Y f ,有0|)()(|→-Tx f x T f n ,称n T 弱算子收敛于T ,记为T wT n −→−.由上面的定义容易看出,算子的收敛性有如下关系：定理 3.2.2 (1) 若T T n −→−⋅||||,则T T sn −→−；(2) 若T T s n −→−,则T T wn −→−.值得注意的是上定理中反方向的推导一般不成立.例3.2.4 在1l 中,定义11:l l T n →为),,,0,,0(21 ++=n n n x x x T则),(11l l L T n ∈,且对任意 1l x ∈,有∑∞+=++→==-1210||||),,,0,,0(||||||n i in n n xx x x x T θ因此θ−→−sn T ,但 1||),0,1,0,,0(||||||||sup ||||11||||==≥=-+= n n n x n e T x T T θ所以,n T 不一致收敛于零算子θ.定理 3.2.3 设X 是Banach 空间,X 是赋范空间),(Y X L T n ∈,若对任意}{,x T X x n ∈收敛,则一定存在),(Y X L T ∈,使得n T 强算子收敛于T .证明 由于}{x T n 的收敛对任意x 都成立,故可定义x T Tx n n ∞→=lim ,由n T 的线性可知T 是线性的.由于对任意}{,x T X x n ∈收敛,因此||}{||x T n 也是收敛的,从而+∞<||}sup{||x T n ,根据一致有界原理,有+∞<≤M T n }||sup{||,因而||||||||||||sup ||||lim ||||x M x T x T Tx n n n ≤≤=∞→.即),(Y X L T ∈,显然T T sn −→−.定理 3.2.4 设X , Y 是Banach 空间,),(Y X L T n ∈, 则}{n T 强算子收敛的充要条件为（1）存在0>C ,使得+∞<≤C T n ||}sup{||；（2）存在 X M ⊂,使得X M =且对于任意 }{,x T M x n ∈收敛.证明 若T T sn −→−,则（2）明显成立. 若对于任意 X x ∈,有Tx x T n n =∞→lim . 故+∞<||}sup{||x T n ,由一致有界原理可知||}{||n T |是有界的.反之,若（1）,（2）成立, 对任意X x ∈及任意0>ε,由X M =知一定存在M y ∈,使得Cy x 3||||ε<-因为对任意M y ∈,}{y T n 收敛,所以存在N ,使得N n m >,时,有3||||ε<-y T y T n m故CCCCy x T y x T x T y T y T y T y T x T x T x T n m n n n m m m n m 333||||||||3||||||||||||||||||||||||εεεε++≤-++-≤-+-+-≤-.由于Y 是完备的,因而}{x T n 是收敛的,定义x T Tx n n ∞→=lim ,则),(Y X L T ∈,所以 T T sn −→−. 推论3.2.2 设X 是Banach 空间,Y 是赋范空间,),(Y X L T n ∈,若T T sn −→−,则 ||||lim ||||n n T T ∞→≤证明 由T T sn −→−可知,对任意X x ∈,有 x T Tx n n ∞→=lim由于是Banach 空间,并对任意X x ∈,有∞<||}sup{||x T n ,因此∞<||}s up {||n T,从而,||||||||lim ||||lim ||||lim ||||x T x T x T Tx n n n n n n ⋅≤==∞→∞→∞→,所以||||lim ||||n n T T ∞→≤.例题3.2.1设X 是有限维范空间,Y 是赋范空间,∧∈∈αα),,(Y X L T . 若对任意X x ∈,有+∞<∧∈||||sup x T αα,试不用一致有界原理证明+∞<∧∈||||sup ααT .证明 在X 上定义||}||sup ||,max{||||||1x T x x αα∧∈=. 由于（1）对任意X x ∈, +∞<≤1||||0x ；（2）当0||||1=x 时,0||||=x 从而0=x .且0=x 时,显然有0||||1=x ；（3）11||||||||||x x αα=；（4）||})(||sup ||,max{||||||1y x T y x y x ++=+α||}||sup ||,max{||||}||sup ||,max{||||}||sup ||||sup ||,max{||y T y x T x y T x T y x αααα+≤++≤11||||||||y x +=因此,1||||⋅是X 上的一个范数.由于X 是有限维范空间,因此范数||||⋅和1||||⋅是等价的，故存在0>C ,使得||||||||1x C x ≤,对所有的X x ∈都成立，因而||||||||sup x C x T <∧∈αα,所以+∞<∧∈||||sup ααT .3.3 开映射定理与逆算子定理定义 3.3.1 设X 和Y 是赋范空间,Y X T →:, 若T 把X 中的开集映成Y 中的开集,则称T 为开映射.例 3.3.1 设X 是实赋范空间,则X 上的任意非零线性泛函f f ,一定是X 到R 的开映射.问题 3.3.1 设X ,Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈, 问T 何时一定是开映射？定理 3.3.1 （开映射定理）设X 和Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈,若T 是满射,即Y TX =,则T 是开映射.开映射定理的证明要用到下面的引理, 它是Schauder 在1930年得到的.引理 3.3.1 设X ,Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈,若Y TX =,则存在0>ε,使得)1,0(),0(TU U ⊂ε.引理的几何意义是如果)1,0(U 是X 中的开球,则)1,0(TU 为Y 中的点集,且Y 中的0点一定是)1,0(TU 的内点.开映射定理的证明设U 是X 中的任意开集,则对任意TU y ∈0,存在U x ∈0,使得00Tx y =,下面只须证明0Tx 为)(U T 的内点.由于U 是开集,因此存在0>r ,使得U r x U ⊂),(0,故),0(),0()},0(|{)},0(|{),(00000r TU y r TU Tx r U x Tx Tx r U x x x T r x TU TU +=+=∈+=∈+=⊃.由上面引理可知,存在0>ε,使得)1,0(),0(TU U ⊂ε,因此),0(),0(r TU r U ⊂ε, 所以),(),0(),0(000εεr y U r U y r TU y TU =+⊃+⊃,即0y 为TU 的内点, 因而 TU 为 Y 的开集.推论3.3.2 若X 是Banach 空间,则对所有f f X f ,0,≠∈*一定是开映射.证明 不失一般性,不妨设R K =,则由于0≠f ,因此存在X x ∈0,使得1)(0=x f ,故对任意R ∈α,有X x y ∈=0α,使得αα==)()(0x f y f ,因而f 是X 到R 的满射.所以,由开映射定理可知f 为开映射.思考题3.3.1 若f 是开映射,则1-f存在时是否1-f 一定连续？定义 3.3.2 若X ,Y 为赋范空间,),(Y X L T ∈,若对任意y x X y x ≠∈,,时,必有Ty Tx ≠,则算子X TX T →-:1, 称为T 的逆算子.明显地,若),(Y X L T ∈,1-T 存在,则1-T 也是线性的.例题 3.3.1 设X ,Y 是赋范空间,),(Y X L T ∈,则),(1X Y L T ∈-,当且仅当存在),(X Y L S ∈,使得Y X I S T I T S =⋅=⋅,且此时一定有S T=-1. 证明 若),(1X Y L T ∈-,令1-=T S ,明显地,有Y X I T T S T I T T T S =⋅=⋅=⋅=⋅--11,反之,如果存在),(X Y L S ∈,使得Y X I S T I T S =⋅=⋅,则对任意y x ≠,有Ty S y x Tx S ⋅=≠=⋅,因此Ty Tx ≠,故T 是单射,从而1-T 存在.对任意Y y ∈,有X Sy ∈故y y I Sy T Y ==)()(,令Sy x =,则y Tx =,因而T 是满射,明显地，1-T 是线性的,因此1-T 为Y 到X 的线性算子,又因为S S T T S T T I T Y =⋅⋅=⋅=---)()(111,所以 S T =-1),(X Y L ∈.逆算子定理是Banach S .在1929年给出的,利用开映射定理,容易证明逆算子定理成立.定理3.3.5. （Banach 逆算子定理）设X ,Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈,若T 是双射,则1-T 存在,且),(1X Y L T ∈-.证明 由于T 是一一对应,且满的,因此1-T 存在且是线性的.由于X ,Y 是Banach 空间,且Y TX =,因而由开映射定理可知T 开映射,从而对任意开集X U ⊂,有TU U T =--11)(也是开集,所以1-T 连续,即),(1X Y L T ∈-.在逆算子定理中,完备性的条件必不可少.例 3.3.2 设},0,,|)0,,0,,,{(1=≥∈=i i n x n i n R x x x X 时对某个 ||sup ||||i x x =,则||)||,(⋅X 是赋范空间.定义X X T →:为),31,21,(321 x x x Tx =则),(X X L T ∈,且1-T 存在,但1-T 是无界的,这是因为对X x n ∈=),0,1,,0( , 有n x T n x T n n ==--||||),,0,,,0(11 ,因此n T ≥-||||1对任意n 成立,所以1-T 不是连续线性算子.推论 3.3.3 设||||⋅和1||||⋅是线性空间上的两个范数,且||)||,(⋅X 和)||||,(1⋅X 都是Banach空间,若存在0>β, 使得||||||||1x x β≤,则||||⋅与1||||⋅等价. 证明 定义恒等算子→⋅||)||,(:X I )||||,(1⋅X 为x Ix =,则由||||||||||||11x x Ix β≤=可知I 是连续的.显然I 是双射,因而由逆算子定理可知,1-I存在且有界. 令||||11-=I α,则 111||||||||||||||||x I x x I --≤= 所以11||||||||||||1x x I ≤-, 即||||||||||||1x x x βα≤≤.问题 3.3.1 设X 为[0,1]上的全体实系数多项式,对任意X x ∈,,)(11-=∑==i n i it t x x α定义∑=≤≤==n i i t x t x x 12101|||||||,)(|sup ||||α ,则21||||||||⋅⋅和都是X 的范数,并且21||||||||x x ≤对所有的X x ∈成立,但11||||||||⋅⋅和不是等价的范数,为什么？实际上,对于,)1()(1211-=+∑-==i n i i t t x x 则1|)(|sup ||||101==≤≤t x x t , n x ni i 2||||||12==∑=α,因此不存在常数0>β,使得12||||||||x x β≤对所有的X x ∈成立,所以21||||||||⋅⋅和不是等价的范数.3.4 闭线性算子与闭图像定理在量子力学和其他一些实际应用中,有一些重要的线性算子并不是有界的,例如有一类在理论和应用中都很重要的无界性算子--闭线性算子,在什么条件下闭线性算子是连续呢?这一问题的研究,Hellinger E .和Toeplitz O .1910年在关于Hilbert 空间对称算子的工作中就开始了,然后是Hilbert 空间中共轭算子连续性的研究,1932年才发展成闭线性算子在赋范空间上的结果,这就是非常著名闭图像定理.若||)||,(⋅X 和||)||,(⋅Y 是赋范线性空间,则在乘积Y X ⨯空间中可以定义范数,使之成为赋范空间,对),(11y x 和K Y X y x ∈⨯∈λ,),(22,线性空间Y X ⨯的两种代数运算是),(),(),(21212211y y x x y x y x ++=+),(),(y x y x λλλ=并且范数定义为||||||||||),(||y x y x +=例3.4.1 乘积空间},|),{(2R y x y x R R R ∈=⨯=,且||||||||||),(||y x y x +=.明显地,有如下的结论.定理 3.4.1 设X 和Y 都是赋范空间Y X y x z n n n ⨯∈=),(,则),(y x z z n =→Y X ⨯∈当且仅当Y y X x n n ∈∈,且y y x x n n →→,.定理3.4.2 若X 和Y 都是Banach 空间,则Y X ⨯也是Banach 空间.在下面,考虑从定义域X T D ⊂)(到Y 的线性算子,)(T D 为X 的子空间.定义3.4.1 设X ,Y 是赋范空间,Y T D T →)(:是定义域X T D ⊂)(上的线性算子,若T 的图像}),(|),{()(Tx y T D x y x T G =∈=在赋范空间Y X ⨯中是闭的,则称T 为闭线性算子.定理3.4.3 设X ,Y 是赋范空间,Y T D T →)(:是线性算子,则T 是闭线性算子当且仅当对任意)(}{T D x n ⊂,满足y Tx x x n n →→,时,必有)(T D x ∈且y Tx =.证明 若T 是闭线性算子,则是)(T G 闭集,则对于任意)(T D x n ∈,当y Tx x x n n →→,时, 有),(),(y x Tx x n n →,因此)(),(T G y x ∈,由)(T G 的定义,有)(T D x ∈,y Tx =.反之,若)(),(T G Tx x n n ∈,且),(),(y x Tx x n n →时一定有)(T D x ∈,y Tx =, 从而)(),(),(T G Tx x y x ∈=.所以,)(T G 是闭集,即T 是闭线性算子.定理3.4.4 设X ,Y 是赋范空间,Y T D T →)(:是线性连续算子,若)(T D 是闭集,则T 一定是闭线性算子.证明 设)(T D x n ∈,y Tx x x n n →→,,则由T 是连续的知Tx Tx n →,故Tx y =. 由于)(T D 是闭集,因此)(T D x ∈,所以T 是闭线性算子.推论3.4.1 若Y X T →:是线性连续算子,则T 一定是闭线性算子.这是因为这时X T D =)(是闭集,反过来,一般来说,闭线性算子不一定连续.例3.4.2 设)(|)({]1,0[1t x t x C =为]1,0[上具有连续导数的},|)(|sup ||||10t x x t ≤≤=,则 ||)||],1,0[(1⋅C 是一个赋范空间,在]1,0[1C 上定义线性算子T 如下：]1,0[]1,0[:1C C T →]1,0[)(],1,0[),()(1C t x x t t x dt d t Tx ∈=∈=任意任意 则T 是]1,0[1C 到]1,0[C 的闭线性算子,但T 不是线性连续的.事实上,若]1,0[1C x n ∈ , y Tx x x n n →→,,则)(t x n 在]1,0[上“一致收敛”于)(t x ,并且n x '在]1,0[上也“一致收敛”于)(t y ,因而)(t x 具有连续的导函数)('t x ,且)()('t y t x =,所以]1,0[1C x ∈,且y Tx =,即T 是闭线性算子.令n n n t t x x ==)(,则]1,0[1C x n ∈且1||sup ||||10==≤≤n t n t x ,但n nt Tx n t n ==-≤≤||sup ||||110,因此T 不是线性连续算子.问题3.4.1 若T 是X T D ⊂)(到Y 的闭线性算子,则T 是否把闭集映为闭集呢? 例3.4.3 对任意0)(c x x i ∈=,定义线性算子00:c c T →为)2(i ix Tx = 则T 是0c 到0c 的线性连续算子,且0)(c T D =,因此T 是闭线性算子.对于闭集0c ,0Tc 不是0c 的闭子集.事实上,对于)0,,0,21,,21,21(2 n n y =, 0c y n ∈,且有)0,,0,1,,1,1( =n x ,0c x n ∈,使得n n y Tx =,故0Tc y n ∈,但因为n y 趋于),21,21,,21,21(12 +=n n y ,故不存在0c x ∈,使得y Tx =,所以0Tc y ∉,即0Tc 不是0c 的闭子集.在什么条件下闭线性算子一定是连续呢？这就是闭图像定理所研究的问题.定理3.4.5（闭图像定理）设X 与Y 是Banach 空间,Y T D T →)(:是闭线性算子,(这里X T D ⊂)(),若)(T D 在X 中是闭集,则T 一定是)(T D 到Y 的线性连续算子.证明 由于X 和Y 是Banach 空间,因此Y X ⨯也是Banach 空间,又由于X 是Banach 空间,且)(T D 是X 的闭子集,因此)(T D 作为X 子空间是完备的.由T 是闭线性算子可知)(T G 是Y X ⨯的闭子集,由于T 是线性的,因而)(T G 是Y X ⨯的子空间,从而)(T G 是Y X ⨯的完备子空间.定义从Banach 空间)(T G 到Banach 空间)(T D 的线性算子P ：)()(:T D T G P →).(),(,),(T G Tx x x Tx x P ∈=任意则P 是线性算子,且||),(||||||||||||||||),(||Tx x Tx x x Tx x P =+≤=.故1||||≤P ,从而))(),((T D T G L P ∈.由P 的定义可知P 是双射,因而由逆算子定理可知1-P 存在,且))(),((1T D T G L P∈-,故对任意)(T D x ∈,有 ||||||||||||||),(||||||||||||||11x P x P Tx x Tx x Tx ⋅≤==+≤--所以,T 是)(T D 到Y 的线性连续算子.若T 的定义域X T D =)(,即T 是X 到Y 的线性算子,则闭图像定理有下面简明形式. 推论 3.4.2 设X ,Y 是Banach 空间,且T 是X 到Y 的线性算子,则),(Y X L T ∈当且仅当T 是闭线性算子.例题 3.4.1 设X ,Y ,Z 是Banach 空间,若),(Z X L A ∈,),(Z Y L B ∈,并对任意的 X x ∈,方程By Ax =都有唯一解y ,试证明由此定义的算子y Tx Y X T =→,:,有),(Y X L T ∈.证明 容易验证T 是线性算子,要证明T 是线性连续算子,只需证明T 是闭算子.对于X x n ∈, Y y Tx x x n n ∈→→,,有n n BTx Ax =.由于B A ,都是连续的,因此By BTx Ax Ax n n n n ===∞→∞→lim lim从而y Tx =所以,T 是闭算子,由闭图像定理可知,),(Y X L T ∈.习题三3.1 设算子0:c l T →∞,∞∈==l x x x Tx i i i)(),2(任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T . 3.2 设1)(l x i ∈,算子11:l l T →, 1)(),3(l x x x Tx i ii ∈==任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T . 3.3 对任意0c x ∈,定义∑∞==1!)(i i i x x f ,试证明*∈0c f ,并求||||f . 3.4 设),(Y X L T ∈,试证明||||sup ||||1||||Tx T x <=.3.5 设X 和Y 是实赋范空间,T 为X 到Y 的连续可加算子,试证明),(Y X L T ∈.3.6 设c 是所有收敛实数列全体,范数||sup ||||i x x =,}{i α为实数列,若对任意c x ∈,都有∞<=∑∞=|||)(|1i i i x x f α,试证明i i i x x f ∑∞==1)(α为c 上的线性连续泛函,并且∞<=∑∞=||||||1i i f α.3.7 设X ,Y 是赋范空间,}0{≠X , 试证明Y 是Banach 空间当且仅当),(Y X L 是Banach 空间.3.8 设X 是Banach 空间,*X f n ∈且对任意)()(lim ,x f x f X x n n =∈∞→,试证明*∈X f . 3.9设X 是实赋范空间,X x n ⊂}{, 试证明对所有的*∈X f ,都有∞<∑∞=|)(|1i i x f 当且仅当存在0>M ,使得对任意的正整数n 和1±=i δ,都有M x in i i <∑=||||1δ. 3.10 设X ,Y 是赋范空间,Y X T →:是线性算子,且T 是满射,若存在0>M ,使得||||||||x M Tx ≥对任意X x ∈成立,试证明1-T 是线性连续算子,且MT 1||||1≤-. 3.11 设T 为赋范空间X 到赋范空间Y 的闭线性算子,且1-T 存在,试证明1-T 是闭线性算子.3.12 设X 是Banach 空间,f 是X 上的非零线性泛函,试证明f 一定是开映射.3.13 设X 是赋范空间,T 是从X 到X 的线性算子,X T D =)(,S 是从*X 到*X 的线性算子,*=X S D )(若对任意*∈∈X f X x ,,有)())((Tx f x Sf =,试证明T 和S 都是线性连续算子.3.14 设X ,Y 是赋范空间,T 为X 到Y 的闭线性算子,F 为X 的紧集,试证明)(F T 为Y 的闭集.3.15 设X 为Banach 空间,T 为X 到X 的线性算子,若T T =2,且)(T N 和)(T R 都是闭的,试证明),(X X L T ∈.3.16 设X ,Y 赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若n T 强收敛于T ,试证明n T 弱收敛于T .3.17 设22:l l P n →,)0,,0,,,,(),,,,,(21121 n n n n x x x x x x x P =+,试证明n P 强收敛于I ,但n P 不一致收敛于I .哈恩Hans Hahn 于1879年9月27日出生于奥地利的维也纳,他在维也纳大学跟Gustav Ritter von Escherich攻读博士学位, 1902获得博士学位，博士论文题目为Zur Theorie der zweiten Variationeinfacher Integrale.他是切尔诺夫策(Chernivtsi)大学(1909–1916),波恩大学(1916–1921)和维也纳大学(1921–1934)的教授.Hahn的最早的结果对古典的变分法做出贡献,他还发表了关于非阿基米德系统的重要论文, Hahn是集合论和泛函分析的创始人之一,泛函分析的重要定理之一, Hahn-Banach定理就是Hans Hahn(1879-1934) 以他的名字命名的.他在1903 到1913间对变分法做出了重要的贡献.在1923他引进了Hahn 序列空间.他还写了关于实函数的两本书Theorie der reellen Funktionen (1921)和Reelle Funktionen (1932).Hahn获得过很多荣誉，包括1921年的Lieban奖,他是奥地利科学院院士,他还是Calcutta 数学学会名誉会员.Hahn对数学的成就主要包括著名的Hahn-Banach定理, 其实很少人知道,实际上Hahn 独立地证明了(Banach和斯坦豪斯得出的)一致有界原理. 其他定理还有Hahn分离定理、维他利-哈恩-萨克斯定理(Vitali-Hahn-Saks theorem)、哈恩-马祖凯维奇定理（Hahn-Mazurkiewicz theorem）和哈恩嵌入定理(Hahn embedding theorem)等. Hahn的数学贡献不限于泛函分析,他对拓扑学、集合论、变分法、实分析等都有很好的贡献.同时,他也活跃于哲学界,是维也纳学派的一员.。
算子理论的精粹
算子理论的精粹算子理论是数学中的一个重要分支，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍算子理论的基本概念、主要性质以及其在数学和物理学中的应用。
一、算子理论的基本概念算子是指将一个函数映射到另一个函数的数学对象。
在算子理论中，常用的算子有线性算子、紧算子、自伴算子等。
下面分别介绍这些算子的定义和性质。
1. 线性算子线性算子是指满足线性性质的算子。
设X和Y是两个线性空间，T是从X到Y的映射，如果对于任意的x1、x2∈X和任意的标量α、β，都有T(αx1+βx2)=αT(x1)+βT(x2)，则称T是一个线性算子。
线性算子的性质包括可加性、齐次性和保持线性组合。
可加性指对于任意的x1、x2∈X，有T(x1+x2)=T(x1)+T(x2)；齐次性指对于任意的x∈X和标量α，有T(αx)=αT(x)；保持线性组合指对于任意的x1、x2∈X和任意的标量α、β，有T(αx1+βx2)=αT(x1)+βT(x2)。
2. 紧算子紧算子是指将有界集映射为有界集的算子。
设X和Y是两个巴拿赫空间，T是从X到Y的线性算子，如果对于任意的有界集B⊆X，T(B)是有界集，则称T是一个紧算子。
紧算子的性质包括有界性和完全性。
有界性指对于任意的有界集B⊆X，T(B)是有界集；完全性指如果X中的每个收敛序列都有唯一的极限，则称X是完全的。
3. 自伴算子自伴算子是指满足自伴性质的算子。
设H是一个希尔伯特空间，T是从H到H的线性算子，如果对于任意的x、y∈H，有⟨T(x),y⟨=⟨x,T(y)⟨，则称T是一个自伴算子。
自伴算子的性质包括对称性和正定性。
对称性指对于任意的x、y∈H，有⟨T(x),y⟨=⟨x,T(y)⟨；正定性指对于任意的非零向量x∈H，有⟨T(x),x⟨>0。
二、算子理论的主要性质算子理论有许多重要的性质，下面介绍其中的几个。
1. 谱理论谱理论是算子理论中的一个重要分支，它研究的是算子的谱和谱半径。
算子的谱是指使得算子不可逆的复数集合，谱半径是指谱中绝对值最大的复数。
第四章4.4-4.5 线性算子的基本定理强收敛弱收敛
T-1(k1y1+k2y2)=k1T-1y1+k2T-1y2T-1是线性算子。
定理5 （巴拿赫逆算子定理）设X, Y都是巴拿赫空间TB(X,Y)是 双射，则T-1是有界线性算子。 证 T是双射T-1存在且T-1是线性算子（定理4） 同时，T是双射 T是开映射 设 GX 是开集(T-1)-1(G)=T(G)Y是开集
u x0 r0 x r0 , Tnu Tn x0 r0Tn x
1 Tn x Tnu Tn x0 r0 1 1 2M Tn x Tnu Tn x0 Tnu Tn x0 r0 r0 r0 2M Tn sup Tn x , n 1, 2, r0 x 1
间，T: DY是线性算子，如果T的图像GT是XY的闭线性 子空间，则称T为闭线性算子。
定理9 (闭线性算子的充要条件) 设X, Y都是线性赋范空间，DX 是线性子空间。T: DY是线性算子，则T是闭线性算子的充要条 件是对{xn}D, 当xnxX, TxnyY时，有xD, 且Tx=y. 证 “” (x,y)GT{(xn,Txn)}GT, 使(xn,Txn)(x,y) {xn}D，使xnx, Txny xБайду номын сангаасD, 且 Tx=y (x,y)=(x,Tx)GT GT=GT T是闭线性算子 “” GT是闭集, 设{xn}D, 且xnxX, TxnyY (xn,Txn)(x,y) {(xn,Txn)}GT, GT是闭集(x,y)GT xD, 且Tx=y
对yY,有
S T Y X Y S T y sy T (Sy ) I y y y
2) T-1T=Ix, TT-1=Iy 3) 若T是线性算子，则T-1也是线性算子(将在后面证明)。
第四章4.1-4.3线性泛函与线性泛函的延拓定理(短)
T 是线性算子。 {Tn }是基本列 0, N , 当 n, m N 时，Tn Tm Tn Tm Tn 为基本数列 Tn 有界，设 Tn M , ( n 1, 2,3, ) Tn x Tn x M x Tx M x（n ） T 是有界算子 T B ( X , Y )
注：1）定义中，D为算子T的定义域; M是算子T的界值；T(D)={Tx|xD}称
为算子T的值域 2）有界算子与有界函数不同。例如 f(x)=x 无界函数 有界算子: |f(x)|=|x|<2|x|
3) T是连续算子 T在D上处处连续
2. 有界线性算子的性质 定理1 设X、Y是线性赋范空间，DX是线性子空间，T: DY 是线性算子，则
x X
定理2 设X、Y是线性赋范空间，DX是线性子空间，T: DY是 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： (1) ||Tx||||T|| ||x||, xD (2)
T sup Tx Y sup Tx Y
x 1 xD x 1 xD
(即||T||是有界线性算子T的最小界值） （可作为范数定义）
x 1 x D
则B (X,Y)成为线性赋范空间，称之为（有界）线性算子空间。
2. 线性算子空间中的极限理论 定义4 （算子序列的一致收敛与强收敛）设X、Y是两个线性赋范 空间，Tn, TB(X,Y), n=1,2,…
(1) 如果||Tn-T||0, 则称算子序列{Tn}按范数收敛于T, 或称{Tn}一致收敛于T. (2) 如果xX,||Tnx -Tx||0, 则称算子序列{Tn}强收敛 于T, 或称{Tn}按点收敛于T.
T su p T x T x 0 m ax
有界线性算子
第三章 有界线性算子一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(称T 是X 中到1X 中的线性算子。
称)(T D 是T 的定义域。
特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。
如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。
此外取算子范数作为空间中的范数。
定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。
定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。
2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。
在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α，定义Bx Ax x B A +=+))((Ax x A αα=))((不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。
此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。
由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。
在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。
事实上，设∈n A A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。
如果)(∞→→n A A n，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n 1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n -ε<。
巴拿赫空间上的有界线性算子
第八章 巴拿赫空间上的有界线性算子算子线性算子 非线性算子无界线性算子 有界线性算子§1 有界线性算子1.1 有界线性算子的基本概念与性质定义1.1 设E 及1E 都是实（或复的）线性空间，T 是由E 的某个子空间D 到线性空间1E 中的映射，如果对任意D y x ∈,，有()Ty Tx y x T+=+则称T 是可加的。
若对任意的实（或复）数α及任意的D x ∈，有()Tx x Tαα=则称T 是齐次的。
可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。
D 中使θ=Tx 的元素x 的集合称为T 的零空间。
设1E 是实（或复）数域，于是T 成为由D 到实（或复）数域的映射，这时称T 为泛函。
如果T 还是线性的，则称T 为线性泛函。
泛函或线性泛函常用g f ,等符号表示。
定义1.2 设E 及1E 都是实或复的赋范线性空间，D 为E 的子空间，T 为由D 到1E 中的线性算子。
如果按照第六章§2.3定义2.6，T 是连续的，则称T 为连续线性算子。
如果T 将D 中任意有界集映成1E 中的有界集，则称T 是有界线性算子。
如果存在D 中的有界集A 使得()A T 是1E 中的无界集，则称T 是无界线性算子。
例 1 将赋范线性空间E 中的每个元素x 映成x 自身的算子称为E 上的单位算子，单位算子常以I 表示.将E 中的每个元素x 映成θ的算子称为零算子.容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子.例 2 连续函数的积分()()⎰=badt t x x f是定义在连续函数空间[]b a C ,上的一个有界线性泛函，也是连续线性泛函.＊例 1、例 2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理1.3）.定理 1.1 设E ,1E 都是实赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的连续可加算子.则T 满足齐次性，因此T 是连续线性算子.＊推论 设E ,1E 都是复赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的连续可加算子，且iTx ix T =)(，则T 满足齐次性，因此T 是连续线性算子.＊定理 1.2 设E ，1E 都是赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的线性算子.则T 有界的充要条件是存在0>M ，使得对一切D x ∈，有x M Tx ≤.＊＊定理1.3 设E ，1E 都是赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的线性算子.则下列性质等价：(i) T 连续；(ii) T 在原点θ处连续； (iii) T 有界.由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条件也与在中任一给定的点处的连续性等价.为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引进一个重要的量—算子的范数.定义 1.3 设E ，1E 都是赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的有界线性算子.使x M Tx ≤对一切D x ∈都成立的正数M 的下确界称为T 的范数，记为T .因M 是集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠∈θx D x x Tx ,: 的一个上界，因此算子T的范数T 作为所有上界M 的下确界也是上述集合的一个上界，而且由定义知，T 是上述集合的最小上界，即上确界，亦即xTx T Dx x ∈≠=θsup由此容易导出下列结论：(i) 对一切D x ∈，有x T Tx ≤. ＊(ii)Tx Tx T Dx x Dx x ∈=∈≤==11sup sup现在举几个实例说明如何估计有界线性算子的范数及如何求出其范数.例3 设()()n j i a ij .,2,1,,⋅⋅⋅=为一给定的n n ⨯方阵，ij a 均为实数，由等式∑==nj j ij i a 1ξη ()n i ,,2,1⋅⋅⋅=定义了一个由n R 到nR 的算子T ：y Tx =.它将元素()n x ξξξ,,,21⋅⋅⋅=映成元素()n y ηηη,,,21⋅⋅⋅=.在n R 中任取两个向量()()()()()2,1,,,,21=⋅⋅⋅=k x k n k k k ξξξ，由等式()()()()∑∑∑===+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+nj nj jij j ij nj j j ij a a a 1121121ξξξξ 可知，T 是可加的，类似地可以证明T 是齐次的，因此T 是线性算子，由柯西不等式，有2112211,22112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===nj j nj i ij ni i a ξη故T 有界，因此T连续，且()212a ijT ≤.＊例 4 我们用()∞∞-,C 表示定义在()∞∞-,上有界连续函数构成的集，其中的线性运算与空间[]b a C ,的相同，在()∞∞-,C 中定义范数如下：()t y y t ∞<<∞-=sup ()()∞∞-∈,C y则()∞∞-,C 是一个巴拿赫空间.＊ 设()∞∞-∈,L x ，令()()⎰∞∞--==dt t x e s y Tx y ist: T 是定义在()∞∞-,L 上而值域包含在()∞∞-,C 中的线性算子.再由()()()()()⎰⎰∞∞-∞∞--=≤=dt t x dt t x es y s Tx ist＊可知，T有界因而连续，且1≤T .例 5 在内插理论中我们往往用拉格朗日公式来求已知连续函数的近似多项式.设[]b a C x ,∈，在[]b a ,中任取n 个点，作多项式()()()()()()()()()n k k k k k k n k k kt t t t t t t t t t t t t t t t t l -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=+-+-111111其中n k ,,2,1⋅⋅⋅=.再令 ()()()∑===nk kkn t l t x t y x L y 1:则n L 是由[]b a C ,到其自身的有界线性算子，且范数满足()∑=≤≤=nk k bt a n t l L 1max （4）n L 的线性是明显的.今证n L 有界且等式（4）成立.令 ()∑=≤≤=nk k bt a t l 1max α那么()()()x t x t l t x x L bt a nk kkb t a n αα=≤=≤≤=≤≤∑max max 1故α≤n L （5）另一方面，由于()∑=nk k t l 1在[]b a ,上连续，故存在[]b a t ,0∈使得()∑==nk k t l 10α取[]b a x ,0∈满足：()()()n k t l t x x k k ,,2,1,sgn ,1000⋅⋅⋅===至于0x 在[]b a ,中其它点处的值则可以任意，但绝对值不能超过1，并()t x 0保证在[]b a ,上连续.于是()()()()()()α===≥∑∑==nk k nk kkn n t l t l t l t x L x L 101000sgn故α≥n L （6）由不等式（5）、（6）可得等式（4）. 例 6 设()s t K ,是定义b s a b ta ≤≤≤≤,在上的连续实函数.在空间[]b a C ,上定义如下的积分算子： ()()()()()⎰==bads s x s t K t Tx t y ,则T 为[]b a C ,到其自身的有界线性算子，且范数满足()⎰≤≤=babt a ds s t K T ,max （7）显然T 是[]b a C ,到其自身的线性算子.今证T 有界且等式（7）成立.令 ()⎰≤≤=babt a ds s t K ,max α则()()()()xds s t K t x dss x s t K Tx bab t a bt a babt a α=≤=⎰⎰≤≤≤≤≤≤,max max ,max故T 有界且α≤T .由于()⎰bads s t K ,是t的连续函数，故存在[]b a t ,0∈，使得()⎰=bads s t K ,0α记(){}0,:00≥=s t K s e .作函数()()()00,1,1e t nd e t nd t n +-=ϕ其中()0,e t d为t 与0e 的距离，则()t n ϕ于[]b a ,上连续，且()1≤t n ϕ.注意到0e 为闭集，()t n ϕ还有下列性质：()()()⎩⎨⎧∞→∉-→∈==n e t n e t t n 当对一切00,1,1ϕ 由勒贝格控制收敛定理，当∞→n 时，有()()()()()⎰⎰=→=ba b a n n ds s t K ds s s t K t T αϕϕ,,000于是()TT T t T n nn n ≤≤≤=∞→ϕϕϕα0lim因此α=T .若原Φ=0e ，则令(){}0,:0<=s t K s e .例 7 在连续函数空间[]1,0C 中讨论微分算子dtdT =.将在[]1,0上连续可微函数构成的集[]1,01C 作为T 的定义域，则T 是定义[]1,01C 在上，并在[]1,0C 中取值的线性算子.我们证明T 无界. 取()nt t x n sin =，则1=n x ，但∞→===n nt n nt dt dTx n cos sin （当∞→n 时）故T 将[]1,01C 中的单位球面映成[]1,0C 中的无界集.T 无界.。
第2章 有界线性算子的基本概念(1)kj
2 算子的范数及其计算
定义 2.1.2 设 X , Y 是赋范空间, T : X Y 是有界线性算子. 称
T = sup Tx .
x £1
为算子 T 的范数. 若 f 是 X 上的有界线性泛函, 则 f 的值域是标量域 K , 此时
f = sup f ( x) .
x £1
定理 2.1.3 设 T : X Y 是有界线性算子. 则
yn =
xn x - 1 (n = 1, 2, ). f ( xn ) f ( x1 )
则 f ( yn ) = 0. 因此 yn Î N ( f ) (n ³ 1). 另一方面, 由于
xn xn 1 = < 0 (n ¥), f ( xn ) f ( xn ) n
这说明
xn x 0. 因此 yn y = - 1 . 但是 f ( xn ) f ( x1 ) f ( y ) = f (x1 ) = -1 ¹ 0, f ( x1 )
T -1 y = x £
1 1 Tx = y . a a
这表明映射 T -1 : Y X 是连续的. 因此 X 与 Y 拓扑同构的充要条件是, 存在一一对应的映射 T : X Y , 使得 T 是线性的 , 并且 T 和 T -1 都是 连续的. 线性泛函是线性算子的特殊情形, 因此定理 2.1.1 的结论对线性泛 函当然也成立. 对线性泛函还成立如下定理. 定理 2.1.2 设 f 是赋范空间 X 上的线性泛函. 则 f 在 X 上有界的 充要条件是 f 的零空间 N ( f ) 是闭集. 证明 设 f 在 X 上有界, 则 f 在 X 上连续. 设 {xn } Ì N ( f ), xn x.
n¥
则 f ( xn ) = 0 ( n ³ 1 ) 于是 f ( x) = lim f ( xn ) = 0. 因此 x Î N ( f ). 这表明
第三章 有线性算子
第三章 有界线性算子一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(称T 是X 中到1X 中的线性算子。
称)(T D 是T 的定义域。
特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。
如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。
此外取算子范数作为空间中的范数。
定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。
定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。
2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。
在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α，定义Bx Ax x B A +=+))((Ax x A αα=))((不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。
此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。
由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。
在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。
事实上，设∈nA A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。
如果)(∞→→n A A n ，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n-ε<。
34 线性算子的基本定理
是函数列的一致收敛，由 x'n (t) = Txn (t) → y(t) ，即 x'n (t) 在 C[0,1] 上一致收敛 y(t) ，所以有
∫ ∫ ∫ t y(τ )dτ = 0
t 0
lim
n→∞
x'n
(τ
)dτ
= lim n→∞
t 0
x'n
(τ
)dτ
=
lim[
n→∞
xn
(t
)
−
xn (0)]
=
设 X 和 Y 是同一数域 K 上的线性赋范空间，若 T 的图像
G(T ) = {(x, y) y = Tx, x ∈ D(T )}
是乘积空间 X ×Y 的闭子集，则称 T 为闭线性算子，简称闭算子．
- 102 -
线性泛函引论◇
引理 3.4.1 设 X 和 Y 是同一数域 K 上的线性赋范空间， T ： G(⊂ X ) → Y 是线性算子，那
学习微积分时，我们知道闭区间 [a,b] 上的函数 y = f (x) 图形是 xoy 平面上的一条曲线，即
为 R2 中的一个点集 G( f ) = {(x, y) y = f (x), x ∈[a,b]} ，特别当 f (x) ∈ C[a,b] ，这个点集 G( f ) 为 R2
中的闭集，现在将此结论推广到更一般的线性赋范空间上． 定义 3.4.3 线性赋范空间的乘积 设 X 和 Y 是同一数域 K 上的线性赋范空间，考虑直积集 X ×Y = {(x, y) x ∈ X , y ∈Y} ，
如下： ∀x ∈ D(T ) ， Dx = d x(t) ，则 D 是闭算子，但是 D 无界的． dt
证明 由第三节例 3.3.3 后的反例知：令 xn (t) = e−n(t−a) ∈ C[0,1] ，可得
有界线性算子和连续线性泛函.ppt
t nd ,t [a, a 1 ]
a
n
a
1 n
n
d
,
t
(a
1
,b]
a
n
因此
n(t a),t [a,
1,t (a 1
a ,b]
1 n
]
n
bt
Tfn 1 a a fn ( )d dt
a1 t
bt
a n a fn ( )d dt a1 a fn ( )d dt
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
❖ §1 ❖ §2 ❖ §3
有界线性算子和连续线性泛函 有界线性算子空间和共轭空间 广义函数大意
第一节 有界线性算子与 连续线性泛涵
1 线性算子和线性泛函的定义
设X和Y是两个同为实或复的线性空间, DT 是X的线
性子空间,T : DT Y ,x,y X ,及数α, β,成立 T αx βy αTx βTy,
则当 x vev 时，由 f 的线性， v1
n
n
f (x) f (e )
1
1
由此可见， n 维线性空间上线性泛函与数组 (1,2,,n ) 相对应。
II 有界线性算子与连续线性泛函
定义2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间。T 是X 的线性子空间 A(T )到 Y 中的
线性算子，如果存在常数 c，使对所有 x A(T ) ，有
证明 若 T 有界，由（3）式，当 xn x(n ) 时，因为 Txn Tx c xn x
所以 Txn Tx 0 ，即 Txn Tx(n ) ，因此 T 连续。 反之若 T在 X 上连续，但 T 无界，这时在 X 中必有一列向量 x1, x2, x3,,使 xn 0
但
第二章 线性算子与线性泛函
第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。
定义： 若一个映射:T X Y →满足()(,,,)T x y Tx Tyx y X αβαβαβ+=+∈∈K ，则称T 为从X 到Y 的线性算子。
容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：()i iiiiiT x Tx αα=∑∑。
命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：（1）任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。
特别，(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的核或零空间）。
（2）若向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且dim A <∞，则dim dim TA A <。
（3）T 是单射(){0}N T ⇔=。
说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。
对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。
若,:T S X Y →是线性算子，,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为()().(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈若:R Y Z →是另一个算子，则由()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。
实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。
容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：11(),()();R T S RT RS R R T RT R T +=+⎧⎨+=+⎩分配律()();()Q RT QR T =结合律()()(),()RT R T R T αααα==∈K只要以上等式的一端有意义。
4.1 有界线性算子
第4章 线性算子与线性泛函4.1 有界线性算子4.1.1 线性算子与线性泛函算子概念起源于运算。
例如，代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平面上的向量绕坐标原点旋转一个角度等等。
在泛函分析中，通常把映射称为算子，而取值于实数域或复数域的算子也称为泛函数，简称为泛函。
本章着重考察赋范线性空间上的线性算子，它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。
它是线性泛函分析研究的重要对象。
关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。
中国物理学界习惯上把算子称为算符。
定义4.1.1 设F 是实数域或复数域，,X Y 是F 上的两个线性空间，D 是X 的线性子空间，:T D Y →是一个映射.对x D ∈，记x 经T 映射后的象为 Tx 或 ()T x . 若对,x y D ∀∈及数,αβ∈F , 有()()()T x y T x T y αβαβ+=+（或 Tx Ty αβ=+） (4.1.1)则称T 是线性算子.称D 是T 的定义域，记为()T D ;称集(){}T D Tx x D =∈（或TD ）为T 的值域（或象域），记为()T R .取值为实数或复数的线性算子T （即：()T ⊂F R , 1=F R 或1C ）分别称为实的或复的线性泛函，统称为线性泛函。
注 今后所讨论的算子（泛函）都是线性算子（线性泛函）。
例4.1.1 设1[0,1],[0,1]X C Y B ==([0,1]上有界函数全体)，定义d()()()d Tx t x t t=, 则T 是X 到Y 的线性算子。
例4.1.2 设[,]X C a b =，(,)K t s 是[,][,]a b a b ⨯上的二元连续函数，定义()()(,)()d baTx t K t s x s s =⎰,则T 是X 到X 的线性算子。
第四章4.4-4.5 线性算子的基本定理强收敛弱收敛
3. 逆算子概念与性质 定义5 (逆算子) 设有算子T: XY, 如果存在算子S: YX, 使得
ST=Ix, TS=Iy 则称S为T的逆算子，记作S=T-1.
注： 1) 若S是T的逆算子，则对xX, 有
T S X Y X T S x Tx S (Tx) I x x x
对于T-1, 开集的原象是开集
T-1是连续算子T-1是有界线性算子。
二、闭图像定理
1. 算子的图像与闭图像定理 定义7 (线性赋范空间的积空间) 设X, Y都是线性赋范空间, 在集合 X×Y={(x,y)|xX, yY} 中定义线性运算 k1(x1, x2)+k2(x2, y2)=(k1x1+k2x2, k1y1+k2y2);
范数 ||(x,y)||=||x||X+||y||Y
则X×Y也是线性赋范空间，称XY为X与Y的积空间。 注： 若X与Y都是Banach空间，则XY也是Banach空间。
定义8 (算子的图像) 设X, Y都是线性赋范空间, DX是线性子空
间，T:DY是线性算子，则称集合GT={(x,Tx)|xD}XY 为算子T的图像。 注： GT是 XY的线性子空间。事实上
三、共鸣定理(一致有界定理)
在许多数学问题中，经常出现的不只是单个的线性有界算子， 而是一族线性有界算子，并需要讨论这一族线性有界算子在什 么条件下一致有界？关于这一问题巴拿赫—斯坦因豪斯 (Banach-Steinhaus) 给出了一个非常漂亮的结果，即共鸣定理。 引理1（奥斯古得（Osgood）定理）设X是巴拿赫空间， gn:
u x0 r0 x r0 , Tnu Tn x0 r0Tn x
1 Tn x Tnu Tn x0 r0 1 1 2M Tn x Tnu Tn x0 Tnu Tn x0 r0 r0 r0 2M Tn sup Tn x , n 1, 2, r0 x 1
第5讲(4)有界线性算子
§1 有界性与连续性
让我们回顾线性算子与线性泛函的有关概念. 定义5.1 设 X和Y都是数域 F上的赋范线性
空间，T : X → Y，如果 ∀x, y ∈ X ， 有T (x + y) = Tx + Ty ，则称T是可加的. 若 ∀α ∈ F, x ∈ X ,T (α x) = αTx
则称T是齐次的.可加齐次的映线称为线性映射
空间，T : X → Y 是一个线性算子，如果T在 某一点 x° ∈ X连续，则T在X上连续.
证明 任取 xn , x ∈ X，且 xn → x，由
T的可加性知，
Txn − Tx = T (xn − x) = T (xn − x + x° ) − Tx°
由于 xn − x + x° → x°，而T在x0连续，
=
⎧
⎪ ⎨
n
⎪0
t∈[a,a+ 1] n
t∈(a+ 1,b]
⎩
n
显然 xn∈L′[a,b] ，而且 ||xn||1=∫ab|xn(t)|dt=1 .
进而有 ||Txn||1=∫ab|∫at xn(s)ds|dt
=
∫a+
a
1 n
|∫at
xn(s)ds|dt
+
∫b
a+
1
|∫at
xn(s)ds|dt
n
=∫a+1 n a
公式求已知连续函数的近似多项式.设 x∈C ⎡⎣a,b⎤⎦
在⎡⎣a,b⎤⎦内任取n个点a≤t1<t2<⋅⋅⋅<tn≤b ，作多项式
( ) ( )( ) ( ) P t t t t t t t t t ⎛ k⎜ ⎝
3.2有界线性算子
D(T ) 上是连续的（即在一点连续，则在定
义域上处处连续） 。
定理 3. 2. 4（连续性与有界性） 设 X , Y 是赋范空间， T : D(T ) X Y 是线性算 子，则 T 为连续的充分必要条件为 T 是有界 的。 证明（不要） 。
3.2.3 线性算子空间
定理 3.2.6（线性算子空间） 设 X , Y 是数域 K 上的赋范空 间， B( X , Y ) 是定义在全空间 X 上、值域在 Y 中的有界线性算 子的全体，若在 B( X , Y ) 上定义如下的代数运算：
举例：
1、恒等算子
2、零算子
微分算子
4、积分算子 5、矩阵
定理 3. 2. 2 （有限维空间上线性算子的有界性） 如果赋范空间 X 是有穷维的，则 X 上的每一个线性算子均是有界的。
定理 3. 2. 3（算子的连续性） 设 X , Y 是赋 范空间， T : D(T ) X Y 是线性算子， 若 T 在 某 一 点 x0 D(T ) 连 续 ， 则 T 在
3.2 有界线性算子
3. 2. 1 有界线性算子 定义 3. 2. 1（有界线性算子） 设 X ， Y 为同一数域 K 上的 赋范线性空间， T : D(T ) X Y 是线性算子。如果存在常数
C 0 ，使得对一切 x D(T ) 有
Tx
Y
C x
X
那么就称 T 为有界线性算子，否则称为无界的。
T B( X , Y )
则 B( X , Y ) 构成一赋范线性空间。
(T1 T2 ) x T1 x T2 x ， T1 , T2 B( X , Y ), x X
(T ) x Tx ， K , T B( X , Y ), x X
第三节线性算子
当X = Y时，称T 是线性变换，当Y = K时，称T 是线性泛函。 相关概念：核空间ker T、线性同构。 称T 在x点连续，是指对任意点列{xn }, 若xn → x, 则Txn → Tx； 若T 在X 的每一点都连续，则称T 在X 上连续。 定理1.设X , Y 是赋范线性空间,T : X → Y 是线性算子，则 （a）T 在X 上连续当且仅当T 在X 中的某点x0处连续;特别的 等价于若xn → θ ( X 中零元)，则Txn → θ (Y中零元). (b)当X 的维数有限时，T 在X 上是连续的。
fx0有界线性算子空间110111supsupsup1sup0002supsupxxxxxxtxtbxyttxtxxttxttbxyttxtxt????????????????????????算子的范数验证算子算子范数满足以下条件
赋范线性空间
内积空间
三个空间的关系
赋范线性空间都是距离空间：ρ(x，y )= || x y ||; 反之，要求距离满足条件 : ρ (ax, θ ) =| a | ρ ( x, θ ), 范数定义 || x ||= ρ ( x, θ )。 内积空间都是赋范线性空间 :|| x ||= ( x, x) 2 ；反之， 范数满足中线公式： x + y ||2 + || x y ||2 = 2 || x ||2 +2 || y ||2 , || 内积定义 1 (x，y )= (|| x + y ||2 || x y ||2 +i || x + yi ||2 i || x + yi ||2 ) 4
因为任何n维赋范线性空间都与n维欧式空间线性同构，所 以有限维的赋范线性空间是线性同构的当且仅当它们的维 数相等。 绝大多数的泛函分析课程都是讲述特殊的线性空间和线性 算子的性质，而自然界中的现象更多是非线性的，非线性 问题是更广阔更具有挑战性的领域，有着多样性和复杂性。 人们在处理这类问题的方法： 一、推广线性情形时的有关理论的想法和方法； 二、化整为零，在局部范围内运用线性方法，将非线性问 题转化为线性问题
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第6页 页 3 有界线性算子的范数 定义2 是线性赋范空间， ⊂ 是线性子空间 是线性子空间, 是有界线性算子, 定义 设X,Y是线性赋范空间，D⊂X是线性子空间 T: D→Y是有界线性算子,则称 是线性赋范空间 → 是有界线性算子 ||T||=inf { M | ||Tx||Y ≤ M||x||X, ∀x∈D} 为算子 的范数 为算子T的 ∈ 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定理2 设X,Y是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,T: D→Y是 定理 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 → 是 有界线性算子， 的范数具有下列性质： 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： 的范数具有下列性质 (1)||Tx||≤||T|| ||x||,∀x∈D(即||T||是有界线性算子 的最小界值定义） ≤ 是有界线性算子T的最小界值定义 (1) ∀ ∈ ( 是有界线性算子 的最小界值定义） (2) 证 ⇒ ⇒ ⇒
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一、有界线性算子的定义与性质
1 有界线性算子的定义 定义1 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定义1 设X是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,映射 D→Y. 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 映射T: → . T(x1+x2)=Tx1+Tx2 (1)T是线性算子⇔∀x 是线性算子⇔∀ 及数 , (1) 是线性算子⇔∀ 1, x2∈D及数α∈K,有 T(αx)=αTx (2)T是连续算子⇔∀x ∈ (2) 是连续算子⇔∀ n, x∈D,n=1,2,…, xn→x, 有Txn→Tx 是连续算子⇔∀ ⇔∀x,x ⇔∀ 0∈D, x→x0, 有Tx→Tx0;⇔T在D上处处连续 → → 在 上处处连续 (3)T是有界算子⇔∀x∈ (3) 是有界算子⇔∀ ∈D, ∃M>0, 使||Tx||≤M||x||X 是有界算子⇔∀ , ≤ (4)T是有界线性算子⇔ 既是有界算子 既是有界算子, (4) 是有界线性算子⇔T既是有界算子,又是线性算子 是有界线性算子 (5)T是连续线性算子⇔ 既是连续算子, (5) 是连续线性算子⇔T 既是连续算子,又是线性算子 是连续线性算子 定义中, 算子 的定义域; 算子T 算子T的界值 的界值;T(D)={Tx|x∈D}- 算子 的值域 算子T的值域 注:1)定义中,D -算子T的定义域 M -算子 的界值 定义中 ∈ 无界函数 2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x ）有界算子与有界函数不同, 有界算子: 有界算子:|f(x)|=|x|<2|x|
“⇐” 设T: D→Y是线性算子,且对∀A⊂D为有界集,有 T(A)={Tx|x∈A}⊂Y也是 ⇐ 是线性算子, 为有界集, → 是线性算子 且对∀ ⊂ 为有界集 ∈ ⊂ 也是 有界集 ),有 ⇒对单位球面S={x| ||x||=1,x∈D}⊂D(是有界集),有T(S)={Tx|x∈S}为有界集 对单位球面 ∈ ⊂ (是有界集), ∈ 为有界集 ⇒∀x∈S, 有Tx∈TS, 且∃M>0, 使||Tx||≤M ∈ , ∈ ≤
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第四章 有界线性算子
•有界线性算子与线性算子空间 有界线性算子与线性算子空间 •有界线性泛函与共轭空间 有界线性泛函与共轭空间 微积分主要研究对象—函数 微积分主要研究对象 函数 R到R的映射 一元函数 到 的映射 的映射—一元函数 Rn到R的映射 的映射—n元函数 的映射 元函数
算子 泛函分析主要研究对象 泛函
也是有界线性算子, 也是有界线性算子,且 事实上，T显然是线性算子,且对∀x=x(t)∈C[a,b], 有 事实上， 显然是线性算子,且对∀ ∈ 显然是线性算子
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第8页 页 乘法算子T: 也是有界线性算子, 例2 乘法算子 C[a,b]→L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且 → 也是有界线性算子
事实上， 事实上，T 显然是线性算子
是有界算子, ⇒T是有界算子,且 是有界算子 可以证明 因此
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第9页 页 乘法算子T: 是有界线性算子, 例3 乘法算子 C[a,b]→C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且 → 是有界线性算子
事实上， 事实上，T 显然是线性算子
⇒T是有界算子,且 是有界算子, 是有界算子 可以证明 因此 注:乘法算子T: L2[a,b]→L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且 乘法算子 → 也是有界线性算子, 也是有界线性算子
“⇐” 若T: D→Y是线性、有界算子, ⇐ 是线性、 →Y是线性 有界算子, ⇒∀x∈D, ∃M>0, 使得 ||Tx||≤M||x||（有界算子定义） ∈ ≤ （有界算子定义） 使得||Txn-Tx||=||T(xn-x)||≤M||xn-x|| ⇒∀xn,x∈D⊂X, ∃M>0, 使得 ∈ ⊂ ≤ 线性、有界算子定义） （线性、有界算子定义） →∞) 按范数收敛) ∈ ⊂ ⇒ → →∞ ∀xn,x∈D⊂X, xn→x⇒||xn-x||→0 (n→∞ (按范数收敛) →∞) 是线性、连续算子. ⇒||Txn-Tx||→0 ⇒Txn→Tx (n→∞ ⇒T 是线性、连续算子 → →∞ 推论： 为连续线性算子 为连续线性算子⇔ 为有界线性算子 为有界线性算子. 推论：T为连续线性算子⇔T为有界线性算子.
⇒||xn||1=1, 且 故 ||T||=b-a.
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第12页 页 积分算子T: 例6 积分算子 L1 [a,b]→C[a,b], → 是有界线性算子, 是有界线性算子,且 ||T||=1. . 事实上， 显然是线性算子 显然是线性算子, 事实上，T显然是线性算子, 且
是有界算子, 故T是有界算子,且||T||≤1. 是有界算子 ≤ . 另一方面, 另一方面, 取
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第3页 页 2 有界线性算子的性质 定理1 是线性赋范空间, 是线性子空间, 是线性算子, 定理 设X,Y是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,T: D→Y是线性算子,则 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 → 是线性算子 (1) T为有界算子⇔∀ ⊂D为有界集时,T(A)={Tx|x∈A}⊂Y也是有界集 ⇔ ∀A⊂D为 为有界算子⇔∀ 为有界集时, 为有界算子⇔∀A⊂ 为有界集时 ∈ ⊂ 也是有界集 ⊂ 为 有界集时, ∈ 有界集时,∀x∈A, ∃K>0, 使得 ||Tx||≤K. ≤ . (2) T为连续算子⇔T在∀x0∈D处连续⇔ T在D上处处连续 为连续算子⇔ 在 处连续⇔ 在 上处处连续 为连续算子 处连续 (3) T为连续算子⇔T为有界算子. 为连续算子⇔ 为有界算子. 为连续算子 为有界算子 证 (1) “⇒” 设T: D→Y是线性、有界算子，A⊂D为有界集 是线性、 ⇒ → 是线性 有界算子， ⊂ 为有界集 ⊂ ⇒∀x∈A⊂D, ∃M>0,使得 ,使得||Tx||≤M||x||; ≤ Tx∈T(A)⊂Y ∈ ⊂ 使得||x||≤ 且∃K>0, 使得 ≤K ⇒T(A)⊂Y是有界集 ⊂ 是有界集 ⇒||Tx||≤M||x||≤MK； ≤ ≤ ；
是有界线性算子, 故T是有界线性算子,且 ||T||=1. 是有界线性算子 .
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第13页 页 算子( 为核的积分变换算子） 例7 Fredholm算子(以二元连续函数 算子 以二元连续函数K(s,t)为核的积分变换算子）T: C[a,b]→C[a,b] 为核的积分变换算子 →
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第10页 页 积分算子T: 例4 积分算子 C[a,b]→C[a,b], → ], 是有界线性算子, 是有界线性算子,且 ||T||=b-a 事实上， 显然是线性算子 显然是线性算子, 事实上，T显然是线性算子,且
是有界算子, ⇒T是有界算子,且 ||T||≤b-a 是有界算子 ≤ 另一方面，取x0=x0(t)=1, 则||x0||=1 另一方面，
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第4页 页 ⇒∀x∈D, x≠θ,有 ∈ ≠ ⇒∀x∈D, x≠θ, 有 ∈ ≠ 当x=θ∈D时,有||Tx||=M||x||=θ 时 因此∀ ∈ 为有界线性算子. 因此∀x∈D, 有||Tx||≤M||x||，即T为有界线性算子. ≤ ， 为有界线性算子 是线性、 (2) “⇒” 设T: D→Y是线性、连续算子 ⇒ → 是线性 ⇒∀xn, x∈D, xn→x, 有Txn→Tx ⇒T在D上处处连续(定义） 上处处连续( ∈ 在 上处处连续 定义） “⇐” ∀xn, x∈D, xn→x, T是线性算子，且T在x0∈D处连续 ⇐ 是线性算子， ∈ 是线性算子 在 处连续 ⇒(xn-x)+x0∈D, 且(xn-x)+x0→x0 ⇒T[(xn-x)+x0]→Tx0 （T在x0处连续定义） → 在 处连续定义） 线性算子定义） ⇒Txn=Txn-Tx+Tx0=T[(xn-x)+x0]→Tx0 (线性算子定义） → 是线性、 ⇒T是线性、连续算子 是线性
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第5页 页 (3)“⇒ 是线性、 是线性、 (3) ⇒” 设T: D→Y是线性、连续算子.如果 是线性、无界算子 → 是线性 连续算子.如果T是线性 使得||Txn||≥n||xn||,n=1,2,… ⇒对∀n, ∃xn∈D, xn≠θ, 使得 ≥ 对于 ⇒ 由于T是线性、 由于 是线性、连续算子 是线性 矛盾。 矛盾。故T是 是 线性有界算子
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可作为范数定义） （可作为范数定义） ⇒