初三数学 圆中基本性质 讲义(教师版)

形中，一般考虑利用其补角将其转化到三角形中（或者利用外角来解决），∠AO′C 是△BAO′
的一个外角，要想求出∠AO′C 的度数，需求得∠B 的度数和∠BAO′的度数．由已知条件可
知“
∠ ，只BA需O找′=6到7.∠2°B” 的度数．现有条件不能直接得到，因此需要通过添加辅助
线来自己创造条件，最易想到的辅助线就是连接 OA 和 O′E，比较两种辅助线可知连结 OA
半径为（ ）
A.10
B.8
C.5
⊥ ，垂AB足为 P．若 CD=8，OP=3，则⊙O 的 D.3
【答案】C 【解析】根据垂径定理，可求 CP 的长度，根据勾股定理可求半径.
练习 1.如图， AB 为圆 O 的直径，弦 CD ⊥ AB ,垂足是 E ,连接 OC ，若= OC 5= , CD 8 , 则 AE =
∠E = 18 ，求 ∠C 及 ∠AOC 的度数.
【答案】解：连接 OD，
∵A B= 2D E，∴OD = D E，∴∠E = ∠EOD ， 在△EDO 中，∠ODC=∠E+∠EOD=36°，
∵OC= OD ，∴∠OCD = ∠OD C= 36°， 在△CEO 中，∠AOC=∠E+∠OCD=18°+36°=54°． 【解析】本题属于半径的特征类型题目。考查圆中常见模型——等腰三角形，由于等腰三角 形的性质很多，在几何证明中应用非常广泛，所涉及的方法很灵活．因此利用等腰三角形的 性质解题是很好的选择，构造等腰三角形也因此成为几何证明的一大思路，而由于圆的每条 半径都是等长的，因此圆中存在天然的等腰三角形． 练习 2.如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠BOC=110°，AD ∥ ，则OC ∠AOD= ．
求∠AOD 的度数，在不能直接求的情况下可以考虑借助三角形内角和来解决，因此可以先
求∠OAD 或∠ODA 的度数，由已知条件“
∠ ，ABDOC= 110∥ 可°知OC，”求得的角为∠OA D
的度数，问题得以解决．
练习 3.如图，CD 是圆 O 的直径，∠DOE=78°，AE 交圆 O 于 B，AB=OC，则∠A=
【解析】此题主要考查圆半径的特征．思考求线段长度的方法，就目前所学知识来讲只能应 用勾股定理、全等及直角三角形中两种特殊角（30°、45°）的三角形中三边关系来解决，后 期还可以应用相似和锐角三角函数（也是三角形三边关系）来解决，通过对题意的分析和已 知条件可知，只能应用三边关系（30°角），此题得解． 练习 1.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB、CD 的延长线交于点 E，若 AB=2DE，
处处相等自然存在的等腰三角形的重要性．
练习 1.如图所示，在⊙O 中，
，那么（ ）
A、AB＞2CD
B、AB＜2CD
C、AB=2CD
D、无法比较
【答案】解：如图，
在圆上截取弧 DE=弧 CD，则有：弧 AB=弧 CE，AB=CE 根据三角形的三边关系知，CD+DE=2CD＞CE=AB， ∴AB＜2CD．故选 B． 【解析】此题主要考查圆中弦与弧的对应关系，可以通过等分的理念去推导．此题较难部分 在于三角形的构造，再利用三角形三边关系进行弦之间的关系推导．
则 OP 的长为（ ）
A．3
B．4
C． 3 2
D． 4 2
【答案】C
【解析】垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理.
解：作 OM
⊥ 于AMB，ON
⊥ 于CND，连接 OP，OB，OD，
∵A B= CD = 8，∴由垂径定理和全等三角形的性质得，AM=BM=CN=DN=4，OM=ON.
A．16
B．10
C．8
D．6
O
C
A
B
【答案】A 【解析】根据垂径定理以及勾股定理得，BC 的长.从而求得 BD 的长.
与弦相关的计算，常用垂径定理来处理，其中典型的处理方法是构造直角三角形，并利用勾 股定理进行计算，如果直角三角形未出现，则需要添加相应的辅助线.
例 3.如图，在半径为 5 的圆 O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P，且 AB=CD=8，
需要自己创造条件，由此想到连结 OB，构造另一个三角形即可求得．
练习 4.如图，点 B，O，O′，C，D 在一条直线上，BC 是半圆 O 的直径，OD 是半圆 O′的直
径，两半圆相交于点 A，连接 AB，AO′，若∠BAO′=67.2°，则∠AO′C=
度．
【答案】解：连接 OA，
∵OA = OB，∴∠BA O= ∠B，那么∠A OO'= 2∠B
是在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧一定是等弧.
（1）圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. （2）圆上任意一点到圆心的距离等于半径；在平面内所有到圆心的距离等于半径的点都在 该圆上. （3）圆只是圆周，是曲线，而不是圆面. （4）弦和直径的关系：直径是过圆心的弦，凡是直径都是弦，但弦不一定是直径，因此， 在提到“弦”时，如果没有特别说明，不要忘记直径是特殊的弦. （5）弧有三类，分别是优弧、劣弧和半圆.半圆是弧，弧不一定是半圆.
更好，因为能够得到两个等腰三角形，从而找到∠B 和∠BAO′的关系即可得到．
利用圆中弧、弦、圆心角的对应关系进行相关的角度和线段的计算是非常典型的题型，需要 特别重视.
垂径定理及其应用
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧. 2.推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
C
A
O
E
B
D
【答案】2 【解析】根据垂径定理，可求出 CE 的长，利用勾股定理求出 OE 的长，因为同一个圆内半 径相等，所以利用 OA-0E 即可求出 AE 的长.
练习 2.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径 OB = 10 ,截面圆圆心 O 到水
面的距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是（ ）
A.CE=DE
B.弧 BC=弧 BD
C.
∠BAC=∠BAD D.OE=BE
【答案】D 【解析】根据垂径定理得，A,B 正确，易证△ACE≌ △ADE，则 C 正确.只有 D 不一定成立. 故选 D.
当圆中出现弦及垂直于弦的直径（半径）时，常会考虑应用垂径定理的性质进行相关的计算 和证明.
例 2.如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD
例 1.下列说法：①矩形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四边的中点在同一个圆 上；③菱形的四边中点在同一个圆上；④等腰梯形的四边中点在同一个圆上.其中说法正确 的有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】B
【解析】 因为矩形的四个顶点到两对角线的交点的距离相等，所以矩形的四个顶点在以对
角线为圆心，对角线长的一半为半径的圆上；因为矩形的四边中点所组成的图形是菱形，而
菱形四个顶点不在同一个圆上；菱形的四边中点以对角线交点为圆心，菱形边长的一半为半
径的圆上；等腰梯形的四边中点组成的图形是平行四边形，而平行四边形四个顶点不在同一
个圆上，当等腰梯形对角线垂直时，四边的中点就在同一个圆上.综上所述，只有两个说法
注意圆中弧弦的对应关系.
例 3.如图，在 Rt ∆ ABC 中， ∠C = 90 ，AB=10，若以 C 为圆心，CB 为半径的圆
恰好经过 AB 的中点 D，则 AC 的长为
.
【答案】解：连结 CD，
∵D 是 AB 中点，∠C=90°，
1
∴CD= AB=5，∴BC=CD=5
2源自文库
在 Rt
△ 中，ABACC= AB2 − BC 2 = 5 3
圆中基本性质
1.理解圆及其有关概念； 2.能用弧、弦、圆心角以及圆周角的关系解决问题； 3.能用垂径定理解决有关问题； 4.掌握圆周角定理的理解及应用.
1.圆中相关概念的理解； 2.垂径定理的理解及应用； 3.圆周角定理的理解及应用．
圆中基本性质
圆的定义 与圆有关的概念 垂径定理及其推论 圆心角定理及其推论
．
【答案】解：连接 OB，
∵A B= OC，OB=OC，∴OB= A B，∴∠E BO= 2∠A ，
∴∠OE B= ∠OBE = 2∠A ，
∵∠D OE= 78°，∴∠EOD = ∠OEA + ∠A = 3∠A = 78°，
∴∠A = 26°．故答案为：26°
【解析】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质，但是题目中没有直接已知∠E 相关条件，
∵O'A=O'O ∴∠O'AO=∠AOO'=2∠B
∵∠BA O+ ∠O'A O= 67.2°∴∠B= 22.4°
∴∠A O′C= ∠B+ ∠BA O′= 89. 6°．
【解析】本题主要考查圆与三角形内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质相结
合的综合类问题，难度比较大．由问题分析可知，要求∠AO′C 的度数，但是该角不在三角
例 2.如下图，在⊙O 中，∠B=37°，则劣弧 的度数为（ ）
A.106°
B.126°
C.74°
D.53°
【答案】解：连接 OA，
∵OA = OB，∠B= 37°，
∴∠A = ∠B= 37°，∠O= 180°﹣2
∠ ．B故=选106A°．
【解析】此题考查圆中弧与弦的关系及三角形内角和定理的综合应用，需要认识到圆中半径
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 注：以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推
出其它 3 个结论，即：① AB 是直径；② AB ⊥ CD ；③ CE = DE ；④ 弧 BC = 弧 BD ； ⑤ 弧 AC = 弧 AD .中任意 2 个条件推出其他 3 个结论.
【答案】解：∵∠BOC= 110°，∠BOC+ ∠A OC= 180°，
∴∠A OC= 70°，
∵A D ∥OC，OD=OA，∴∠D = ∠A = 70°，
∴∠A OD = 180°﹣2
∠ ．A故=答40案°为：40°．
【解析】本题考查平行线性质、圆的认识及三角形内角和定理的运用．从问题开始分析，要
圆周角定理及其推论
与圆有关的相关概念
一、圆的定义 1.定义：线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做 圆．记作⊙O ，读作圆 O.点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 2.确定一个圆需要两个条件：第一是圆心，第二是半径. 3.圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 二、与圆有关的概念 1.弦和直径： （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. （2）直径：经过圆心的弦叫做直径.直径等于半径的两倍. 2.弧： （1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以 A,B 为端点的弧记
A
O
E
C
D
B
3.推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
数学语言描述：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴弧 AC = 弧 BD
C
D
O
A
B
例 1.如图，已知⊙O 的直径 AB ⊥ 弦 CD 于点 E，下列结论中一定正确的是（ ）
A.AE=OE
B.CE=DE
C.OE=CE
D.
∠A OC= 60°
【答案】B
⌒
作 AB，读作弧 AB. （2）半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半
⌒
圆.大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于 180º 用三个字母表示，如 ACB.小于半圆的弧叫做劣
⌒
弧，如 AB. （3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是 等弧. 3.同心圆与等圆 （1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆. （2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或者等圆的半径相同. （3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆.
正确.故选 B.
练习 1.下列说法中，不正确的是（ ）
A.过圆心的弦是圆的直径
B.等弧的长度一定相等
C.周长相等的两个圆是等圆
D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧
【答案】D
【解析】A.过圆心的弦是圆的直径，说法正确；B. 等弧的长度一定相等，说法正确；C. 周
长相等的两个圆是等圆，说法正确；D. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应
【解析】考查垂径定理的内容，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对应的弧.
练习 1.如图所示，圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，则四边形 OACB（ ）
A.是正方形
B.是长方形
C.是菱形
D.以上答案都不对
【答案】C
【解析】考察垂径定理的应用，以及菱形的判定.
练习 2.如图，AB 为圆 o 的直径，弦 CD ⊥ AB于E ,则下面结论中不一定成立的是（ ）